Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Κεφάλαιο 5: Επιπεδικότητα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων
Εισαγωγή (1) Είναι δυνατό να συνδεθούν τρεις κατοικίες με ΔΕΗ, ΟΤΕ και ΕΥΑΘ χωρίς να διασταυρωθούν οι γραμμές παροχής? Το πρόβλημα δεν μπορεί να επιλυθεί. Ένας γράφος G λέγεται επίπεδος (plane) αν δύο οποιεσδήποτε ακμές του G συναντώνται μόνο σε προσκείμενες τερματικές κορυφές. Ένας γράφος G λέγεται επιπεδικός (planar) ή ενσωματώσιμος στο επίπεδο (embeddable in the plane) αν είναι ισομορφικός προς έναν επίπεδο γράφο. Αν δηλαδή μπορεί να σχεδιαστεί στο επίπεδο έτσι ώστε δύο οποιεσδήποτε ακμές του να συναντώνται μόνο σε προσκείμενες τερματικές κορυφές. Πολλοί συγγραφείς ορίζουν τον επίπεδο γράφο όπως τον επιπεδικό (Το ίδιο γίνεται στο κείμενο). Κ3,3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (2) O πρώτος γράφος K4 είναι επιπεδικός διότι είναι ισομορφικός προς τον 3ο γράφο που είναι επίπεδος Οι άλλοι 2 γράφοι είναι επίπεδοι ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (3) Άσκηση 1: είναι ο διπλανός γράφος επιπεδικός; Αν είναι δώστε μια επίπεδη σχεδίασή του. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (4) Ενσωμάτωση στο επίπεδο: Ένα διάγραμμα του γράφου G στο επίπεδο S είναι μία εικόνα στο επίπεδο μιας συνεχούς συνάρτησης του μοντέλου του G στον ευκλείδειο χώρο R3, έτσι ώστε: να μην συμπίπτουν δύο κορυφές στο ίδιο σημείο του επιπέδου για κάθε ακμή του G να υπάρχει κάποια 1-1 αντιστοιχία με το μονοπάτι μεταξύ των εικόνων των τερματικών σημείων στο επίπεδο οι εικόνες των ακμών στο επίπεδο δε διασταυρώνονται με άλλες κορυφές εκτός από τις τερματικές Μία ενσωμάτωση του γράφου G στο επίπεδο S είναι ένα διάγραμμα του G χωρίς ακμές που τέμνονται. Γίνεται ή όχι?? ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (5) Καμπύλη Jordan: Μία συνεχής γραμμή στο επίπεδο που δεν τέμνει τον εαυτό της. Κλειστή καμπύλη Jordan: Μία καμπύλη Jordan της οποίας τα δύο άκρα συμπίπτουν Θεώρημα Jordan: Δοθείσης μιας κλειστής καμπύλης Jordan L και δύο σημείων της vi και vj, τότε κάθε άλλη καμπύλη Jordan που ενώνει τα σημεία αυτά, είτε βρίσκεται εντός της L, είτε εκτός, είτε τέμνει την L σε κάποια σημεία διαφορετικά των vi και vj (προφανές). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (6) v j i ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (7) Δοθέντος ενός επίπεδου γράφου G και ενός σημείου x του επιπέδου, ονομάζουμε περιοχή (region) ή όψη (face) ή παράθυρο (window) του G που περιέχει το x, το σύνολο των σημείων του επιπέδου που μπορούν να ενωθούν με το x μέσω μιας καμπύλης Jordan που δεν τέμνει τις ακμές του G. Με r (ή f) συμβολίζεται το πλήθος των περιοχών ενός επίπεδου γράφου Περιθώριο (boundary) μιας περιοχής ονομάζεται ο υπογράφος που επηρεάζεται από τις ακμές και τις κορυφές που πρόσκεινται στην περιοχή ή πιο απλά οι ακμές που περιβάλλουν την περιοχή. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (8) Αν V′ είναι ένα υποσύνολο των κορυφών V(G) ενός γράφου G (V′ V(G)) τότε ο υπογράφος H με V(H) = V′ ονομάζεται επηρεασμένος από το σύνολο κορυφών V′, αν το σύνολο των ακμών του E(H) αποτελείται από όλες τις ακμές του G που προσπίπτουν σε 2 κορυφές του V′. Αν Ε′ είναι ένα υποσύνολο των ακμών E(G) ενός γράφου G (Ε′ E(G)) τότε ο υπογράφος H με E(H)= Ε′ ονομάζεται επηρεασμένος από το σύνολο των ακμών Ε′, αν το σύνολο των κορυφών του V(H) αποτελείται από όλες τις κορυφές του G που είναι προσκείμενες στις ακμές του E′. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (9) Στον παρακάτω γράφο το περιθώριο της περιοχής r1 αποτελείται από τις ακμές (v1,v2),(v2,v3),(v3,v1) και τις κορυφές v1, v2, v3. Tο περιθώριο της περιοχής r2 αποτελείται από τις ακμές (v1,v2),(v2,v4),(v4,v1) και τις κορυφές v1, v2, v4. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (10) Tο περιθώριο της περιοχής r3 αποτελείται από τις ακμές (v1,v3),(v3,v4),(v4,v1) και τις κορυφές v1, v3, v4. Tο περιθώριο της περιοχής r4 αποτελείται από τις ακμές (v2,v3),(v3,v4),(v4,v2) και τις κορυφές v2, v3, v4. Η περιοχή r2 ονομάζεται εξωτερική (exterior) ή άπειρη (infinite) ή απεριόριστη (unbounded) ή εξώτερη (outer). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (11) Εξώτερος επιπεδικός (outerplanar) λέγεται ένας γράφος αν όλες του οι κορυφές είναι δυνατό να ανήκουν όλες σε μία περιοχή (κείνται όλες σε ένα κύκλο). Οι ακμές ενός τέτοιου γράφου κείνται είτε πάνω είτε μέσα σε έναν κύκλο και δεν τέμνονται πουθενά. Κάθε εξώτερος επιπεδικός γράφος είναι επιπεδικός αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει (π.χ ο K4 είναι planar αλλά όχι outerplanar). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εισαγωγή (12) Ο 1ος γράφος (Κ4) είναι επιπεδικός αλλά όχι εξώτερος επιπεδικός Ο 2ος και ο 3ος είναι εξώτεροι επιπεδικοί. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (1) Θεώρημα 5.1(Euler 1752). Αν G είναι ένας συνδεδεμένος επίπεδος γράφος, τότε ισχύει: n+r = m+2 (επαγωγή στον αριθμό των ακμών) Πόρισμα 5.1: Αν G είναι ένας επίπεδος γράφος με k συνιστώσες, τότε ισχύει, n+r = m+k+1 (Εφαρμογή του τύπου του Euler σε κάθε συνιστώσα λαμβάνοντας μία μόνο φορά την άπειρη περιοχή). Μέγιστος (maximal) ή τριγωνοποιημένος (triangulated) επίπεδος γράφος είναι εκείνος ο γράφος στον οποίο η εισαγωγή μιας νέας ακμής τον καθιστά μη επίπεδο. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (2) Μέχρι ποιό σημείο ένας επίπεδος γράφος μπορεί να παραμείνει επίπεδος; Όσο υπάρχουν περιοχές που περικλείονται από κύκλο μήκους περισσότερο από τρία (>=4), μπορούν να εισαχθούν νέες ακμές και ο γράφος να παραμείνει επίπεδος. Ο παρακάτω γράφος είναι μέγιστος επίπεδος. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (3) Μέγιστος εξώτερος επιπεδικός γράφος είναι εκείνος ο γράφος στον οποίο η εισαγωγή μιας νέας ακμής τον καθιστά μη εξώτερο επιπεδικό. Αν προσθέσω μια ακμή στον διπλανό γράφο αυτός θα γίνει μη επιπεδικός άρα και μη εξώτερος επιπεδικός. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (4) Λήμμα 5.1 (Λήμμα Χειραψίας για επίπεδους γράφους): Για κάθε απλό επίπεδο συνδεδεμένο γράφο G ισχύει: όπου d(ri) είναι ο βαθμός της περιοχής ri δηλ. ο αριθμός των ακμών που περικλείουν την i περιοχή. Απόδειξη: Σε κάθε επίπεδο γράφο κάθε ακμή επειδή βρίσκεται στο σύνορο 2 περιοχών, συνεισφέρει ακριβώς 2 στο άθροισμα των βαθμών των περιοχών. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (5) Πόρισμα 5.2: Για κάθε απλό συνδεδεμένο γράφο με περιφέρεια (μήκος του ελάχιστου κύκλου του γράφου) μήκους g ισχύει η σχέση: (g-2)m<=g(n-2) (Δίνεται ως άσκηση) Πόρισμα 5.3: Για κάθε μέγιστο επίπεδο γράφο με n>=3 ισχύει: m=3n-6 Απόδειξη: Έστω ότι r είναι το πλήθος των περιοχών του γράφου. Σε ένα μέγιστο επίπεδο γράφο ισχύει d(ri) = 3 για κάθε περιοχή. Συνεπώς από το Λήμμα 5.1 έχουμε: 2m=3+3+…+3(r= m-n+2 φορές) m=3(m-n+2) m = 3n-6 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (6) Πόρισμα 5.4: Για κάθε απλό συνδεδεμένο επίπεδο γράφο με n>=3 κορυφές ισχύει: m<=3n-6 Απόδειξη: Έστω ότι r είναι το πλήθος των περιοχών του γράφου. Σε έναν απλό επίπεδο γράφο ισχύει d(ri) ≥ 3 για κάθε περιοχή ri. Συνεπώς από το Λήμμα έχουμε: 2m = ≥ 3+3+…+3(r=m-n+2 φορές) m ≥ 3(m-n+2) m ≤ 3n-6 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (7) Πόρισμα 5.5: Για κάθε απλό συνδεδεμένο επίπεδο διγράφο (διμερή γράφο) G με n>=3, ισχύει: m<=2n-4 Απόδειξη: Έστω ότι r είναι το πλήθος των περιοχών του γράφου. Σε έναν απλό επίπεδο διμερή γράφο ισχύει d(ri) ≥ 4 για κάθε περιοχή ri. Συνεπώς από το Λήμμα 5.1 έχουμε: 2m = ≥ 4+4+…+4(r=m-n+2 φορές) m ≥ 4(m-n+2) m ≤ 2n-4 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (8) Σε έναν απλό επίπεδο διμερή γράφο ισχύει d(ri) ≥ 4 για κάθε περιοχή ri. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (9) Πόρισμα 5.6: Κάθε επίπεδος γράφος περιέχει τουλάχιστο μία κορυφή v βαθμού d(v)≤5 Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι όλες οι κορυφές έχουν βαθμό ≥ 6 και ότι ο γράφος έχει n κορυφές και m ακμές. Ισχύει (Πόρισμα 5.4) m ≤ 3n-6 ή 2m ≤ 6n-12 <1> Επίσης γνωρίζουμε από το Λήμμα 1.1 ότι το άθροισμα των βαθμών των κορυφών ενός γράφου είναι 2* m. Άρα επειδή d(v)≥6 για κάθε v έχουμε 2m≥6n <2> Από <1> και <2> έχουμε 6n ≤ 2m ≤ 6n-12 άτοπο. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (10) Θεώρημα 5.2: Ο γράφος Κ5 δεν είναι επίπεδος (Απόδειξη από Πόρισμα 5.4 ή (Λήμμα Euler)). Το παραπάνω θεώρημα αποδεικνύεται στο βιβλίο και με διαφορετικό τρόπο Θεώρημα 5.3: Ο διγράφος Κ3,3 δεν είναι επίπεδος (Απόδειξη από Πόρισμα 5.5 ή (Λήμμα Euler)). Η απόδειξη του παραπάνω θεωρήματος με διαφορετικό τρόπο, παρόμοιο με αυτόν της 2ης απόδειξης του βιβλίου για το θεώρημα 5.2 δίνεται ως άσκηση. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (11) Άσκηση 2: Έστω ότι ένας επίπεδος γράφος G έχει 20 περιοχές (r=20). Αν ο G είναι τακτικός βαθμού 5 πόσες κορυφές έχει; Λύση: Έχουμε από Λήμμα 1.1 (Λήμμα χειραψίας για γράφους) έχουμε Σd(vi)=2m, για i =1,…,n. Αλλά d(vi)=5, για κάθε i. Άρα (n φορές)=2m. Άρα 5n=2m <1> Από Euler n+r-2=m ή n+20-2=m ή n+18=m <2> Από <1> και <2> παίρνουμε 5n=2n+36 ή 3n=36 ή n=12 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Euler (12) Άσκηση 3: Να δειχθεί ότι κάθε συνδεδεμένος, απλός και επιπεδικός γράφος G με n<12 έχει μια κορυφή βαθμού d(v)≤4 Λύση: Έστω ότι d(v)≥5 για κάθε κορυφή v. Από Λήμμα 1.1 έχουμε Σd(vi)=2m, για i =1,…,n. Αλλά d(vi) ≥ 5, για κάθε i. Άρα 2m ≥5n <1> Από Πόρισμα 5.4 έχουμε m≤3n-6 ή 2m≤6n-12 <2> Από <1> και <2> 5n ≤6n-12 ή n≥12 (άτοπο) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρήματα Kuratowski (1)
Ο Κ5 είναι ο μη επίπεδος γράφος με το μικρότερο αριθμό κορυφών και ο Κ3,3 ο μη επίπεδος γράφος με το μικρότερο αριθμό ακμών. Δύο γράφοι λέγονται ομοιομορφικοί (homeomorphic) αν ο ένας μπορεί να προκύψει από τον άλλο με μία ή περισσότερες υποδιαιρέσεις (subdivisions) ή συστολές (contractions) ακμών. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεώρημα 5.5: Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνο αν δεν περιέχει κάποιον υπογράφο συστελώσιμο (contractible) προς τους Κ5 και Κ3,3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Συστολή ακμών (edge contraction) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ο γράφος του Petersen είναι συστελώσιμος προς τον Κ5 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Δυαδικότητα (1) Σε κάθε περιοχή του G εισάγεται μία κορυφή του G* (λευκή κουκίδα). Δύο κορυφές του G* ενώνονται με μία ακμή για κάθε κοινή ακμή που έχουν οι αντίστοιχες περιοχές του G. Για κάθε γέφυρα του G εισάγεται στο G* ένας βρόχος στην κορυφή που αντιστοιχεί στην περιοχή που περικλείει τη γέφυρα. Έτσι, κάθε ακμή του G* τέμνεται μόνο με μία ακμή του G χωρίς να τέμνει καμία άλλη του G. Γεωμετρικός δυαδικός (geometric dual) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Δυαδικότητα (2) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Δυαδικότητα (3) Ο γεωμετρικός δυαδικός ενός γράφου G δεν είναι μοναδικός, γιατί από μία διαφορετική ενσωμάτωση του G στο επίπεδο θα παραχθεί διαφορετικός γεωμετρικός δυαδικός. Ένας γράφος G’ λέγεται συνδυαστικός δυαδικός ή αφηρημένος δυαδικός ενός γράφου G αν και μόνο αν υπάρχει μία αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία μεταξύ των ακμών τους, έτσι ώστε οι ακμές ενός κύκλου του G’ να αντιστοιχούν σε έναν κύκλο αποκοπτουσών ακμών του G. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Δυαδικότητα (4) Θεώρημα 5.14: Κάθε επίπεδος γράφος G έχει έναν αντίστοιχο επίπεδο συνδυαστικό δυαδικό γράφο G*. Άρα, ο γεωμετρικός δυαδικός ενός επίπεδου γράφου ταυτίζεται με το συνδυαστικό δυαδικό του. Πόρισμα 5.13: Αν ο γράφος G έχει ένα γεωμετρικό δυαδικό γράφο G*, τότε ισχύει η σχέση: (G*)*=G Θεώρημα 5.15 (Whitney 1993): Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνο αν έχει συνδυαστικό δυαδικό. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Δυαδικότητα (5) Ένας γράφος ομοιομορφικός προς το δυαδικό του λέγεται αυτο-δυαδικός (self-dual). Παραδείγματα τέτοιων γράφων είναι ο K4 και οι τροχοειδείς γράφοι. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Δυαδικότητα (6) Άσκηση 4: Να σχεδιαστεί ο γεωμετρικός δυαδικός του παρακάτω γράφου. Ο δυαδικός έχει r=3 κορυφές (όσες περιοχές έχει ο G), m=6 ακμές (ίσες ακμές με τον G) και n=5 περιοχές (όσες κορυφές έχει ο G) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (1)
Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (1) Υπάρχουν αρκετές μέθοδοι για τον έλεγχο της επιπεδικότητας ενός γράφου αλλά είναι σύνθετες. Η μέθοδος του κύκλου είναι ένας ευρετικός (εμπειρικός) αλγόριθμος που εφαρμόζεται σε μικρούς γράφους που περιέχουν έναν Hamiltonian κύκλο (ένας κύκλος που περνάει από κάθε κορυφή του γράφου ακριβώς μία φορά). Δοσμένου ενός γράφου G του οποίου θέλουμε να εξετάσουμε την επιπεδικότητα, ελέγχουμε αν αυτός έχει έναν Hamiltonian κύκλο τον οποίο και σχεδιάζουμε σαν πολύγωνο. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (2) Στη συνέχεια προσπαθούμε να σχεδιάζουμε τις υπόλοιπες ακμές του γράφου (εκτός του κύκλου) έτσι ώστε καμία από αυτές να μην τέμνει τις υπόλοιπες. Έχοντας επιλέξει τον Hamiltonian κύκλο C, καταγράφουμε τις υπόλοιπες ακμές του G και προσπαθούμε να τις ομαδοποιήσουμε σε 2 ανεξάρτητα σύνολα Α και Β ως εξής: Το Α περιέχει εκείνες τις ακμές που μπορούν να σχεδιαστούν μέσα στον κύκλο χωρίς διασταυρώσεις Το B περιέχει εκείνες τις ακμές που μπορούν να σχεδιαστούν έξω από τον κύκλο χωρίς διασταυρώσεις ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (3) Αν είναι εφικτός ο προηγούμενος διαχωρισμός των ακμών τότε ο γράφος G είναι επιπεδικός. Στη συνέχεια με τη βοήθεια των συνόλων Α και Β σχεδιάζουμε τον γράφο στο επίπεδο. Αν δεν είναι εφικτός ο διαχωρισμός σε 2 σύνολα τότε ο γράφος δεν είναι επιπεδικός. Ας εξετάσουμε την επιπεδικότητα του διμερούς γράφου Κ3,3. Αυτός ο γράφος έχει έναν Hamiltonian κύκλο C μήκους 6 τον οποίο και σχεδιάζουμε στο επίπεδο ως κανονικό εξάγωνο uavbwcu. Στη συνέχεια προσπαθούμε να σχεδιάσουμε τις 3 υπόλοιπες ακμές ub, vc και wa. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (4) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (5) Όμως μόνο μία από αυτές μπορεί να κείται εντός του κύκλου όπως και μόνο μία μπορεί να κείται εκτός του κύκλου. Διαφορετικά υπάρχουν διασταυρώσεις ακμών. Έτσι αν βάλουμε την ub στο σύνολο Α και την vc στο σύνολο Β, τότε δεν μπορούμε να βάλουμε την wa σε κανένα από τα 2 σύνολα. Συνεπώς δεν μπορούμε να σχεδιάζουμε και τις 3 ακμές χωρίς διασταυρώσεις, άρα ο γράφος Κ3,3 είναι μη-επιπεδικός. Στο επόμενο σχήμα παρατηρούμε ότι οι ακμές ub και vc είναι μεταξύ τους ασύμβατες (incompatible) διότι δεν μπορούν να σχεδιαστούν ούτε μέσα στον κύκλο ούτε έξω από αυτόν χωρίς να τέμνονται. Το ίδιο ισχύει και για τα ζεύγη ακμών, ub και wa καθώς και για τα vc και wa. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (7) Ακμές που μπορούν να σχεδιαστούν μαζί είτε μέσα σε έναν κύκλο είτε έξω από αυτόν χωρίς να τέμνονται λέγονται συμβατές (compatible). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (8) Ας εφαρμόσουμε τη μέθοδο του κύκλου στον παρακάτω γράφο G για να εξετάσουμε αν είναι επιπεδικός. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (9) Επιλέγουμε τον παρακάτω Hamiltonian κύκλο του γράφου C = abcdefghia ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (10) Γράφουμε τις ακμές που δεν ανήκουν στον κύκλο C όπως παρακάτω: ac ad ae ah bd bg bi df eh fh gi ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (11) Βάζουμε την πρώτη ακμή της λίστας ac στο σύνολο Α και ταυτόχρονα τη διαγράφουμε από τη λίστα. Έτσι η λίστα γίνεται: list: ad, ae, ah, bd, bg, bi, df, eh, fh, gi. Το σύνολο Α = {ac} και η ακμή είναι ασύμβατη με τις ακμές bd, bg και bi, οι οποίες μπαίνουν στο σύνολο Β. Άρα Β = {bd, bg, bi}. Οι ακμές του Β είναι συμβατές μεταξύ τους και συνεπώς διαγράφονται από τη λίστα. Άρα list: ad, ae, ah, df, eh, fh, gi. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (13) Υπενθυμίζουμε ότι Α = {ac}, Β = {bd, bg, bi}, list: ad, ae, ah, df, eh, fh, gi. Εξετάζουμε τώρα με τη σειρά τις ακμές του Β σε σχέση με τις ακμές της λίστας. Η ακμή bg του συνόλου Β είναι ασύμβατη με τις ακμές: ad, ae, eh, fh, οι οποίες μπαίνουν στο σύνολο Α. Άρα A = {ac, ad, ae, eh, fh}. Οι ακμές του Α είναι όλες συμβατές μεταξύ τους και η λίστα μεταβάλλεται ως εξής: list: ah, df, gi. Η ακμή bi του συνόλου Β είναι ασύμβατη με την ακμή ah η οποία μπαίνει στο Α, οπότε: A = {ac, ad, ae, eh, fh, ah}. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (14) Επειδή όλες οι ακμές του Α είναι συμβατές μεταξύ τους η ακμή ah διαγράφεται από τη λίστα οπότε list: df, gi. Η κατάσταση είναι όπως φαίνεται παρακάτω. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (15) Υπενθυμίζουμε ότι A = {ac, ad, ae, eh, fh, ah}, Β = {bd, bg, bi} και list: df, gi. Εξετάζουμε τώρα με τη σειρά τις ακμές του Α σε σχέση με τις ακμές της λίστας. Η ακμή ae του συνόλου A είναι ασύμβατη με την ακμή df η οποία μπαίνει στο σύνολο Β. Οπότε Β = {bd, bg, bi, df}. Επειδή όλες οι ακμές του συνόλου Β είναι συμβατές μεταξύ τους, η ακμή df βγαίνει από τη λίστα. Άρα list: gi. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (16) Η ακμή eh του συνόλου A είναι ασύμβατη με την ακμή gi της λίστας, οπότε η gi μπαίνει στο σύνολο Β. Συνεπώς Β = {bd, bg, bi, df, gi}. Επειδή όλες οι ακμές του συνόλου Β είναι συμβατές μεταξύ τους, η ακμή gi βγαίνει από τη λίστα. Άρα η λίστα είναι κενή. Επειδή όλες οι ακμές του συνόλου Α είναι συμβατές μεταξύ τους καθώς επίσης και οι ακμές του συνόλου Β ο γράφος είναι επιπεδικός. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η μέθοδος του κύκλου για έλεγχο επιπεδικότητας (18) Για να σχεδιάσουμε την επίπεδη έκδοση του γράφου G συγχωνεύουμε τα 2 προηγούμενα σχήματα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Άλλα Κριτήρια Επιπεδικότητας (1)
