Βελτιστοποίηση Ενεργειακών Συστημάτων Eργαστήριο Matlab Ενότητα 3: Πίνακες Μ. Σαμαράκου, Δ. Μητσούδης, Π. Πρεντάκης Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας.

Παρουσίαση με θέμα: "Βελτιστοποίηση Ενεργειακών Συστημάτων Eργαστήριο Matlab Ενότητα 3: Πίνακες Μ. Σαμαράκου, Δ. Μητσούδης, Π. Πρεντάκης Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Βελτιστοποίηση Ενεργειακών Συστημάτων Eργαστήριο Matlab Ενότητα 3: Πίνακες Μ. Σαμαράκου, Δ. Μητσούδης, Π. Πρεντάκης Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

2 Περιεχόμενα Ορισμός πίνακα, Προσπέλαση στοιχείων πίνακα, Διαστάσεις πίνακα, Παράθεση πινάκων, Πράξεις πινάκων, – Πρόσθεση, – Αφαίρεση, – Πολλαπλασιασμός, – Ύψωση σε δύναμη. Πίνακας με μηδενικά, Πίνακας με μονάδες, Εκτύπωση πίνακα. 1

3 Πίνακες (1 από 5) Καλούνται και δισδιάστατες σειρές. Διατεταγμένα σύνολα αριθμών που προσδιορίζονται από δύο δείκτες. Στο Matlab: – περικλείονται σε αγκύλες [ ], – εισάγονται με χρήση κενό ή κόμμα για τα στοιχεία γραμμής, – ’ ; ’ για την αλλαγή γραμμής. 2

4 Πίνακες (2 από 5) Πληκτρολογήστε: Α = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] στη γραμμή εντολών Πληκτρολογήστε: Α = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9] στη γραμμή εντολών 3

5 Πίνακες (3 από 5) 4

6 Πίνακες (4 από 5) 5

7 Πίνακες (5 από 5) Μπορούμε επίσης να γράψουμε κάθε γραμμή ξεχωριστά, πατώντας στο τέλος κάθε γραμμής Μπορούμε επίσης να γράψουμε κάθε γραμμή ξεχωριστά, πατώντας στο τέλος κάθε γραμμής 6

8 Προσπέλαση στοιχείων πίνακα χρήση δύο δεικτών μέσα σε παρένθεση (χ,ψ), όπου: χ = γραμμή, ψ = στήλη. 7

9 Διαστάσεις πίνακα Με τη συνάρτηση size: >> size(A) ans = 3 3 8

10 Παράθεση πινάκων [Α Β] κατά γραμμές Πίνακες A και Β με τον ίδιο αριθμό γραμμών μπορούν να παρατεθούν ο ένας δίπλα στον άλλο και να δημιουργήσουν νέο πίνακα, με ίδιο αριθμό γραμμών και πλήθος στηλών όσο και το άθροισμά τους στους αρχικούς. >> Α = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> B = [1 1 1 1; 2 2 2 2; 3 3 3 3]; >> C = [A B] C = 1 2 3 1 1 1 1 4 5 6 2 2 2 2 7 8 9 3 3 3 3 >> size(C) ans = 3 7 9

11 Παράθεση πινάκων [Α; Β] κατά στήλες Δημιουργία νέου πίνακα από δύο πίνακες Α και Β με ίδιο πλήθος στηλών: >> Α = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; >> B = [10 11 12; 13 14 15]; >> C = [A; B] C = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10

12 Υποπίνακας Α(x1:x2; y1:y2) Εξαγωγή υποπίνακα από την γραμμή x1 έως τη γραμμή x2 και από τη στήλη y1 έως τη στήλη y2 από τον πίνακα Α. Π.χ. ο υποπίνακας με τις δύο πρώτες γραμμές και στήλες του C είναι: >> C(1:2,1:2) ans = 1 2 4 5 11

13 Υποπίνακας (1 από 3) Για όλες τις γραμμές ή όλες τις στήλες, χρησιμοποιούμε μόνο το σύμβολο ’:’ >> C(:,1:2) ans = 1 2 4 5 7 8 10 11 13 14 12

