ή κάπου την έχουμε πατήσει

Παρουσίαση με θέμα: "ή κάπου την έχουμε πατήσει"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ή κάπου την έχουμε πατήσει
Το θεώρημα & η απόδειξη ή κάπου την έχουμε πατήσει

2 Κάπου την έχουμε πατήσει
Απόσπασμα από το τραγούδι: Κάπου την έχουμε πατήσει Λουκιανός Κηλαηδόνης … Αν κοιμηθώ νωρίς θα σηκωθώ νωρίς θα ξεκινήσω νωρίς και θα παρκάρω νωρίς Αν κοιμηθώ αργά θα σηκωθώ αργά κι όταν θα ψάχνω για πάρκινγκ θα ‘ναι αργά.

3 ΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ Αν κοιμηθώ νωρίς τότε θα σηκωθώ νωρίς
αν σηκωθώ νωρίς τότε θα ξεκινήσω νωρίς αν ξεκινήσω νωρίς τότε θα παρκάρω νωρίς

4 ΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ Αν κοιμηθώ νωρίς Υπόθεση τότε 1ο λογικό βήμα θα σηκωθώ νωρίς 2ο λογικό βήμα θα ξεκινήσω νωρίς 3ο λογικό βήμα θα παρκάρω νωρίς Συμπέρασμα ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

5 ΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ Αν κοιμηθώ αργά Υπόθεση τότε 1ο λογικό βήμα θα σηκωθώ αργά 2ο λογικό βήμα (θα ξεκινήσω αργά) 3ο λογικό βήμα όταν θα ψάχνω για πάρκινγκ θα ‘ναι αργά Συμπέρασμα ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ

6 όταν θα ψάχνω για πάρκινγκ
ΠΡΟΤΑΣΗ ΑΝΤΙΘΕΤΗ Αν κοιμηθώ νωρίς κοιμηθώ αργά δεν κοιμηθώ νωρίς Υπόθεση τότε θα παρκάρω νωρίς όταν θα ψάχνω για πάρκινγκ θα ‘ναι αργά δεν θα παρκάρω νωρίς Συμπέρασμα ΣΩΣΤΗ

7 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΑΝ-ΤΟΤΕ Ένα θεώρημα μπορεί να έχει τη μορφή μιας πρότασης της μορφής Αν … τότε …

8 Πρόταση Αντίθετη Αντίστροφη Αντιθετο-αντίστροφη
η θερμοκρασία είναι κάτω από 0οC η θερμοκρασία δεν είναι κάτω από 0οC το νερό γίνεται πάγος το νερό δεν γίνεται πάγος Υπόθεση τότε Συμπέρασμα ΣΩΣΤΗ Τιμή αλήθειας

9 Πρόταση Αντίθετη Αντίστροφη Αντιθετο-αντίστροφη
υπάρχει φυσικό φως δεν υπάρχει φυσικό φως ο ήλιος είναι πάνω από τον ορίζοντα ο ήλιος δεν είναι πάνω από τον ορίζοντα Υπόθεση τότε Συμπέρασμα Η αντίθετη δεν έχει πάντα την ίδια τιμή αλήθειας με την αρχική πρόταση. (Αν δεν ισχύει η υπόθεση ενός θεωρήματος δεν είναι σίγουρο ότι δεν ισχύει και το συμπέρασμά του) Η αντίστροφη δεν έχει πάντα την ίδια τιμή αλήθειας με την αρχική πρόταση. (Δεν ισχύει πάντα το αντίστροφο ενός θεωρήματος) H αντιθετο-αντίστροφή έχει την ίδια τιμή αλήθειας με την αρχική πρόταση. ΣΩΣΤΗ ΛΑΘΟΣ Τιμή αλήθειας

