מציאת צורה של מבני Tensegrity

Παρουσίαση με θέμα: "מציאת צורה של מבני Tensegrity"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 מציאת צורה של מבני Tensegrity
אוניברסיטת תל אביב הפקולטה להנדסה ע"ש איבי ואלדר פליישמן המחלקה למכניקה, חומרים ומערכות מציאת צורה של מבני Tensegrity מציג : אסף כץ הפרויקט בוצע בהנחיית ד"ר עופר שי

2 ראשי פרקים מבוא מציאת צורה (Form-Finding) של מבני Tensegrity:
רקע, היסטוריה ויישומים מציאת צורה (Form-Finding) של מבני Tensegrity: שיטות גרפיות: שיטת Guzman טרנספורמציית Hennenberg שיטות קינמטיות שיטות סטטיות מסקנות וכיווני מחקר אפשריים

3 Tension + Integrity = Tensegrity
Fuller, 1975 מבוא

4 הגדרות רציפות המתיחה : Tensegrity היא התוצאה המתקבלת כאשר לחיצה ומתיחה נמצאים באיזון מושלם (integrity). המתיחה הינה רציפה ומאוזנת ע"י לחיצה בלתי רציפה מתיחה יוצרת מערכת מתכנסת (self-stress) הלחיצה- גורם מקשר, מסתעף ולא יציב מבני Tensegrity הם מבנים הנוצרים על ידי שילוב של אלמנטים קשיחים הנתונים ללחיצה (תומכנים/struts) ואלמנטים מחברים הנתונים למתיחה (כבלים) Timothy Wilken בסיפרו ORTEGRITY,2002 לרוב אין שני תומכנים החולקים צומת משותף, ובקצהו של כל תומכן ישנם כבלים הנתונים למתיחה (Yin, 2002). המבנה המתקבל שומר על צורתו רק בזכות הסידור הפנימי של הכבלים והתומכנים (Tobie, 1976).

5 הזזת כדור פינג-פונג קרונית נגררת, בעליה ובירידה.
נתאר נסיעה ברכב הגורר אחריו קרונית. כאשר אנו נוסעים בעליה אנו מושכים את הקרונית כנגד כוח הגרביטציה, והקרונית נוסעת בנינוחות, אם הקרונית מתחילה להתנועע לצדדים כל שעלינו לעשות או להאיץ במעט. לעומת זאת בירידה, הקרונית עלולה להתחיל לדחוף את הרכב שלנו, דבר הגורם לכוחות מצד לצד ואף לסכנת התהפכות. המומחים מציעים במצב כזה להאיץ כדי לחזור למצב של משיכה. תכונה זו של מתיחה ולחיצה יכולה להסביר מדוע בטופולוגיה של מערכות Tensegrity יש גרף רציף של קשתות מתיחה, שכן הם מהווים את הגורם היוצר את דריכות ויציבות המערכת. הזזת כדור פינג-פונג קרונית נגררת, בעליה ובירידה. מבוא

6 מעט היסטוריה..... מי הממציא ? Loganson Karl1921 Study in balance?
Richard Buckminster Fuller ( ) ? K.D. Snenlson (1927- ) ? יש המייחסים את המקור של מבני Tensegrity לשנת 1921 ועבודתו של פסל רוסי בשם Karl Loganson שנקראה “Study in balance” היה זה מבנה של 3 מוטות ו 7 כבלים. הכבל השמיני היה רפוי ושימש לשינוי הקונפיגורציה של המערכת תוך שמירה על שיווי משקל העדר מצב pre-stress אינו מתאים להגדרת ה tensegrity ולכן אין לראות בו את ממציא הרעיון. The most controversial point has been the personal dispute, lasting more than thirty years, between R. B. Fuller (Massachusetts, ) and K. D. Snelson (Oregon, 1927). During the summer of 1948, Fuller was a new professor in the Black Mountain College (North Carolina, USA), in addition to being a charismatic and a nonconforming architect, engineer, mathematician, cosmologist, poet and inventor (registering 25 patents during his life). Snelson was an art student who attended his lectures on geometric models, and after that summer, influenced by what he had learnt from Fuller and other professors, he started to study some three-dimensional models, creating different sculptures. As the artist explains, he achieved a new kind of sculpture, which can be considered the first tensegrity structure ever designed. When he showed it to Fuller, asking for his opinion, the professor realized that it was the answer to a question that he had been looking for, for so many years. In Fuller’s (1961) words: “For twenty-one years, before meeting Kenneth Snelson, I had been ransacking the Tensegrity concepts. (…) Despite my discovery, naming and development of both the multi-dimensional vectorial geometry and the three dimensional Tensegrity, I had been unable to integrate them, thus to discover multi-dimensional four, five and six axes symmetrical Tensegrity. The controversy Even though at the beginning Fuller mentioned Snelson as the author of the discovery, after some time he started to consider it as “my Tensegrity”. Actually, he coined this term in 1955 as a contraction of “Tensional-Integrity”, so by calling these structures with the denomination he chose, he let people think that it was his invention. “Creating this strange name was his strategy for appropriating the idea as his own”, quotes Snelson in various publications (Coplans, 1967; Schneider, 1977; Snelson, 2004). Obviously, his art student was certainly confused; at the end of 1949 Fuller wrote to Snelson saying that his name would be noted in history, but some years later he changed his mind, asking his student to remain anonymous for some time. This situation pushed Snelson to insist on acknowledgement during an exposition of Fuller’s work in 1959, at the Museum of Modern Art (MOMA) in New York. Therefore his contribution to tensegrity was credit and recognized publicly. A couple of years later, Fuller (1961) referred to Snelson again: “(…) an extraordinary intuitive assist at an important moment in my exploration of the thus discovered discontinuous-compression, continuous-tension structures was given me by a colleague, Kenneth Snelson, and must be officially mentioned in my formal recital of my "Tensegrity" discovering thoughts.”However, he always thought that if he had not catalyzed Snelson’s discovery, Tensegrity would have never been invented as a new structure. In fact, he never mentioned Snelson in one of his most important and renowned books about tensegrity, “Synergetics” Who invented tensegrity? It is evident that the answer is not evident. The synergy (a word so often used by Fuller) created by both the student and professor, resulted in the origin of tensegrity. Although acknowledgement is very important for the two of them, especially for Snelson (the only one still alive), perhaps it would be better to pay more attention to the possibilities of these structures than to the past controversy. מבוא