14 Υποπίνακας (2 από 3) Για όλες τις γραμμές ή όλες τις στήλες, χρησιμοποιούμε μόνο το σύμβολο ’:’ >> C(1,:) ans = 1 2 3 >> C(:,1) ans = 1 4 7 10 13 13

15 Υποπίνακας (3 από 3) Για όλες τις γραμμές ή όλες τις στήλες, χρησιμοποιούμε μόνο το σύμβολο ’:’ >> C(1:3,:) ans = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14

16 Υποπίνακας C(:,:) Όλες τις γραμμές και όλες τις στήλες του πίνακα C. >> C C = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >> C(:,:) ans = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15

17 Υποπίνακας C(γ1:βγ:γ2,σ1:βσ:σ2) Επιλογή των γραμμών από γ1 μέχρι γ2 με βήμα βγ και επιλογή των στηλών από σ1 μέχρι σ2 με βήμα βσ του πίνακα C. >> C C = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >> C(2:2:5,1:2:3) ans = 1 3 7 9 13 15 16

18 Άθροισμα πινάκων Α και Β Με ίδιες διαστάσεις mxn, Με στοιχεία a ij και b ij αντίστοιχα, είναι ένας νέος πίνακας S, με διαστάσεις mxn και στοιχεία s ij = a ij +b ij. >> S1 = C(1:3,:) S1 = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 >> S2 = C(3:5,:) S2 = 7 8 9 10 11 12 13 14 15 >> S = S1 + S2 S = 8 10 12 14 16 18 20 22 24 17

19 Διαφορά πινάκων Αντίστοιχα, η διαφορά των πινάκων οδηγεί σε νέο πίνακα με στοιχεία s ij = a ij – b ij. >> D = S1 – S2 D = -6 -6 -6 18

20 Πολλαπλασιασμός πινάκων A και B (1 από 3) Πρέπει το πλήθος των στηλών του πρώτου να είναι ίδιο με το πλήθος των γραμμών του δεύτερου πίνακα. Π.χ. αν A (mxp) και B (pxn) τότε θα είναι P = Α*Β (mxn) με στοιχεία p ij = a ik * b kj3. >> P = S1 * S2 P = 66 72 78 156 171 186 246 270 294 19

21 Πολλαπλασιασμός πινάκων A και B (2 από 3) Δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα στον πολλαπλασιασμό πινάκων. >> P = S1 * S2 P = 66 72 78 156 171 186 246 270 294 >> P = S2 * S1 P = ? ? ? % είναι ίσοι?????? 20

22 Πολλαπλασιασμός πινάκων A και B (3 από 3) Ο μαθηματικός πολλαπλασιασμός πινάκων διαφέρει από τον πολλαπλασιασμό στοιχείο- στοιχείο πινάκων. >> P = S1 * S2 P = 66 72 78 156 171 186 246 270 294 >> P = S2.* S1 P = ? ? ? % Είναι ίσοι? Τι παρατηρείτε? 21

23 Πολλαπλασιασμός τετραγωνικών πινάκων Προφανώς, κάθε τετραγωνικός πίνακας μπορεί να πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του. >> S1 * S1 ans = 30 36 42 66 81 96 102 126 150 22

24 Δύναμη πίνακα (1 από 2) Για τετραγωνικούς πίνακες, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το σύμβολο ύψωσης σε δύναμη, Α^2 = Α*Α, Α^3 = Α*Α*Α, κ.λπ. >> S1^2 ans = 30 36 42 66 81 96 102 126 150 >> S1^3 ans = 468 576 684 1062 1305 1548 1656 2034 2412 23

25 Δύναμη πίνακα (2 από 2) Αναλόγως διαμορφώνονται οι πίνακες, Α.^2, Α.^3. >> S1^2 ans = 30 36 42 66 81 96 102 126 150 >> S1.^2 ans = ? ? ? % Είναι ίσοι? Τι παρατηρείτε? 24

