Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων

Παρουσίαση με θέμα: "Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων
Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Θεοδώνης Ιωάννης

2 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων
Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Π.χ. Εξίσωση Piosson με Dirichlet συνοριακές συνθήκες προφανής Λύση Υποθέτουμε Δοκιμαστική Λύση p(x)=αx2+βx+γ με p(0)=0,p(1)=1 έχουμε p(x)=αx2+(1-α)x αντικαθιστώντας πίσω στην δ.ε. έχουμε ένα παραμένων σφάλμα Ολοκληρώνοντας το R2 και ελαχιστοποιώντας ως προς α -> α=3/2 Οπότε η προσεγγιστική λύση δευτέρου βαθμού είναι

3 Καλή προσέγγιση διότι ελαχιστοποιούμε το ολοκλήρωμα του σφάλματος
Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Καλή προσέγγιση διότι ελαχιστοποιούμε το ολοκλήρωμα του σφάλματος

4 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων
Για καλύτερη ακρίβεια πρέπει να αυξήσουμε τον βαθμού του πολυωνύμου αλλά έχουμε ταλαντώσεις π.χ. Εναλλακτικά

5 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων
Συναρτήσεις ‘στέγες’

6 Οπότε με δοκιμαστική συνάρτηση
Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Οπότε με δοκιμαστική συνάρτηση Έχουμε να υπολογίσουμε τώρα τα αi Τα α0 και α1 τα ξέρουμε αφού Τα υπόλοιπα τα βρίσκουμε θέτοντας Μέθοδος Galerkin Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων

7 Κάνοντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε
Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Κάνοντας ολοκλήρωση κατά παράγοντες έχουμε Υπολογίζοντας το ολοκλήρωμα (αναλυτικά ή αριθμητικά) Έχουμε δηλαδή

8 Με μέθοδο απαλοιφής Gauss - Αποτελέσματα
Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Με μέθοδο απαλοιφής Gauss - Αποτελέσματα

9 Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων

10 Άλλες προσεγγίσεις Δευτέρου βαθμού, Πολυώνυμα Hermite, Splines
Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Άλλες προσεγγίσεις Δευτέρου βαθμού, Πολυώνυμα Hermite, Splines

11 Σε περισσότερες διαστάσεις
Μέθοδος Πεπερασμένων Στοιχείων Σε περισσότερες διαστάσεις