7 יישומים ארכיטקטורה ועיצוב תחום החלל רובוטיקה
צבאי- מבנים נפרשים קלי משקל רפואה מבוא

8 יישומים אפשריים מבוא Figure 7: TSR hinge (Courtesy of A.M. Watt)
+ Fewer motors and mechanical devices are needed for deployment and - No stiffness until the whole structure has been prestressed—additional stiffening structures are needed. Here, a strut mode folding is chosen. For a compact For a real application the aluminium rod could be substituted by a Storable Tubular Extendible Member (STEM) or an inflatable tube. The The mast is not fully prestressed until the bottom stage is deployed. However, the slender aluminium rod could not provide enough force and the tape spring hinges could not produce enough moment to prestress the whole mast. The final prestressing may be obtained by allowing one of the base cables to be a little longer than required during deployment. All hinges can then deploy without resistance as they do not have to prestress the mast. Finally, the longer base cable is shortened by a motorised turn-buckle which prestresses the mast. Thus, only two motors are needed: one that drives the centre rod and one that shortens the base cable. Although no precaution had been taken to avoid entanglement problems, the deployment of the eight-stage mast had to be stopped only twice. מבוא

9 מבוא

10 מבוא

11 מבוא

12 (Form- Finding) מציאת צורה

13 מציאת צורה - Tensegrity
שיטות קינמטיות שיטות סטטיות המחקר האמיתי בנושא מבני Tensegrity מנקודת מבט הנדסית החל בשנות ה- 70. אז גם פותחו שיטות למציאת צורה של מבנים חדשים.

14 שיטות גרפיות שיטות גרפיות- טכניקות פתרון המאפשרות להוסיף ולחסר יחידות בסיס של צמתים וקשתות מן הטופולוגיה, ללא שינוי אופיו של הייצוג הטופולוגי. כלומר :יציבות/ אי-יציבות המבנה לא תשתנה כתוצאה מביצוע פעולות אלה. חוזקן של השיטות הוא במהירות התכנסותן ובפשטותן. חסרון מרכזי הוא חוסר ודאות לגבי יציבות המבנה, והעדר מדד מדויק לאופטימיזציה במיקום הצמתים.

15 שיטת Guzman מפתח השיטה: Miguel de Guzman מאוניברסיטת מדריד (2004).
השיטה מאפשרת : לבחון אם טופולוגיה נתונה יכולה לייצג מבנה Tensegrity בשיווי-משקל. יישום מספר עקרונות בבנייה של מבנה Tensegrity על בסיס הטופולוגיה (בהכללה, קיימת יותר מאפשרות אחת עבור טופולוגיה נתונה). תכנון טופולוגיות חדשות של מבני Tensegrity בשיווי-משקל. בניה של מבנים חדשים בשיווי-משקל. Guzman

16 עקרונות שיטת Guzman טופולוגיה של מבנה Tensegrity ניתנת לביטוי כסכום (סופר-פוזיציה) של יחידות בסיס הנקראות "אטומים" (גרף מלא בן ארבעה צמתים- K4). שני אלמנטים שונים, המחברים בין אותם הצמתים, ניתנים לאיחוד. הכוח באלמנט החדש יהיה סכום הכוחות בשני האלמנטים הללו. שני מבני Tensegrity הנתונים למאמץ עצמי (self-stress) ניתנים לאיחוד (עם אילוצים מסוימים). המבנה המאוחד המתקבל יהיה אף הוא מבנה Tensegrity במאמץ עצמי. השיטה איננה דנה ביציבות של המבנה אלא רק בסוגיית היותו בשיווי-משקל. (כדי לבחון את יציבות המבנה יש להשתמש בשיטות אחרות, דוגמת אלה שיוצגו בהמשך). A B A B A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F A B C D E F + Guzman

17 הגדרות מאמץ ω על מסגרת הינו אוסף של סקלרים ωij (מתיחויות) בקשתות.
ωij= ωji כיוון שהם מתייחסים לאותה הקשת. מאמץ זה יכונה מאמץ עצמי (self-stress) אם בנוסף יתקיים התנאי הבא: כלומר לכל צומת pi, סכום הוקטורים הוא אפס. ובצורה אחרת, קיימים שני תנאים לקיום של מבנה Tensegrity: הסכום של הווקטורים בכל צומת שווה לאפס. הסכום של שני הווקטורים שרשומים בקצותיו של כל אלמנט שווה לאפס. + - Pi Guzman

18 הגדרות מבנה Tensegrity ,T(P), הוא מסגרת במאמץ עצמי שבו הקשתות ij שבהן ωij>0 הוחלפו בכבל לא מתיח (קצותיו מאולצים כך שלא יוכלו להתרחק זה מזה), והקשתות שבהן ωij<0 הוחלפו בתומכנים שלא ניתנים לכיווץ. קשתות בהן ωij=0 הוסרו. Guzman

19 יחידות Tensegrity בסיסיות- אטומים
4 סוגים של אטומים דו-מימדיים. דואליות רציפות המתיחה אם בגמר בניה קיבלנו רציפות לחיצה במקום רציפות מתיחה ניתן להפוך את סימנם של כל האלמנטים ועדיין יישאר מבנה בש"מ Guzman