10 Πρόταση Αντίθετη Αντίστροφη Αντιθετο-αντίστροφη
ο ήλιος είναι πάνω από τον ορίζοντα ο ήλιος δεν είναι πάνω από τον ορίζοντα υπάρχει φυσικό φως δεν υπάρχει φυσικό φως Υπόθεση τότε Συμπέρασμα H αντιθετο-αντίστροφή έχει την ίδια τιμή αλήθειας με την αρχική πρόταση. ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΗ Τιμή αλήθειας

11 ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΑΝ-ΤΟΤΕ
ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ ΑΝ-ΤΟΤΕ Μία πρόταση και η αντίθετή της δεν έχουν πάντα την ίδια τιμή αλήθειας (αν δεν ισχύει η υπόθεση ενός θεωρήματος, δεν είναι σίγουρο ότι δεν ισχύει και το συμπέρασμά του). Μία πρόταση και η αντίστροφή της δεν έχουν πάντα την ίδια τιμή αλήθειας (δεν ισχύει πάντα το αντίστροφο ενός θεωρήματος). Μία πρόταση και η αντιθετο-αντίστροφή της έχουν πάντα την ίδια τιμή αλήθειας.

12 Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ
Η απόδειξη ενός θεωρήματος μπορεί να έχει τη μορφή του συλλογισμού που είδαμε στο τραγούδι “Κάπου την έχουμε πατήσει”

13 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ
ΤΑ ΛΟΓΙΚΑ ΒΗΜΑΤΑ Αν κοιμηθώ νωρίς Υπόθεση τότε 1ο λογικό βήμα θα σηκωθώ νωρίς 2ο λογικό βήμα θα ξεκινήσω νωρίς 3ο λογικό βήμα θα παρκάρω νωρίς Συμπέρασμα ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Η μέθοδος αυτή ονομάζεται συνθετική. Αναπτύσσει έναν συλλογισμό ξεκινώντας από μία υπόθεση και καταλήγοντας, με λογικά βήματα, σε ένα συμπέρασμα. Υπόθεση Συμπέρασμα ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ Δεδομένο Ζητούμενο

14 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ Ο Ευάγγελος Σταμάτης στην ιστορική σύγχρονη έκδοσή του των “Στοιχείων” του Ευκλείδη, την αναφέρει τις αποδεικτικές μεθόδους που χρησιμοποιεί ο Ευκλείδης. Σταμάτης, 1952 Ευκλείδου Γεωμετρία

15 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ

16 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ Δεδομένο Ζητούμενο Της άσκησης
Από τη θεωρία Κάτι που αποδείξαμε σε προηγούμενο ερώτημα της άσκησης Κάτι προφανές ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ Ζητούμενο Ισχύει Δεδομένο της άσκησης Από τη θεωρία Κάτι που αποδείξαμε σε προηγούμενο ερώτημα της άσκησης Κάτι προφανές ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ

17 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗΣ ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ
Η συνθετική μέθοδος μπορεί να υλοποιηθεί και με πιο σύνθετα σχήματα. Περισσότερα από ένα δεδομένα μπορούν να συνδυαστούν με διάφορους τρόπους για να εξάγουν ένα ζητούμενο. ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ Δεδομένο Δεδομένο Δεδομένο 3 … Πρόσθεση, αφαίρεση, πολ/μός, διαίρεση κατά μέλη Θεώρημα Αντικατάσταση, μεταβατική ιδιότητα Ζητούμενο

18 Η ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ

19 Ο Polya περιγράφει τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο και διακρίνει την απαγωγή σε άτοπο και την έμμεση απόδειξη ως δύο διαφορετικές αλλά σχετικές διαδικασίες. Η απαγωγή σε άτοπο δείχνει ότι μία υπόθεση δεν αληθεύει, φθάνοντας από αυτή σε ένα προφανές άτοπο. Η έμμεση απόδειξη καταλήγει στο συμπέρασμα ότι μία υπόθεση είναι αληθής, δείχνοντας ότι η αντίθετη υπόθεση είναι ψευδής. Polya 1945 How to solve it Princeton University Press

