ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

Παρουσίαση με θέμα: "ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

2 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Υπάρχει Στατιστική Σχέση για πρόβλεψη;
Πόσο ισχυρή είναι αυτή η σχέση; Ποιο είναι το καταλληλότερο μοντέλο; Πώς εκφράζεται η καλύτερη προσαρμογή του μοντέλου; ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Αναφέρεται στη γραμμική σχέση μεταξύ των δυο μεταβλητών ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Παραδεχόμαστε ή υποθέτουμε μια συναρτησιακή σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές

3 ΚΑΜΠΥΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

4 ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

5 ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

6 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

7 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ
ή

8 ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

9 ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

10 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ: ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ
Για κάθε δεδομένη τιμή Χi, η κατανομή των τιμών Υi είναι κανονική. Για κάθε δεδομένη τιμή Χi, η διασπορά των τιμών Υi παραμένει σταθερή. Οι τιμές των σφαλμάτων είναι ανεξάρτητες. Εκφραζόμενες σε σχέση με το σφάλμα εi: Για κάθε δεδομένη τιμή Χi, το εi ακολουθεί κανονική κατανομή. Για κάθε δεδομένη τιμή Χi, η διασπορά των τιμών εi, η παραμένει σταθερή. Οι τιμές εi των σφαλμάτων είναι ανεξάρτητες.

11 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΤΗΝ ΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
όπου Π = ο δειγματικός εκτιμητής Ε(Π) = η αναμενόμενη τιμή του εκτιμητή σπ = το τυπικό σφάλμα της δειγματοληπτικής κατανομής των Π

12 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ Ι. ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗ 1. Έλεγχος 2. Έλεγχος
3. Έλεγχος Διαστήματος για το

13 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΙΙ. ΕΛΕΓΧΟΣ 1. Έλεγχος
2. Έλεγχος Διαστήματος για το ΙΙI. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΟ

14 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΕΛΕΓΧΟΙ ΙV. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΟΣ ΓΙΑ ΤΟ

15 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΟΥ Χ ΕΠΙ ΤΟΥ Υ
Στην περίπτωση όπου η Υ είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή και η Χ η εξαρτημένη μεταβλητή… Δεν μπορεί να ορισθεί η γραμμή παλινδρόμησης του Χ επί του Υ χρησιμοποιώντας απλώς τη συνάρτηση της γραμμής παλινδρόμησης του Υ επί του Χ και στη συνέχεια να επιλυθεί η εξίσωση ως προς Χ. Η αδυναμία αυτή οφείλεται ότι στην εκτίμηση των δύο αυτών γραμμών παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελάχιστων τετραγώνων: Στην πρώτη περίπτωση ελαχιστοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων κατά μήκος του άξονα των Υ. Στη δεύτερη περίπτωση κατά μήκος του άξονα των Χ. Επομένως, τα δύο αποτελέσματα δεν είναι συγκρίσιμα.

16 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
Αν: Κ = logY, Λ = logX, α΄ = logα, β΄ = β Κ= α΄ + β΄Λ

17 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
Μετασχηματισμοί Μη Γραμμικών Μεταβλητών

18 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
Υ = f(X2, X3, …, Xk) Υi = β1 + β2Χ2i + β3Χ3i βkΧki εi = Υi - Ŷi ή που είναι ισοδύναμο με τη σχέση

19 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
Η εύρεση των εκτιμητών με το κριτήριο των ελάχιστων τετραγώνων: Οι εξισώσεις αποτελούν ένα σύστημα Κ εξισώσεων με Κ αγνώστους

20 ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ ΚΑΙ ΤΟ R2
ΑTy = ΑTπ + ΑTυ Η εύρεση των εκτιμητών με το κριτήριο των ελάχιστων τετραγώνων:

21 ΜΕΡΙΚΟΙ ΚΑΙ ΤΜΗΜΑΤΙΚΟΙ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΕΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ
Συντελεστής τμηματικής συσχέτισης:

22 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΤΟΥ Χ ΕΠΙ ΤΟΥ Υ
Μετατροπή σε τυπικούς συντελεστές παλινδρόμησης: Βj = βjsj/sy όπου: Βj = ο τυπικός συντελεστής παλινδρόμησης της μεταβλητής Χj. sj = η τυπική απόκλιση της μεταβλητής Χj. sy = η τυπική απόκλιση της μεταβλητής Υ. βj = ο μερικός συντελεστής παλινδρόμησης της μεταβλητής j.