20 פרוק ובניה של מבנה Tensegrity
תאוריה 1 : פירוק כל מבנה Tensegrity ניתן לפירוק למספר סופי של אטומים. הפירוק של המבנה לאטומים אינו יחיד. הוכחה : למבנה Tensegrity נתון, נוסיף שרשרת של אטומים במאמצים עצמיים, כך שבכל שלב צומת נוסף הופך לצומת שכל הקשתות המתחברות אליו מקבלות מתיחות אפס. בסופו של התהליך תתקבל מסגרת במאמץ עצמי, שבה יש רק d+2 צמתים שאינם מתאפסים- כלומר אטום. נראה גם שהמבנה המקורי, הוא סכום של אטום זה והאטומים ההפוכים לזה שהשתתפו בתהליך. נראה כי ניתן להוסיף למבנה Tensegrity נתון, שרשרת של אטומים במאמצים עצמיים, ובכל שלב להביא לכך שצומת נוסף הופך לצומת שכל הקשתות המתחברות אליו מקבלות מתיחות אפס. בסופו של התהליך תתקבל מסגרת במאמץ עצמי, שבה יש רק d+2 צמתים שאינם מתאפסים- כלומר אטום. נראה גם שהמבנה המקורי, הוא סכום של אטום זה והאטומים ההפוכים לזה שהשתתפו בתהליך. Guzman

21 פרוק ובניה של מבנה Tensegrity
המשך : בכל שלב יש רק שני מצבים אפשריים : בדיוק שלוש קשתות נפגשות בצומת A D A B C + → לאטום K שצמתיו הם A,B,C,D מאמץ עצמי ייחודי (עדי כדי הכפלה בקבוע). נבחר כך שהוא יהיה הפוך למתיחות בקשת AB ( ). בגלל שיווי משקל בצומת A גם המתיחויות AC, AD יהיו הפוכות. ייתכן שיתווספו קשתות חדשות, אך הן אינן משפיעות על צומת A למעלה משלוש קשתות עם מתיחויות שונות מאפס לאטום K שצמתיו הם A,B,C,D מאמץ עצמי שהוא ייחודי עדי כדי הכפלה בקבוע. נבחר כך שהוא יהיה הפוך למתיחות בקשת AB ( ). בגלל שיווי משקל בצומת A גם המתיחויות AC, AD יהיו הפוכות. D A B C + → E "תת-שלב" שתכליתו להביא למצב של מפגש שלוש קשתות בלבד בצומת A Guzman

22 פרוק ובניה של מבנה Tensegrity
המשך : כיון שהסכום של מאמצים עצמיים, אף הוא מאמץ עצמי, ובכל שלב צומת נוסף הופך להיות "צומת אפס" אז לאחר מספר שלבים סופי נקבל מסגרת במאמץ עצמי בעלת ארבעה צמתים בלבד. ובכך סיימנו את תהליך הפירוק. הערות : אם במקום להתחיל עם גרף המייצג מבנה Tensegrity יתחיל התהליך עם גרף קשיר כלשהו, ייתכן שבמעלה הדרך, כאשר תבוצע הפרוצדורה, יישאר לפתע גרף אשר ברור שאינו יכול לייצג מבנה Tensegrity. אם מצליחים להשלים את תהליך הפירוק ולהישאר בסופו של התהליך עם אטום, אז ניתן מתוכו לבנות מבנה Tensegrity, אשר יש למקם בצורה נכונה את צמתיו. Guzman

23 פרוק ובניה של מבנה Tensegrity
תאוריה 2 : הרכבה אם נתון צירוף של נקודות, שאין שלוש מהן על קו ישר, אזי אפשרי לבנות, שלב אחר שלב, מבנה Tensegrity אשר נקודות אלו הן צמתיו. כל האלמנטים והווקטורים מחושבים שלב אחר שלב. הוכחה : N נקודות במישור יסומנו: A1,A2,A3,…..,AN. אקראית יבחרו A1,A2,A3,A4 וירכיבו אטום. נקודה חדשה, A5, תורכב לאטום נוסף שצמתיו הם A1,A2,A3,A5. האטום החדש יתוסף לקודמו. ניתן להמשיך בצורה זו ולהוסיף עוד ועוד צמתים. ניתן לבטל חלק מהקשתות על ידי הוספת אטומים בעלי קשתות עם ערכים ההפוכים לאותן קשתות שאנו רוצים לבטל, וכך לעצב למעשה את מבנה ה- Tensegrity שיתקבל. כמובן שבניה זו איננה יחידה. Guzman

24 דוגמא : פרוק ובניה בשיטת Guzman
דוגמא דו- מימדית: נתונה טופולוגיה המייצגת מבנה מישורי יש לבדוק אם טופולוגיה זו יכולה לייצג מבנה Tensegrity בשיווי-משקל. אם ניתן, יש למקם את הצמתים במישור ולאפיין את הקשתות ככבלים או מותחנים. Guzman

25 דוגמא : פרוק ובניה בשיטת Guzman

26 דוגמא : פרוק ובניה בשיטת Guzman
התקבל אטום K4 !!! לפיכך הטופולוגיה הנתונה בתרגיל מתאימה לייצוג מבנה Tensegrity ניתן לבנות את הטופולוגיה המקורית חזרה באמצעות הוספת שני האטומים שהשתתפו בפירוק Guzman

27 דוגמא : פרוק ובניה בשיטת Guzman
כעת בניה מעשית: C B B נגדיר טופולוגיה זו כאטום דו מימדי BCEF שבו הצמתים ימוקמו שרירותית במישור (אסור למקם שלושה צמתים על אותו הישר). התומכנים מודגשים. D E D E F F להשלמת תהליך הבניה נוסיף אטום ABCF. מיקום צומת A יבוצע באופן שבו הקשתות המיותרות BF, CF יעלמו כתוצאה מהחיבור בתהליך הפוך לתהליך הפירוק : נוסיף אטום BDEF שיצרף חזרה את צומת D . כדי להיפטר מהקשת BE שנוספה בפירוק, נקבע A תמוקם : על השקול של הכוחות באלמנטים BF,CF על ישר העובר דרך F לא על ישר המחבר שני צמתים קיימים איך נדע את אופיו של BF ? Guzman