20 Η απαγωγή σε άτοπο μοιάζει με την ειρωνεία που χρησιμοποιούσαν οι σατιρικοί. Η ειρωνεία υιοθετεί μία άποψη, την τονίζει και την υπερτονίζει μέχρι να καταλήξει σε ένα προφανές άτοπο. Polya 1945 How to solve it Princeton University Press

21 Η έμμεση απόδειξη μοιάζει με το κόλπο ενός πολιτικού να καθιερώσει έναν υποψήφιο καταστρέφοντας την υπόληψη του αντιπάλου του. Polya 1945 How to solve it Princeton University Press

22 ΤΟ ΑΛΛΟΘΙ Ο διάσημος μαφιόζος κακοποιός Al Capone ήταν υπεύθυνος για πολλούς φόνους αλλά δεν καταδικάστηκε ποτέ για κανέναν από αυτούς, γιατί πάντα είχε άλλοθι. Η αμερικανική κυβέρνηση ήθελε οπωσδήποτε να τον παγιδεύσει και να τον κλείσει φυλακή. Κατάφερε να τον καταδικάσει μόνο για φοροδιαφυγή.

23 ΤΟ ΑΛΛΟΘΙ Η χρήση του άλλοθι είναι μία εφαρμογή απαγωγής σε άτοπο που χρησιμοποιείται στη νομική επιστήμη και πρακτική: Ας υποθέσουμε ότι ο κατηγορούμενος είναι ένοχος. Τότε θα έπρεπε να βρίσκεται στον τόπο του εγκλήματος, την ώρα του εγκλήματος. Όμως υπάρχουν μάρτυρες που βεβαιώνουν ότι ο κατηγορούμενος ήταν σε άλλον τόπο την ώρα του εγκλήματος (ΑΛΛΟΘΙ-ΑΤΟΠΟ). Άρα, η υπόθεση ότι ο κατηγορούμενος είναι ένοχος δεν ευσταθεί, συνεπώς ο κατηγορούμενος είναι αθώος.

24 ΡΗΤΟΡΙΚΗ Καταγωγή της ρητορικής στις κοινωνικές ανάγκες.
Το πολιτισμικό πλαίσιο (η πόλη κράτος, η δημοκρατία) και η ανάγκη για επιχειρηματολογία. Η ανάγκη για επιχειρηματολογικό λόγο. Kennedy 1994 Ιστορία της κλασσικής ρητορικής Princeton University Press

25 ΡΗΤΟΡΙΚΗ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δοξιάδης 2012
A streetcar named proof. From storytelling to geometry, via poetry and rhetoric. Circles Disturbed, Princeton University Press

26 ΡΗΤΟΡΙΚΗ & ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Δοξιάδης 2012
A streetcar named proof. From storytelling to geometry, via poetry and rhetoric. Circles Disturbed, Princeton University Press

27 ΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ
με απαγωγή σε άτοπο στη ρητορική Πρώτη Τετραλογία του Αντιφώντα Ένα από τα παλαιότερα πεζά κείμενα που είναι γραμμένα σε αττική διάλεκτο. Δεν πρόκειται για λόγους που εκφωνήθηκαν στο δικαστήριο, αλλά για γυμνάσματα ή υποδείγματα λόγων, που παρουσιάζουν διαφορετικούς τρόπους επιχειρηματολογίας και που προορίζονταν για ανάγνωση και άσκηση και φιλοδοξούσαν να προκαλέσουν συζητήσεις και ενδεχομένως να λειτουργήσουν ως πρότυπο προς μίμηση. Αντιφών 5ος αι. π.Χ. Πρώτη Τετραλογία Maidment K. J. (1941). Minor Greek Orators. Harvard University Press