23 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ
Για την εφαρμογή των στατιστικών ελέγχων πρέπει να ισχύσουν οι παραδοχές: Γραμμικότητας (να υπάρχει δηλαδή, γραμμική σχέση μεταξύ εξαρτημένης και ανεξάρτητων μεταβλητών). Κανονικότητας (το σφάλμα εi να έχει κατανομή Ν~(0, σ2)). Ομοιοσκεδασμού (η σε να είναι σταθερή). Ανεξαρτησίας του σφάλματος (το εi να μη σχετίζεται με τις ανεξάρτητες μεταβλητές) και Μη τυχαιότητας των ανεξάρτητων μεταβλητών (μόνο η εξαρτημένη μεταβλητή να είναι τυχαία.

24 EΛΕΓΧΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΙΣΤΙΑ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ
Όταν β1= β2 = β3 = … = βk = 0, τότε το R2 είναι ίσο με μηδέν. Ο λόγος ΑTπ/(Κ-1) δια ΑTυ/(Ν-Κ) ακολουθεί μια F κατανομή. Το κριτήριο F μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να ελεγχθεί η μηδενική υπόθεση ότι: Το τετράγωνο του συντελεστή πολλαπλής συσχέτισης (R2) είναι ίσο με μηδέν. Όλοι οι μερικοί συντελεστές παλινδρόμησης είναι ίσοι με μηδέν (Ηο:R2=0 ή βk =0 για k = 2, 3, …, Κ), που δίνεται από τη σχέση:

25 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ

26 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ: Έλεγχος με το Κριτήριο t
Έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης Ηο:βj0: όπου: αjj = το διαγώνιο στοιχείο του πίνακα (ΧΤΧ)-1. Έλεγχος της υπόθεσης Ηο:βj= γ: Το διάστημα αξιοπιστίας για τη βj:

27 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ: Έλεγχος με το Κριτήριο F
Tυπική Mέθοδος όπου: το τετράγωνο της τμηματικής συσχέτισης της Υ με τη μεταβλητή Χj, όταν οι υπόλοιπες Κ-2 μεταβλητές είναι στην εξίσωση της παλινδρόμησης.

28 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ: Έλεγχος με το Κριτήριο F
Iεραρχική Mέθοδος όπου: το τετράγωνο της τμηματικής συσχέτισης της Υ με τη μεταβλητή Χj, όταν η εξίσωση περιέχει j-1 μεταβλητές.

29 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ: Έλεγχος με το Κριτήριο F
Γενική Iεραρχική Mέθοδος

30 ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΩΝ ΜΕΡΙΚΩΝ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΩΝ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ: Άμεση και Έμμεση Επίδραση Ανεξαρτήτων Μεταβλητών

31 ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΥ ΤΗΣ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ
Προσθετική Μέθοδος: Η πρώτη που εισέρχεται στην εξίσωση είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή με τον μεγαλύτερο συντελεστή συσχέτισης. Η επόμενη μεταβλητή είναι η ανεξάρτητη μεταβλητή που έχει το μεγαλύτερο συντελεστή τμηματικής συσχέτισης με την εξαρτημένη μεταβλητή. Αφαιρετική Μέθοδος: Σε κάθε βήμα, μια ανεξάρτητη μεταβλητή αφαιρείται από την εξίσωση και η ελάττωση στην τιμή του R2 από την αφαίρεση αυτή αξιολογείται (η συνεισφορά της ελέγχεται με το κριτήριο F τυπικό). Κατά Βήματα Μέθοδος: Σε κάθε βήμα της ανάλυσης η συνεισφορά κάθε μεταβλητής που βρίσκεται μέσα στην εξίσωση, αξιολογείται ξανά (τα κριτήρια που χρησιμοποιούνται για την είσοδο και αξιολόγηση όσων μεταβλητών βρίσκονται στην εξίσωση, είναι το F -ιεραρχικό και τυπικό αντίστοιχα.