Εκτός από το Θεώρημα Euler και το Θεώρημα Kuratowski υπάρχουν άλλες δύο μέθοδοι Πλήρες σύνολο βασικών κύκλων S (complete set of basic circuits) είναι ένα σύνολο κύκλων όπου: Κάθε κύκλος του συνόλου S μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δακτυλίου μερικών ή όλων των κύκλων του συνόλου S, και Κανείς κύκλος του συνόλου S δεν μπορεί να εκφρασθεί ως άθροισμα δακτυλίου άλλων κύκλων εκτός S ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Άθροισμα δακτυλίου (ring sum) είναι ο γράφος G με σύνολο κορυφών και σύνολο ακμών ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεώρημα 5.16 (MacLane 1937): Ένας γράφος είναι επίπεδος αν και μόνον αν υπάρχει ένα πλήρες σύνολο βασικών κύκλων S, τέτοιο ώστε καμιά ακμή του γράφου να μην εμφανίζεται σε περισσότερους από δύο κύκλους του S ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Τα τρία θεωρήματα δεν δίνουν αποτελεσματικές μεθόδους ελέγχου της επιπεδικότητας Έστω γράφος G και υπογράφος G1⊆G. Ένα κομμάτι (piece) P του G είναι ένας υπογράφος του G και ονομάζεται σχετικό (relative) προς τον υπογράφο G1 = (V1, E1) αν είναι: Είτε οι ακμές του e = (u, v)∈G, e∉G1, αλλά οι κορυφές των ακμών u, v ∈ V1(δηλαδή ακμές με τερματικές κορυφές u,v ∈ V1 ) Μια συνδεδεμένη συνιστώσα του G-G1 συν οποιεσδήποτε ακμές προσπίπτουσες σε κορυφές της συνιστώσας Η διαφορά 2 γράφων G-G1 είναι ένας νέος γράφος που έχει όσες κορυφές έχει ο G αλλά δεν περιέχει τις ακμές του G1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Οι κορυφές του κομματιού P που ανήκουν και στον G1 λέγονται κορυφές επαφής (contact vertices) Ένα κομμάτι με δύο ή περισσότερες κορυφές επαφής λέγεται τμήμα (segment). Δύο τμήματα λέγονται ασύμβατα (incompatible) αν τέμνονται τουλάχιστο 2 ακμές τους, όταν τοποθετούνται στην ίδια περιοχή του επιπέδου που προσδιορίζεται από έναν κύκλο C του G. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Στο Σχήμα 5.17 απεικονίζεται ένας επιπεδικός γράφος και αντίστοιχα κομμάτια του ως προς τον κύκλο C = (v2, v3, v4, v8, v9, v7, v2). Από τα 5 κομμάτια το 2ο δεν είναι τμήμα αφού έχει μόνο μία κορυφή επαφής την v8 Παρακάτω (Σχήμα 5.18) απεικονίζονται ασύμβατα τμήματα και οι ακμές τους που τέμνονται ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Σχήμα 5.17 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η ενσωμάτωση κομματιών που δεν είναι τμήματα είναι εύκολη γιατί έχουν μόνο ένα σημείο επαφής με το γράφο. Για την ενσωμάτωση των τμημάτων κατασκευάζεται ένας βοηθητικός (auxiliary) γράφος P(C) Ο γράφος αυτός έχει τόσες κορυφές όσες είναι τα τμήματα του γράφου που είναι σχετικά προς τον υπογράφο G1 και ακμές που ενώνουν τις κορυφές αν τα τμήματα είναι ασύμβατα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεώρημα 5.17: Ένας γράφος είναι επίπεδος, αν και μόνο αν για κάθε κύκλο C του G ο βοηθητικός γράφος P(C) είναι διμερής Στο σχήμα 5.19 φαίνονται τα τμήματα του K5 σε σχέση με έναν κύκλο C. Επειδή ο βοηθητικός γράφος είναι ο K3 συνάγουμε ότι ο Κ5 δεν είναι επίπεδος Στο σχήμα 5.20 φαίνονται τα τμήματα του K3,3 σε σχέση πάλι με έναν κύκλο C. Επειδή ο βοηθητικός γράφος είναι πάλι ο K3 συνάγουμε ότι ο K3,3 δεν είναι επίπεδος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Έλεγχος επιπεδικότητας DMP(1)