28 דוגמא : פרוק ובניה בשיטת Guzman
C B C B D E F F איך נדע את אופיו של BC ? A תמוקם : על השקול של הכוחות באלמנטים BF,CF על ישר העובר דרך F לא על ישר המחבר שני צמתים קיימים Guzman

29 סיכום ביניים Guzman עקרונות בסיסיים:
סכום הווקטורים בכל צומת שווה לאפס. סכום הווקטורים הרשומים בקצותיו של כל אלמנט שווה לאפס. השיטה מאפשרת לבצע בדיקה מהירה לגבי היכולת של טופולוגיה מסוימת לייצג מבנה Tensegrity, וכן לבנות טופולוגיות חדשות למבני Tensegrity תוך שימוש במספר כלים פשוטים. השיטה מאפשרת לממש טופולוגיה נתונה של מבנה Tensegrity ולבנות ממנה מבנה ממשי, כלומר למקם את הצמתים ולקבוע את האופי של כל אלמנט ככבל או תומכן. מן התיאוריה של Guzman מתקבל מבנה בשיווי משקל אך נדרשת הרחבה כדי להוכיח את יציבות מבנה. שיטה חדשה ומבטיחה (2004). Guzman

30 טרנספורמציית Hennenberg
G(p) היא מסגרת נתונה ב d }, i,j { היא קשת של G כך ש Pi≠Pj. נמחק את הקשת מתוך G, ונחליף אותה ב d+1 קשתות אחרות (3 קשתות במקרה הדו-מימדי), כולן מחוברות לצומת חדש pk אשר ממוקם על ישר המחבר את pi ל pj (אך לא מתלכד איתם). 2 קשתות יחברו את pk ל pi ול pj d-1 קשתות יחברו לצמתים אחרים של G. צומת pk יוסט ממקומו לנקודת שיווי-משקל. i j G(p) נניח ש G(p) היא מסגרת נתונה ב d }, i,j { היא קשת של G כך ש Pi≠Pj. נמחק את הקשת מתוך G, ונחליף אותה ב d+1 קשתות אחרות (3 קשתות במקרה הדו-מימדי), כולן מחוברות לצומת חדש pk אשר ממוקם על ישר המחבר את pi ל pj (אך לא מתלכד איתם). 2 קשתות יחברו את pk ל pi ול pj ו d-1 קשתות יחברו לצמתים אחרים של G. צומת pk יוסט ממקומו לנקודת שיווי-משקל. i j k i j k Hennenberg

31 טרנספורמציית Hennenberg
הנחה: כל גרף G קשיח בעל n-2 קשתות (n- מס' הצמתים), שדרגתו הנמוכה ביותר היא 3, יכול להתקבל מביצוע של טרנספורמציות Hennenberg והכנסת צמתים, כאשר מתחילים מגרף K4. הנחה הופכית: ניתן לפעול על גרף G בעל n-2 קשתות ולקבל בצורה הפוכה גרף K4. יש חשיבות לבחירת הצמתים אותם מפחיתים מגרף G. נניח ש G(p) היא מסגרת נתונה ב d }, i,j { היא קשת של G כך ש Pi≠Pj. נמחק את הקשת מתוך G, ונחליף אותה ב d+1 קשתות אחרות (3 קשתות במקרה הדו-מימדי), כולן מחוברות לצומת חדש pk אשר ממוקם על ישר המחבר את pi ל pj (אך לא מתלכד איתם). 2 קשתות יחברו את pk ל pi ול pj ו d-1 קשתות יחברו לצמתים אחרים של G. צומת pk יוסט ממקומו לנקודת שיווי-משקל. Hennenberg

32 סיכום שיטות גרפיות תנאי הכרחי לשיטתHennenberg הינו קיום היחס eH≥2n-2. תנאי מינימלי לבחינה בשיטת Guzman הינו eG≥3n/2. היחס כאשר n>4. כלומר טרנספורמציית Hennenberg מחייבת שיהיה צומת אחד לפחות שדרגתו בתחילת הפירוק הינה 4 (או יותר). בפירוק Hennenberg יש חשיבות לסדר הפירוק. פירוק לא נכון עלול להביא לכישלון. בשיטת Guzman אין חשיבות לסדר הפירוק (למעט שיקולי מהירות ההתכנסות). טרנספורמציית Hennenberg שומרת על הקשר e=2n-2 לאורך כל שלבי הפירוק. שיטת Guzman, לעומתה אינה מקיימת בהכרח קשר זה ולעיתים e≥2n-2 טרנספורמציית Hennenberg פחות אינטואיטיבית ביחס לשיטת Guzman. יתרונה הוא במהירות התכנסותה אך היא עדין לא הוכחה מתמטית למבני Tensegrity , ויש סכנה של פירוק לא נכון שיוביל למסקנה שגויה. תנאי הכרחי לתחילת יישום שיטתHennenberg הינו קיום היחס eH≥2n-2. תנאי מינימלי לבחינה בשיטת Guzman הינו eG≥3n/2. היחס כאשר n>4. כלומר טרנספורמציית Hennenberg מחייבת שיהיה צומת אחד לפחות שדרגתו בתחילת הפירוק הינה 4 (או יותר). כך, למשל, דוגמה מספר 1 בסעיף איננה ניתנת לפתרון באמצעות טרנספורמציית Hennenberg בפירוק Hennenberg יש חשיבות לסדר הפירוק. פירוק לא נכון עלול להביא לכישלון. בשיטת Guzman אין חשיבות לסדר הפירוק (למעט שיקולי מהירות ההתכנסות). טרנספורמציית Hennenberg שומרת על הקשר e=2n-2 לאורך כל שלבי הפירוק. שיטת Guzman, לעומתה אינה מקיימת בהכרח קשר זה ולעיתים e≥2n-2 שיטת Guzman מכסה תחום נוסף של בניה מעשית של מבני Tensegrity (מיקום צמתים, אפיון האלמנט ככבל או תומכן), תחום זה לא מכוסה על ידי Hennenberg. חלק מן השלבים מתנהגים בצורה זהה בין השיטות (כדוגמא, שלב 3 בשתי השיטות מתנהג בצורה דומה). לסיכום : טרנספורמציית Hennenberg פחות אינטואיטיבית ביחס לשיטת Guzman. יתרונה הוא במהירות התכנסותה אך היא עדין לא הוכחה מתמטית למבני Tensegrity , ויש סכנה של פירוק לא נכון שיוביל למסקנה שגויה.

