Μελέτη Δ.Ε. με χρήση του Mathematica

Παρουσίαση με θέμα: "Μελέτη Δ.Ε. με χρήση του Mathematica"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Μελέτη Δ.Ε. με χρήση του Mathematica
ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Μελέτη Δ.Ε. με χρήση του Mathematica

2 Εισαγωγή Η επίλυση ΔΕ με Mathematica γίνεται απευθείας με τις εντολές
DSolve : επίλυση με συμβολικό τρόπο NSolve : αριθμητική (προσεγγιστική) επίλυση

3 Εισαγωγή Και οι δυο εντολές δέχονται
μια ή περισσότερες εξισώσεις για επίλυση Πρώτης ή ανώτερης τάξης εξισώσεις Γραμμικές ή μη γραμμικές εξισώσεις Προβλήματα με αρχικές συνθήκες, συνοριακά προβλήματα.

4 Η εντολή DSolve

5 Συμβολική επίλυση (symbolic solution)
Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξης Γενική λύση ΔΕ: eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕ DSolve[eqn,y[t],t] όπου eqn η ονομασία που δείνει ο χρήστης y[t] η άγνωστη συνάρτηση της ΔΕ και t η μεταβλητή

6 Παραδείγματα Έστω η ΔΕ eqn=y'[t] ==r y[t](M-y[t]) DSolve[eqn,y[t],t]
Οι εξισώσεις 0ρίζονται με διπλό = Παραδείγματα Έστω η ΔΕ eqn=y'[t] ==r y[t](M-y[t]) DSolve[eqn,y[t],t]

7 Όπου C[1] είναι η σταθερά ολοκλήρωσης c
Η λύση της ΔΕ δόθηκε από το πρόγραμμα :

8 ΔΕ με αρχικές συνθήκες Σύνταξη εντολών για επίλυση ΔΕ πρώτης τάξης με αρχικές συνθήκες eqn=y’[t] ==τύπος ΔΕ con=αρχική συνθήκη DSolve[{eqn,con},y[t],t] Είναι ο τύπος της ΔΕ ο οποίος προκύπτει αν λύσουμε την αρχική ΔΕ ως προς y’

9 Παραδείγματα Να λυθεί το πρόβλημα

10 Πρόβλημα Να βρεθεί η μερική λύση της ΔΕ

11 Λύση Η λύση είναι με Mathematica

12 Γραφικές παραστάσεις Πολλές φορές θέλουμε να έχουμε εκτός από τη λύση της ΔΕ και την γραφική παράσταση κάποιας ή κάποιων μερικών λύσεων από τη γενική λύση της διαφορικής

13 Πρόβλημα Να λυθεί το πρόβλημα αρχικής τιμής
Μετά να γίνει η γραφική παράσταση της λύσης στο διάστημα -1<χ<1

14 Λύση Η λύση με Mathematica

15 Γραφική λύση

16 Παράδειγμα Να βρεθεί η γενική λύση της ΔΕ Να γίνει γραφική παράσταση των λύσεων για τις οποίες η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τις τιμές -2,-1,0,1 και 2 (ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΕΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ)

17 Λύση Βρίσκουμε τη γενική λύση, με την εντολή:

18 Γραφική παράσταση Evaluate
Η εντολή Evaluate είναι απαραίτητη για να δημιουργηθεί πρώτα η Λίστα των 5 λύσεων και μετά να δουλέψει η Plot

19 Παράδειγμα Να λυθούν οι ΔΕ
Στη δεύτερη ΔΕ να γίνουν ολοκληρωτικές καμπύλες για 10 αρνητικές τιμές της αυθαίρετης σταθεράς και για τιμές y στο διάστημα -5<y<0

20 Λύση

21 Γραφική λύση PlotRange Η εντολή PlotRange δίνεται για να καθορίσουμε το σύνολο τιμών στον άξονα y

22 Αρκετές ΔΕ που καταλήγουν σε ΔΕ ΧΩΡΙΖΟΜΕΝΩΝ μεταβλητών αντιμετωπίζονται αμέσως με την εντολή DSolve χωρίς να χρειάζεται να κάνουμε επι μέρους ολοκληρώσεις σε κάποιο ενδιάμεσο στάδιο.

23 Παράδειγμα Να λυθεί η ΔΕ
Να σχεδιαστούν οι ολοκληρωτικές καμπύλες όταν η αυθαίρετη σταθερά παίρνει τιμές -2,-1,0,1,2

24 Λύση

25 Γραφική παράσταση PlotStyle RGBColor
H εντολή RGBColor δείνει το κατάλληλο χρώμα