26 Ενσωματωμένη συνάρτηση πίνακα Όπως και στην περίπτωση των μονοδιάστατων σειρών, έτσι και στην περίπτωση των δισδιάστατων σειρών (δηλαδή, των πινάκων), μία ενσωματωμένη συνάρτηση επιδρά σε κάθε στοιχείο του πίνακα ξεχωριστά. >> angle = [0:10:20; 30:10:50; 60:10:80] angle = 0 10 20 30 40 50 60 70 80 >> angle = pi*angle/180 angle = 0 0.1745 0.3491 0.5236 0.6981 0.8727 1.0472 1.2217 1.3963 >> sin(angle) ans = 0 0.1736 0.3420 0.5000 0.6428 0.7660 0.8660 0.9397 0.9848 25

27 Ειδικοί πίνακες zeros(m,n): ορισμός πίνακα με μηδενικά, ones(m,n): ορισμός πίνακα με μονάδες. >> ones(2,3) ans = 1 1 1 >> zeros(2,2) ans = 0 0 26

28 Δημιουργία πίνακα με μονάδες (1 από 2) Για τον ορισμό πίνακα με μονάδες που να έχει τις ίδιες διαστάσεις με δεδομενο πίνακα A, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τις διαστάσεις του από την συνάρτηση size. >> A = [1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12] A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 >> [m, n] = size(A) m = 3 n = 4 >> ones(m, n) ans = 1 1 1 1 27

29 Δημιουργία πίνακα με μονάδες (2 από 2) ή πιο απλά ακόμη: >> ones(size(A)) ans = 1 1 1 1 28

30 Εκτύπωση πίνακα Εκτύπωση πίνακα με τα ημίτονα των γωνιών 0, 10, 20,..., 90 μοιρών, χρήση των λειτουργιών της αναστροφής και της παράθεσης. >> angle = 0:10:180; >> sine = sin(pi*angle/180); >> [angle’ sine’] ans = 0 0 10.0000 0.1736 20.0000 0.3420 30.0000 0.5000 ……… ….….. 160.0000 0.3420 170.0000 0.1736 180.0000 0.0000 29

31 Τέλος Ενότητας

32 Σημειώματα

33 Σημείωμα Αναφοράς Copyright Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας, Μ. Σαμαράκου, Δ. Μητσούδης, Π. Πρεντάκης 2014. Μ. Σαμαράκου, Δ. Μητσούδης, Π. Πρεντάκης. «Βελτιστοποίηση Ενεργειακών Συστημάτων Eργαστήριο Matlab. Ενότητα 3: Πίνακες». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr.ocp.teiath.gr

34 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό. Οι όροι χρήσης των έργων τρίτων επεξηγούνται στη διαφάνεια «Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων». Τα έργα για τα οποία έχει ζητηθεί άδεια αναφέρονται στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

35 Επεξήγηση όρων χρήσης έργων τρίτων 34 Δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, παρά μόνο εάν ζητηθεί εκ νέου άδεια από το δημιουργό. © διαθέσιμο με άδεια CC-BY διαθέσιμο με άδεια CC-BY-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-SA διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου και η δημιουργία παραγώγων αυτού με απλή αναφορά του δημιουργού. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού, και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού και διάθεση του έργου ή του παράγωγου αυτού με την ίδια άδεια. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η δημιουργία παραγώγων του έργου. διαθέσιμο με άδεια CC-BY-NC-ND Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου με αναφορά του δημιουργού. Δεν επιτρέπεται η εμπορική χρήση του έργου και η δημιουργία παραγώγων του. διαθέσιμο με άδεια CC0 Public Domain διαθέσιμο ως κοινό κτήμα Επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου, η δημιουργία παραγώγων αυτού και η εμπορική του χρήση, χωρίς αναφορά του δημιουργού. χωρίς σήμανσηΣυνήθως δεν επιτρέπεται η επαναχρησιμοποίηση του έργου.

36 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:  το Σημείωμα Αναφοράς  το Σημείωμα Αδειοδότησης  τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων  το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.

37 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.