32 ΥΠΟΛΟΙΠΑ Ως υπόλοιπα θεωρούνται οι αποκλίσεις των παρατηρούμενων τιμών μιας μεταβλητής από τις αντίστοιχες τιμές που εκτιμήθηκαν, με αποτέλεσμα οι αποκλίσεις αυτές να αποτελούν και τις μετρήσεις των σφαλμάτων της παλινδρόμησης. Η εξέταση των υπολοίπων αναφέρεται: Στον έλεγχο της γραμμικότητας της παλινδρόμησης Στην ανίχνευση άλλων μεταβλητών που πιθανόν να έπρεπε να είχαν εισαχθεί στην εξίσωση. Στον έλεγχο των παραδοχών που έχουν γίνει σχετικά με τα σφάλματα (ανεξαρτησία, μέση τιμή μηδέν και σταθερή διασπορά).

33 ΥΠΟΛΟΙΠΑ Διαγράμματα Διασποράς Υπολοίπων

34 ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ ANOVA df SS MS F Significance F Regression Residual
6 Residual 326 Total 332

35 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

36 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗΣ

37 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΤΟ MINI TAB

38 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΤΟ MINI TAB

39 ΚΑΤΑ ΒΗΜΑΤΑ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
ΠΙΝΑΚΑΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

40 ΠΕΡΙΛΗΨΗ ΒΗΜΑΤΩΝ

41 ΧΩΡΙΚΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Στη συμβατική παλινδρόμηση θεωρείται ότι οι τιμές των σφαλμάτων εi είναι ανεξάρτητες. Οι υποθέσεις αυτές σε πολλές περιπτώσεις δεν μπορούν να θεωρηθούν ότι εκφράζουν τις χωρικές διαδικασίες που μοντελοποιούνται. Η αποδέσμευση της υπόθεσης της ανεξαρτησίας των υπολοίπων με τη βοήθεια συσχετογραμμάτων και βαριογραμμάτων, στην περίπτωση των διακριτών επιφανειακών οντοτήτων (περιοχές) είναι σχεδόν αδύνατη. Απαιτείται χρήση εναλλακτικών μορφών μοντελοποίησης. Δύο από αυτές είναι: Γεωγραφικά Σταθμισμένη Παλινδρόμηση Σύγχρονη Αυτοπαλινδρόμηση

42 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
Η συμβατική παλινδρόμηση αναφέρεται σε φαινόμενα πρώτης τάξης ή χωρικά σταθερά και επομένως μοντελοποιούνται υπερτοπικές διαδικασίες. Η γεωγραφικά σταθμισμένη παλινδρόμηση αναφέρεται σε φαινόμενα δεύτερης τάξης ή χωρικά μη-σταθερά, με αποτέλεσμα τη μοντελοποίηση τοπικών (local) διαδικασιών. Χαρακτηριστικά σε υπερτοπική και τοπική κλίμακα

43 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ
Συμβατική παλινδρόμηση: Σταθμισμένη παλινδρόμηση, κάτω από τις ίδιες υποθέσεις: όπου: η θέση των παρατηρήσεων i με συντεταγμένες xi και yi όπου: ο πίνακας βαρών για κάθε θέση.