33 שיטות קינמטיות אורך הכבלים נשמר קבוע ואילו אורך התומכנים גדל למקסימום.
או לחילופין אורך התומכנים נשמר ומקצרים את הכבלים למינימום. גישה זו מבטאת את האופן שבו מבצעים את הבניה בפועל מציאת צורה

34 שיטות קינמטיות שלוש שיטות קינמטיות: שיטה אנליטית.
שיטת אופטימיזציה לא ליניארית. שיטה איטרטיבית – הרפיה דינמית. מציאת צורה

35 1. שיטה אנליטית ניתן לפתור בצורה אנליטית רק מבנים פשוטים ביותר. למשל מבני Tensegrity פריזמתיים בהם קיימת סימטריה וניתן להגיע לשיווי משקל ע"י סיבוב יחסי של המצולע העליון ביחס לתחתון. למקרים שאינם סימטריים הפתרון הופך להיות לא מעשי בגלל ריבוי הנעלמים. יבחן מבנה פשוט שבו הכבלים מסודרים לאורך קשתות של פריזמה. מספר תומכנים מחברים את V הצמתים בבסיס התחתון לצמתים המתאימים בבסיס העליון. כתלות במספר הצמתים והמרחקים , ישנה זוית θ בין המצולע העליון והתחתון שבה מתקבל מבנה Tensegrity יציב. במצב ההתחלתי הכבל 12 ניצב והזווית בין קצוות התומכן היא .2j/v j הוא שלם קטן מ V. מן הגיאומטריה מתקבל : elements meeting at node 1 of structure with v-fold symmetry, with radius R and height H (Connelly and Terrell) לכבל באורך נתון, lc , האורך של התומכן, ls , יגיע לערך מכסימלי כאשר :

36 2. שיטת אופטימיזציה לא ליניארית
שיטה זו הופכת את בעיית מציאת הצורה של כל מבנה Tensegrity לבעיית מינימום מאולצת. מתחילים ממערכת שבה נתונה הטופולוגיה ומיקומי הצמתים. מאריכים תומכן אחד או יותר, תוך שמירה על יחס אורכים קבוע עד שמגיעים לקונפיגורציה שבה אורכיהם מקסימליים. בעיית המינימום המאולצת היא מהצורה הבאה: Minimize f(x,y,z) Subject to gi(x,y,z)=0 for i=1,….,n פונקצית המטרה יכולה להיות,לדוגמה, האורך השלילי של אחד התומכנים מציאת צורה

37 2. שיטת אופטימיזציה לא ליניארית
בעיית המינימום המאולצת תהיה מהצורה: כאשר c1, c2,….,c6 הם שישה הכבלים הנותרים שאינם ידועים s1,s2,s3 הם התומכנים נבחן את הדוגמא הבאה (Pellegrino) : פריזמה משולשת: יש תשעה כבלים באורך יחידה lc=1 ושלושה תומכנים. אחד הבסיסים מקובע ולכן שלושה צמתים ידועים מתוך השישה. מציאת צורה

38 2. שיטת אופטימיזציה לא ליניארית
יתרונות : מאפשר שימוש בתוכנות פשוטות (דוגמת Matlab). מאפשרת למצוא גיאומטריות חדשות עבור טופולוגיה נתונה, על ידי הגדרת יחסים חדשים בין האורכים של התומכנים. חסרונות: מספר האילוצים הולך וגדל עם כל אלמנט שנוסף למערכת (בעייתי במערכות גדולות). אין דרך ישירה לשלוט בכוחות המתפתחים באלמנטים השונים.

39 3. שיטה איטרטיבית- הרפיה דינמית
למבנה בקונפיגורציה ראשונית נתונה, עליו פועלים כוחות חיצוניים נתונים, משוואת שיווי-המשקל ניתנת לחישוב ע"י אינטגרציה של המשוואה הדינאמית כאשר : K מטריצת הקשיחות M מטריצת המסה D מטריצת השיכוך (damping) f וקטור הכוחות החיצוניים הם וקטורי התזוזה, המהירות והתאוצה בהתאמה ביחס לקונפיגורציה ההתחלתית. הן M והן D נבחרות כך שהן יהיו מטריצות אלכסוניות, לצורך נוחות ופשטות, והמהירויות והתזוזות נקבעות כאפס במצב ההתחלתי. מציאת צורה

40 3. שיטה איטרטיבית- הרפיה דינמית
יתרונות : לשיטה יכולת התכנסות טובה למבנים בהם מספר צמתים מועט. חסרונות: מאבדת מהאפקטיביות שלה כאשר מספר הצמתים גדל. נוצר סרבול כאשר דרושים מספר יחסים שונים בין הכבלים לתומכנים, דבר אשר מגביל את השיטה למבנים סימטריים ולא מורכבים מדי. מציאת צורה

41 שיטות סטטיות בשיטות אלו מוצאים את הקשר שבין קונפיגורציה בטופולוגיה ידועה והכוחות הפועלים על האלמנטים שלה. קשר זה מנותח באמצעות אחת מהשיטות הבאות: שיטה אנליטית שיטת צפיפות הכוח (force density) שיטת מינימום אנרגיה שיטת הקואורדינטות המופחתות מציאת צורה