28 ΔΕΙΓΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΟΛΟΓΙΑΣ
με απαγωγή σε άτοπο στη ρητορική Απόσπασμα από την Πρώτη Τετραλογία: Είναι απίθανο να τον δολοφόνησαν κακοποιοί, καθώς κανείς που θα εξέθετε τη ζωή του σε τέτοιο σοβαρό κίνδυνο δεν θα παραιτούνταν από την ανταμοιβή εφόσον αυτή θα ήταν με ασφάλεια στο χέρι του· και τα θύματα βρέθηκαν με τους χιτώνες τους. Το σχήμα της επιχειρηματολογίας που είναι μία απαγωγή σε άτοπο 1. Κανείς που θα εξέθετε τη ζωή του σε σοβαρό κίνδυνο (δηλ. οι κακοποιοί) 2. Δεν θα παραιτούνταν από την ανταμοιβή (τον χιτώνα) εφόσον αυτή θα ήταν με ασφάλεια στο χέρι του 2*. Και τα θύματα βρέθηκαν με τους χιτώνες τους 1*. Είναι απίθανο να τον δολοφόνησαν κακοποιοί

29 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ
Ομοιότητες και συσχέτιση απαγωγής σε άτοπο και αναλυτικής μεθόδου Συσχέτιση πλάγιας απόδειξης και απαγωγής σε άτοπο Έκβαση της απαγωγής σε άτοπο στην περίπτωση που η αρχική πρόταση να είναι λάθος. Ανακαλυπτική μέθοδος.

30 Πρόταση Αντίθετη Αντίστροφη Αντιθετο-αντίστροφη Απαγωγή σε άτοπο
Πλάγια απόδειξη Υπόθεση: υπάρχει φυσικό φως Ζητούμενο: ο ήλιος είναι πάνω από τον ορίζοντα Αν Έστω ότι υπάρχει φυσικό φως δεν υπάρχει φυσικό φως ο ήλιος είναι πάνω από τον ορίζοντα ο ήλιος δεν είναι πάνω από τον ορίζοντα τότε ΑΤΟΠΟ (αντίφαση με την υπόθεση: υπάρχει φυσικό φως) Άρα: ο ήλιος είναι πάνω από τον ορίζοντα ΣΩΣΤΗ ΛΑΘΟΣ

31 Πρόταση Αντίθετη Αντίστροφη Αντιθετο-αντίστροφη Απαγωγή σε άτοπο
Πλάγια απόδειξη Αν Έστω ότι ο ήλιος είναι πάνω από τον ορίζοντα ο ήλιος δεν είναι πάνω από τον ορίζοντα υπάρχει φυσικό φως δεν υπάρχει φυσικό φως τότε δεν μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα αν ο ήλιος είναι ή δεν είναι πάνω από τον ορίζοντα ΛΑΘΟΣ ΣΩΣΤΗ

32 Η ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ ΩΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ
Αν η αρχική υπόθεση είναι λάθος, τότε η εφαρμογή της μεθόδου της απαγωγής σε άτοπο δεν αποδίδει γιατί δεν μπορεί να οδηγήσει σε ασφαλές συμπέρασμα για την αλήθεια ή το λάθος του συμπεράσματος. Η χρήση της μεθόδου μπορεί όμως να οδηγήσει σε εντελώς απροσδόκητες μαθηματικές ανακαλύψεις. Ιστορικά, η χρήση αυτής της μεθόδου οδήγησε στην επινόηση των μη ευκλείδειων γεωμετριών.

33 Η ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ ΩΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ
Ο Lobachevsky και ο Reimann, προσπάθησαν να αποδείξουν την ανεξαρτησία του 5ου αξιώματος του Ευκλείδη από τα άλλα 4 αξιώματα, ένα θέμα που απασχολούσε τους μαθηματικούς για πολλά χρόνια, με τη χρήση μιας τεχνικής που χρησιμοποιεί την απαγωγή σε άτοπο. Η τεχνική για να εξεταστεί η ανεξαρτησία ενός αξιώματος από ένα σύνολο αξιωμάτων ενός αξιωματικού συστήματος, συνίσταται στην άρνηση της αλήθειας του υπό εξέταση αξιώματος και την εξαγωγή από αυτή την υπόθεση μιας αντίφασης, λαμβάνοντας ταυτόχρονα ως υποθέσεις υποβάθρου τα υπόλοιπα 4 αξιώματα.