44 ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ:
Μορφή του Μοντέλου Για να καλυφθεί η ανάγκη της χωρικής μεταβολής, το μέγεθος δεν αναφέρεται μόνο στη θέση (xi, yi) αλλά σε ένα σύνολο σημείων γύρω από αυτή, δηλαδή σε μια περιοχή ακτίνας ri, έτσι ώστε οι παρατηρήσεις κοντά στο (xi, yi) να έχουν μεγαλύτερο βάρος από τις παρατηρήσεις που βρίσκονται μακρύτερα. Ο πίνακας βαρών έχει τη μορφή: όπου: το βάρος των τιμών των μεταβλητών για κάθε σημείο j που βρίσκεται στην περιοχή ri γύρω από το (xi, yi). Ο πίνακας βαρών είναι ένας διαγώνιος πίνακας, τα στοιχεία του οποίου αντιστοιχούν στα βάρη της σταθμισμένης παλινδρόμησης γύρω από τη θέση (xi, yi).

45 Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών Ο προσδιορισμός της ακτίνας της περιοχής γύρω από τη θέση (xi, yi) ή του σημείου παλινδρόμησης, που ονομάζεται πυρήνας, παίζει σημαντικό ρόλο: Αν η ακτίνα είναι πολύ μεγάλη, τότε τα στοιχεία που συμπεριλαμβάνονται στην εκτίμηση των συντελεστών θα καλύπτουν όλη την περιοχή μελέτης. Αν είναι πολύ μικρή, τότε οι τιμές τους θα παρουσιάζουν μεγάλο τυπικό σφάλμα. Για τον υπολογισμό του μοντέλου, θεωρείται ότι κάθε παρατήρηση j (στην περιοχή ri) σταθμίζεται με ένα βάρος wij, ο υπολογισμός του οποίου μπορεί να γίνει με δύο βασικές ομάδες τρόπων στάθμισης: Η πρώτη ομάδα αφορά τρόπους στάθμισης που είναι αμετάβλητοι, δηλαδή χαρακτηρίζονται από ένα σταθερό εύρος ζώνης h. Η δεύτερη ομάδα αφορά αυτούς που είναι προσαρμόσιμοι, δηλαδή χαρακτηρίζονται από ένα σταθερό αριθμό σημείων παρατήρησης n.

46 Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών Τρόποι Στάθμισης

47 Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών Με σταθερό τρόπο στάθμισης ο πιο συχνά χρησιμοποιούμενος είναι με τη χρήση της συνάρτησης Gauss ως εξής: , αν di < h , αν di ≥ h Σε κάθε θέση I, με σταθερό εύρος ζώνης h, το βάρος στο σημείο j είναι wij, όπου dij είναι η απόσταση παλινδρόμησης i και του σημείου παρατήρησης j.

48 Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών Ο πιο γνωστός προσαρμόσιμος τρόπος στάθμισης έχει ως εξής: , αν dij ≤ h , αν dij > h Σε κάθε θέση i, το βάρος στο σημείο j είναι wij, όπου dij είναι η απόσταση μεταξύ i και j και hi, είναι η απόσταση του j-οστού κοντινότερου σημείου από το σημείο i (hi = dij).

49 Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών Τρόποι Αξιολόγησης της Τοπικής Παλινδρόμησης Για τη σταθερή απόσταση ο δείκτης ονομάζεται Crossvalidation Score: όπου: η εκτιμηθείσα τιμή του Yi, όταν οι παρατηρήσεις του σημείου δεν έχουν συμπεριληφθεί στην παλινδρόμηση.

50 Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Υπολογισμός Στάθμισης Βαρών Τρόποι Αξιολόγησης της Τοπικής Παλινδρόμησης Για την προσαρμόσιμη απόσταση ο δείκτης ονομάζεται Akaine Information Criterion: AIC = Απόκλιση + όπου: n = ο αριθμός των σημείων παρατήρησης k = ο αριθμός των συντελεστών του μοντέλου

51 Δείκτες Παλινδρόμησης
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Δείκτες Παλινδρόμησης Το τετράγωνο του συντελεστή συσχέτισης δίνεται από τον τύπο: Όπου: αριθμητής = το σύνολο του αθροίσματος των τετραγώνων και παρονομαστής = το γεωγραφικά σταθμισμένο άθροισμα των τετραγώνων των υπολοίπων.