42 1. שיטה אנליטית נביט שוב בדוגמא הבאה:
כדי ליצור מערכת משוואות לינאריות בשיווי משקל מוגדר פרמטר חדש : qij – צפיפות כוח = כוח מחולק באורך. לפיכך משוואת שיווי המשקל בצומת 1 בכיוון z ו y תהיה : בוצע צמצום של q1,4 ו- q1,5 כיוון שהם שווים זה לזה מטעמי סימטריה. בשיטות הקינמטיות לעומת שיטה זו בוצעה גזירה של המשוואה ובדיקת מקסימום אורך של תומכן תחת אילוץ אורך נתון של הכבלים הפתרון היחיד של שתי משוואות אלה עבורו כל הכבלים במתיחה הוא : באופן לא מפתיע זהו גם הפתרון שהתקבל בשיטה הקינמטית

43 2. שיטת צפיפות הכוח נחזור ונדון ב"טריק" המתמטי הפשוט שנועד להפוך מערכת משוואות לא ליניאריות בצמתים, למערכת של משוואות לינאריות. לדוגמא, משוואת שיווי-המשקל בכיוון x בצומת כלשהו, i, היא: כאשר: t – הכוח באלמנט l – אורך האלמנט f – וקטור הכוחות החיצוניים lij הוא פונקציה של הקואורדינטות ולכן המשוואה איננה ליניארית. נגדיר לפיכך פרמטר חדש : qij=tij/lij q נקרא צפיפות הכוח וערכו צריך להיות ידוע בתחילת תהליך מציאת הצורה. למבנה ובו b אלמנטים ו n צמתים, משוואות שיווי-המשקל בכיוון x ניתנות לכתיבה באופן הבא: כאשר : Cs : מטריצת הפגישות [bxn] Q : מטריצה אלכסונית המכילה את צפיפויות הכוח. xs : וקטור הכולל את קואורדינטות x. fx : וקטור הכוחות החיצוניים הפועלים על הצמתים בכיוון x. הביטוי השמאלי הוא היטל הכוח t בכיוון x. למרות שזו נראית משוואה ליניארית, למעשה אין היא כזו בגלל שהאורך lij שבמכנה אף הוא פונקציה של הקואורדינטות. הליניאריזציה מבוצעת באמצעות הצגת משתנה חדש לכל אלמנט(כפי שהוצג בסעיף הקודם). המשתנה הוא צפיפות הכוח, והוא מוגדר באופן הבא : (14) qij=tij/lij הערך של צפיפות הכוח צריך להיות ידוע בתחילתו של תהליך מציאת הצורה. מציאת צורה

44 2. שיטת צפיפות הכוח D כיוון שמדובר במבנה בעומס עצמי (self-stress) אז לרוב אין צמתים שמיקומם מאולץ ואין כוחות חיצוניים. ניתן לפיכך לרשום : למבנה ובו b אלמנטים ו n צמתים, משוואות שיווי-המשקל בכיוון x ניתנות לכתיבה באופן הבא: כאשר : Cs : מטריצת הפגישות [bxn] Q : מטריצה אלכסונית המכילה את צפיפויות הכוח. xs : וקטור הכולל את קואורדינטות x. fx : וקטור הכוחות החיצוניים הפועלים על הצמתים בכיוון x. ביטויים דומים יופיעו בכיוונים y ו z. D הינה מטריצת צפיפות הכוח וניתן לחשבה ישירות ללא מעבר דרך Q ו Cs בצורה הבאה: נשים לב שמטריצה D היא תמיד ריבועית וסינגולארית, כיוון שהסכום של השורות והעמודות הוא אפס המטריצה D במקרה של מבנה Tensegrity היא semi-definite, ובגלל הנוכחות של אלמנטי לחיצה עבורם , ישנם מספר סיבוכים בתהליך מציאת הצורה. פרוצדורה מעשית למציאת מערכת של צפיפויות כוח, כך שמטריצה D תהיה עם דרגה רצויה, נכתבה ב [Vassart, 1997], והיא תידון בפרוט בהמשך (סעיף 2.4).

45 3. שיטת מינימום אנרגיה ראינו קודם לכן שבמאמץ עצמי: כאשר:
ωij>0 לכבלים ωij<0 לתומכנים אם נשווה ביטוי זה לביטוי שקיבלנו זה עתה לגבי צפיפות הכוח : ברור הוא שהמאמצים העצמיים ωij זהים לצפיפויות הכוח qij קיום המשוואה לעיל הינו תנאי הכרחי אך אינו מספיק לקיומו של מבנה Tensegrity, יש תנאי נוסף שיש להתחשב בו.... מציאת צורה