34 Η ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ ΩΣ ΜΕΘΟΔΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΚΑΛΥΨΗΣ
Μην επιτυγχάνοντας να καταλήξουν σε αντίφαση, το θέμα της ανεξαρτησίας του 5ου αξιώματος έμεινε ανοικτό, ταυτόχρονα όμως, είχαν ήδη ανακαλύψει-επινοήσει εσωτερικά συνεπή συστήματα διαφορετικά από τη γεωμετρία του Ευκλείδη (την υπερβολική και την ελλειπτική γεωμετρία).

35 Πρόταση Αντίθετη Αντίστροφη Αντιθετο-αντίστροφη Απαγωγή σε άτοπο
Πλάγια απόδειξη Υπόθεση: η θερμοκρασία είναι κάτω από 0οC Συμπέρασμα: το νερό γίνεται πάγος Αν Έστω ότι η θερμοκρασία είναι κάτω από 0οC η θερμοκρασία δεν είναι κάτω από 0οC το νερό γίνεται πάγος το νερό δεν γίνεται πάγος τότε ΑΤΟΠΟ (αντίφαση με την υπόθεση: η θερμοκρασία είναι κάτω από 0οC) Άρα: το νερό γίνεται πάγος ΣΩΣΤΗ

36 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΚΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ
ΣΥΝΘΕΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΑΠΑΓΩΓΗ ΣΕ ΑΤΟΠΟ Δεδομένο Ζητούμενο Αντίθετο του ζητούμενου Ισχύει Άτοπο (αντίφαση)

37 ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΑΠΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΑΤΟΠΟ
ΑΝΤΙΘΕΣΕΙΣ & ΔΙΑΜΑΧΕΣ ΓΙΑ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΑΠΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΑΤΟΠΟ

38 Geometry: The elements of Euclid and Legendre
Benson 1867 Geometry: The elements of Euclid and Legendre Διδακτικό εγχειρίδιο του 19ου αιώνα, για σχολεία και κολλέγια, στην Αμερική. Στο εξώφυλλο μετά τον τίτλο αναφέρει: Απλοποιημένο και δομημένο ώστε να εξαιρεί από τη γεωμετρική αιτιολόγηση την απαγωγή σε άτοπο. Στην εισαγωγή αναφέρει, μεταξύ άλλων, ότι έχει διευθετήσει τις προτάσεις με τρόπο ώστε οι αποδείξεις να δίνονται με την ευθεία μέθοδο (direct proof) και όχι με απαγωγή σε άτοπο (reduction ad absurdum) ή με πλάγια μέθοδο (indirect proof).

39 Υπήρξαν σημαντικοί μαθηματικοί που εκθείασαν τη μέθοδο της απαγωγής σε άτοπο
… η εις άτοπον απαγωγή που ο Ευκλείδης αγαπούσε τόσο πολύ, είναι ένα από τα ωραιότερα όπλα του μαθηματικού. Είναι πιο όμορφο από οποιοδήποτε σκακιστικό γκαμπί. Ένας σκακιστής μπορεί να θυσιάσει ένα πιόνι, ή ακόμη και ένα κομμάτι, αλλά ο μαθηματικός προσφέρει το ίδιο το παιχνίδι. Hardy, 1940 A Mathematician’s Apology Cambridge University Press

40 Υπήρξαν όμως και σημαντικοί μαθηματικοί ήταν επικριτές της μεθόδου
… ένας τρόπος απόδειξης που οδηγεί στο αδύνατο, που είναι ο λιγότερο αγαπητός και ο λιγότερο ευφυής από όλους αυτούς που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά. Descartes, 1638 Oeuvres Adam and Tannery eds., Paris,

41 NO END