52 Δείκτες Παλινδρόμησης
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Δείκτες Παλινδρόμησης Ο δείκτης απόσταση Cook δίνεται από τον τύπο: όπου ri = το τυποποιημένο υπόλοιπο για το σημείο i k = ο αριθμός των παραμέτρων

53 Έλεγχος Υποθέσεων με τη Μέθοδο Monte Carlo
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Έλεγχος Υποθέσεων με τη Μέθοδο Monte Carlo O έλεγχος υπόθεσης που στηρίζεται στη χρήση τεχνικών Monte Carlo: διαφοροποιείται χωρικά Για μια δοσμένη θέση i, έστω ότι: είναι η εκτίμηση της γεωγραφικά σταθμισμένης παλινδρόμησης για το και λαμβάνονται υπόψη n τιμές αυτής της παραμέτρου (μια για κάθε σημείο j εντός της περιοχής).

54 Έλεγχος Υποθέσεων με τη Μέθοδο Monte Carlo
ΓΕΩΓΡΑΦΙΚΑ ΣΤΑΘΜΙΣΜΕΝΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ: Έλεγχος Υποθέσεων με τη Μέθοδο Monte Carlo Τότε ένας εκτιμητής της διασποράς της παραμέτρου είναι η τυπική απόκλιση (sk) των n εκτιμήσεων της παραμέτρου. Επομένως, οι παρατηρούμενες τιμές του sk μπορούν να συγκριθούν με τις τιμές που προκύπτουν από την τυχαία αναδιάταξη των δεδομένων στο χώρο και την εφαρμογή της γεωγραφικά σταθμισμένης παλινδρόμησης.

55 Η ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΩΡΟΥ:
Αναλυτικές Χρήσεις Η εύρεση της καλύτερης γραμμικής εξίσωσης και η αξιολόγηση της προβλεπτικής της ικανότητας. Ο έλεγχος όλων των παραγόντων που επιδρούν στην εξαρτημένη μεταβλητή, για να αξιολογηθεί η συνεισφορά μιας συγκεκριμένης μεταβλητής ή ενός συγκεκριμένου συνόλου μεταβλητών στην «εξήγηση» της εξαρτημένης μεταβλητής. Η εύρεση δομικών σχέσεων και η παροχή εξηγήσεων σε περιπτώσεις πολύπλοκων σχέσεων πολυμεταβλητών.

56 Η ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΩΡΟΥ:
Στατιστικός Έλεγχος Εκτίμηση: Σκοπός της εκτίμησης είναι να βρεθεί ο καλύτερος εκτιμητής μιας πληθυσμιακής παραμέτρου από τις δειγματικές παρατηρήσεις. Δηλαδή, το αντικείμενο είναι η εξεύρεση μιας συγκεκριμένης τιμής για τον πληθυσμό. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων: Το αντικείμενο είναι ο έλεγχος διάφορων υποθέσεων σχετικά με τον πληθυσμό. Συγκεκριμένα, αντί να εξετάζεται ποια είναι η πιο πιθανή τιμή για τον πληθυσμού, το ενδιαφέρον εστιάζεται στην μηδενική υπόθεση ότι η τιμή είναι μηδέν, σε αντίθεση με την εναλλακτική υπόθεση ότι η τιμή της είναι μεγαλύτερη του μηδενός.

57 Η ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΛΥΣΗ ΧΩΡΟΥ:
Εξήγηση και Πρόβλεψη Πρόβλεψη: Στις μελέτες πρόβλεψης η κύρια έμφαση είναι στις πρακτικές εφαρμογές. Δηλαδή, με βάση τη γνώση μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών, μια εξίσωση παλινδρόμησης δημιουργείται για χρήση στην πρόβλεψη της εξαρτημένης μεταβλητής. Εξήγηση: Στην περίπτωση της εξήγησης, ο βασικός στόχος είναι ο θεωρητικός καθορισμός της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής, με βάση τις πληροφορίες που δίνουν μια ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές. Επομένως, η επιλογή των ανεξάρτητων μεταβλητών ορίζεται με βάση θεωρητικές ανάγκες και ενδιαφέροντα.