46 3. שיטת מינימום אנרגיה נגדיר ביטוי לאנרגיה המקושר למצב המאמצים ω :
כאשר הקצוות של האלמנט זזים, האנרגיה נבנית כפונקציה ריבועית של ההתארכות. משוואה זו תקבל ערך מינימום כתלות ישירה בהתארכותו של האלמנט. הוא וקטור באורך dn המכיל את קואורדינטות ה- x,y,z של p. יתקבל לפיכך : כאשר : עקרון בסיסי באנליזה של מבנים הוא שהאנרגיה הפוטנציאלית הכוללת צריכה להיות במינימום מקומי כדי שקונפיגורציה כלשהי תהיה יציבה. הרעיון העומד מאחורי זה הוא שהקצוות של האלמנט זזוים האנרגיה נבנית כפונקציה ריבועית של ההתארכות. משוואה (22) תקבל ערך מינימום כתלות ישירה בהתארכותו של האלמנט. מניחים בשיטה זו שכל האלמנטים מתנהגים כקפיצים ליניאריים. הכבל שיכול לקבל רק כוח מתיחה, הוא בעל כושר התארכות בגודל אפס, ואילו לתומכן יש כושר התארכות אינסופי ______________________________________________ ניתן לראות שהגדרת D זהה להגדרת Ω אך משוואה זו נותנת תמונה עמוקה יותר של התכונות המאפיינות את שיטת צפיפות הכוח ועל הדרך בה שיטה זו מסייעת במציאת צורות שיווי-משקל יציבות של מבני Tensegrity. תנאי הכרחי ליציבות מסגרת מבנה Tensegrity בקונפיגורציה p הוא שהערך E(p) יהיה במינימום מקומי בp. ערכו החיובי של E(p) קשור ישירות לזה של Ω, אך אין זה ריאלי לדרוש חיוביות בהחלט, כיוון שמרחב האפסים של Ω מכיל לפחות את הווקטור הלא טריוויאלי [1,…..,1]T. היציבות החזקה ביותר בעומס מוקדם, המכונה [Connelly, 1999] בשם "סופר יציבות" מחייבת יציבות בעומס מוקדם (pre-stress) עם דרישה נוספת, לפיה Ω הינו חיובי semi-definite עם דרגה מכסימלית. הדרגה המכסימלית של Ω למבנה במרחב d-מימדי היא n-d-1 כדי לתכנן מבנה Tensegrity סופר יציב יש למצוא מערכת של צפיפויות כוח כך שה nullity N של Ω היא d+1.

47 4. שיטת הקואורדינטות המופחתות
מבנה Tensegrity מספר האלמנטים = b o תומכנים (התייחסות כאל אילוצים דו-צדדיים לכבלים) m כבלים b=m+o נסתכל על מבנה Tensegrity, אשר מספר האלמנטים שלו הוא b (מחולק ל M כבלים ו O תומכנים). אל התומכנים מתייחסים כאל אילוצים דו-צדדיים המאלצים את הכבלים. נגדיר מערכת של קואורדינטות מוכללות בלתי תלויות, אשר מגדירות את המיקום והאוריינטציה של התומכנים. נסתכל על מצב מאמצים עצמיים (self stress) של מבנה, שבו tj הוא כוח צירי בכבל כללי j . הכוחות בכבלים נמצאים בשיווי-משקל עם התומכנים המתאימים ובמצב זה לא פועלים כוחות חיצוניים. מערכת של משוואות שיווי-משקל תוך שימוש בעיקרון של עבודה מדומה יביא למציאת כל הכוחות הפועלים במערכת. נגדיר סט קואורדינטות מוכללות בלתי תלויות המגדירות את המיקום והאוריינטציה של התומכנים g=[g1,g2,….,gN]T . בדו-מימד: N=3xO (x,y,θ) בתלת מימד: N=5xO (x,y,z,θ,φ) מציאת צורה

48 4. שיטת הקואורדינטות המופחתות
במצב מאמצים עצמיים (self stress) הכוחות בכבלים t=[t1,t2,…,tM]T בשיווי-משקל עם התומכנים המתאימים ואין כוחות חיצוניים. מערכת של משוואות שיווי-משקל תוך שימוש בעיקרון של עבודה מדומה תביא למציאת כל הכוחות הפועלים במערכת. נניח תזוזה מדומה של המבנה בגודל δg, אך ללא התארכות של התומכנים. השינוי באורך של כבל j הוא : ועבור כל הכבלים : כאשר A [NXM] : נסתכל על מצב מאמצים עצמיים (self stress) של מבנה, שבו tj הוא כוח צירי בכבל כללי j . הכוחות בכבלים נמצאים בשיווי-משקל עם התומכנים המתאימים ובמצב זה לא פועלים כוחות חיצוניים. מערכת של משוואות שיווי-משקל תוך שימוש בעיקרון של עבודה מדומה יביא למציאת כל הכוחות הפועלים במערכת. נניח תזוזה וירטואלית של המבנה בגודל δg, אך ללא התארכות של התומכנים. מציאת צורה

49 4. שיטת הקואורדינטות המופחתות
העבודה המתקבלת היא זו של הכבלים (התומכנים לא משנים את אורכם) ולכן : tTδl=(At)Tδg בשיווי משקל ביטוי זה שווה לאפס לכל תזוזה מדומה δg לפיכך At=0 ניתן לקבל סט של תנאים מתוך שתי הדרישות הבאות : לפתרון לא טרוויאלי נדרש: rank A<M רק פתרונות חיוביים הינם בעלי עניין : tj>0 for j=1,2,….,M נסתכל על מצב מאמצים עצמיים (self stress) של מבנה, שבו tj הוא כוח צירי בכבל כללי j . הכוחות בכבלים נמצאים בשיווי-משקל עם התומכנים המתאימים ובמצב זה לא פועלים כוחות חיצוניים. מערכת של משוואות שיווי-משקל תוך שימוש בעיקרון של עבודה מדומה יביא למציאת כל הכוחות הפועלים במערכת. נניח תזוזה וירטואלית של המבנה בגודל δg, אך ללא התארכות של התומכנים. מציאת צורה

50 סיכום ומסקנות שיטות מציאת הצורה
סיכום ומסקנות שיטות מציאת הצורה בחלקה השני של העבודה הוצגו 7 שיטות המחולקות לשתי משפחות : 1. שיטות קינמטיות מגדירות קונפיגורציה עם אורך מכסימלי של התומכנים או אורך מינימלי של הכבלים, כאשר הסוג השני נשמר קבוע ואינו משתנה. 2. שיטות סטטיות שיטה אנליטית – מקרים פשוטים או סימטריים השיטות לא ניתנות ליישום בקונפיגורציה שאינה מוגדרת היטב שתי השיטות שימשו בהצלחה לקביעת פרטים של קונפיגורציה ידועה. שיטת אופטימיזציה לא ליניארית שיטה איטרטיבית – הרפיה דינמית מחפשות קונפיגורציות בשיווי-משקל המאפשרות מצב של עומסים פנימיים במבנה. הוצגו בסעיף זה שבע שיטות למציאת צורה במבני Tensegrity וחולקו לשתי משפחות. המשפחה הראשונה כוללת שיטות קינמטיות, שמגדירות קונפיגורציה עם אורך מכסימלי של התומכנים או אורך מינימלי של הכבלים, כאשר הסוג השני נשמר קבוע ואינו משתנה. המשפחה השנייה כוללת שיטות סטטיות, שמחפשות קונפיגורציות בשיווי-משקל המאפשרות מצב של עומסים פנימיים במבנה. כל קטגוריה כוללת שיטה אנליטית שמתאימה למקרים פשוטים מאד או סימטריים. שתי השיטות הקינמטיות הנוספות שימשו שתיהן בהצלחה לקביעת נתוני הקונפיגורציה- מיקום הצמתים של מבנים שבאופן כללי כבר היו ידועים (טופולוגיה וסוג אלמנטים ידועים מראש). אף אחת מהשיטות לא יכולה להתאים לבעיות שאינן מוגדרות באופן מלא (למשל אם אורך הכבלים אינו ידוע בבעיות בהן מגדילים את אורך התומכנים לכדי מכסימום). שלוש השיטות הסטטיות הנותרות הן למעשה שתיים בלבד, כיוון ששיטת צפיפות הכוח, ושיטת האנרגיה הוכחו כשיטות השקולות זו לזו. החוזק העיקרי של שיטת צפיפות הכוח הוא שהיא מתאימה למקרים בהם אורכי האלמנטים של המבנה לא מוגדרים בהתחלה. בצורה זו אפשר למצוא קונפיגורציות חדשות, אך קשה לשלוט באורכי האלמנטים כאשר הצירוף של צפיפויות הכוח משתנה. שיטת הקואורדינטות המופחתות מתאימה למקרים בהם חלק מהגיאומטריה כבר ידוע ,ואז היא מציעה שליטה טובה יותר בגיאומטריה של המבנה. עם זאת היא כוללת יותר מניפולציות סימבוליות. באופן כללי, השיטות הסטטיות הינן בעלות תכונות טובות יותר לשימוש מעשי, מאשר השיטות הקינמטיות. לסיכום, יש מגוון שיטות לניתוח של מבני Tensegrity, אך אף אחת מהשיטות איננה מתאימה למקרה כללי. שיטה אנליטית –מקרים פשוטים או סימטריים טובה למציאת קונפיגורציות חדשות. קושי בשליטה על אורכי האלמנטים עם השינוי במתיחויות. שיטת צפיפות הכוח (force density) שיטת מינימום אנרגיה שיטת הקואורדינטות המופחתות שיטות אקוויולנטיות שליטה טובה על הצורה של המבנה . ריבוי מניפולציות סימבוליות

51 מסקנות וכיווני מחקר אפשריים
תחום מחקרי מבטיח בתחומים רבים אין נכון להיום שיטה המאפשרת פתרון מלא למקרה כללי שיטת Guzman מאפשרת לבצע בדיקה מהירה לגבי היכולת של טופולוגיה מסוימת לייצג מבנה Tensegrity, ולבנות טופולוגיות חדשות למבני Tensegrity תוך שימוש במספר כלים פשוטים מתקבל מבנה בשווי-משקל- נדרשת הרחבה להוכחת יציבות טרנספורמציית Hennenberg לטיפול במבני Tensegrity רעיון חדש אשר מצדיק המשך בחינה והוכחה מערכות ה-Tensegrity מהוות תחום מחקרי מבטיח בתחומים רבים ומגוונים, שחלקם עדין בחיתוליהם. הפוטנציאל של שילוב מבני tensegrity בתחומים צבאיים, רפואיים, ארכיטקטים, ובתחום הרובוטיקה ,החלל ועוד, מהווים מנוף משמעותי להמשך המחקר שהינו עדיין בשלבי התהוות. סקירת העבר מראה שתחום זה עדין לא הושלם מבחינה מחקרית ועל אף שנעשו לא מעט מחקרים בנושא מציאת צורה ובחינת יציבות, אין נכון למועד זה שיטה אשר מאפשרת פתרון מלא למקרה כללי של מבנה Tensegrity. שיטת Guzman, המוצגת בעבודה זו הינה שיטה חדשה ומבטיחה. היא מושתתת על מספר עקרונות מתמטיים ולוגיים פשוטים, המאפשרים לבצע בדיקה מהירה לגבי היכולת של טופולוגיה מסוימת לייצג מבנה Tensegrity, וכן לבנות טופולוגיות חדשות למבני Tensegrity תוך שימוש במספר כלים פשוטים. השיטה מאפשרת לממש טופולוגיה נתונה של מבנה Tensegrity ולבנות ממנה מבנה ממשי, כלומר למקם את הצמתים ולקבוע את האופי של כל אלמנט ככבל או תומכן. המבנה שיתקבל מן התיאוריה של Guzman יהיה מבנה בשיווי משקל אך נדרשת הרחבה כדי להוכיח יציבות של המבנה. הרחבה אפשרית לבחינת יציבות, יכולה להיות, כהמשך מחקר, מימוש השיטה לצורך הקטנת הכוחות באלמנטים השונים והוכחת יציבות. למשל על ידי ביצוע מינימיזציה לכוח בכל אלמנט באמצעות הזזת צמתים. ניתן להערכתי לבנות תוכנת מחשב אשר תמצא אופטימום עם הוספה של כל אטום. האופטימום יכול להתבסס על עקרונות שונים, דוגמת : מינימום תומכנים, כוח ממוצע מינימלי באלמנטים ועוד. הרעיון של שימוש בטרנספורמציית Hennenberg לטיפול במבני Tensegrity אף הוא רעיון חדש אשר מצדיק המשך בחינה והוכחה.