Έχει πολυπλοκότητα Ο(n2). Προηγείται μια φάση προεπεξεργασίας η οποία περιλαμβάνει τα εξής βήματα: Αν n < 5 ή m < 9 τότε ο γράφος είναι επίπεδος Αν m > 3n-6 τότε ο γράφος είναι μη-επίπεδος Αν ο γράφος είναι μη συνδεδεμένος τότε αρκεί να εξεταστεί κάθε συνιστώσα χωριστά. Άρα εστιάζουμε σε συνδεδεμένους γράφους. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αν ο γράφος περιέχει μια αποκόπτουσα κορυφή τότε αρκεί να εξεταστεί αν τα 2 τεμάχια είναι επίπεδα. Άρα εστιάζουμε σε 2-συνδεδεμένους γράφους (δηλ. σε γράφους που η απομάκρυνση μιας κορυφής δεν τους αποσυνδέει). Αν υπάρχουν βρόχοι και παράλληλες ακμές τότε αγνοούνται επειδή δεν επηρεάζουν την επιπεδικότητα του γράφου. Άρα εστιάζουμε σε απλούς γράφους. Αν υπάρχουν κορυφές βαθμού 2, τότε παράγεται ένας ομοιομορφικός γράφος με το μικρότερο αριθμό κορυφών εκτελώντας την πράξη της συστολής. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Η βασική ιδέα του αλγορίθμου DMP είναι η εξής: έστω ότι H′ είναι μια επίπεδη ενσωμάτωση ενός υπογράφου H⊆G. Αν υπάρχει μια επίπεδη ενσωμάτωση G′ του G έτσι ώστε H′⊆G′ τότε ο H′ λέγεται παραδεκτός (admissible) στο G. Π.χ. Έστω ο γράφος G = K5 – e1 όπου V ={1,2,3,4,5} και e1 = (1,5). Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει μια παραδεκτή και μια απαράδεκτη ενσωμάτωση του υπογράφου H = G – e2 όπου e2 = (1,2) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Έστω S ένα τμήμα του G σχετικό σε έναν υπογράφο H ⊆G. Τότε το S′ (επίπεδη σχεδίαση του S) μπορεί να σχεδιαστεί σε μια περιοχή r του H′ με την προϋπόθεση ότι όλες οι κορυφές επαφής του S κείνται στην περιφέρεια της r. Αυτό μας επιτρέπει να επεκτείνουμε την επίπεδη ενσωμάτωση H′ με ένα ακόμη τμήμα του G. Η στρατηγική του αλγορίθμου είναι να βρει μια ακολουθία υπογράφων H′1,H′2,H′3, ...,H′r=m-n+2=G, έτσι ώστε H′i⊂H′i+1 και κάθε H′i να είναι παραδεκτό στο G. Έτσι μπορεί να κατασκευαστεί μια επίπεδη ενσωμάτωση του G ή να διαπιστωθεί ότι κάτι τέτοιο δεν είναι εφικτό, επειδή κάποιο τμήμα S δεν είναι ενσωματώσιμο σε οποιαδήποτε περιοχή ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Ο αλγόριθμος ξεκινά με την εύρεση ενός κύκλου C του G και την ενσωμάτωσή του στο επίπεδο. Αυτός ο κύκλος είναι ο πρώτος υπογράφος H′1. Στη συνέχεια ο αλγόριθμος προσπαθεί να βρει ένα σύνολο τμημάτων που είναι σχετικά προς τον τρέχοντα υπογράφο H′i. Για κάθε τέτοιο τμήμα έστω S ο αλγόριθμος υπολογίζει το σύνολο R(S, H′i) το οποίο είναι το σύνολο των περιοχών μέσα στις οποίες το S μπορεί να ενσωματωθεί μέσα στον υπογράφο H′i.. Αν βρεθεί ένα τμήμα S που έχει μόνο μία τέτοια περιοχή r, τότε κατασκευάζεται ο υπογράφος H′i+1 σχεδιάζοντας ένα μονοπάτι P μεταξύ των 2 κορυφών επαφής του S με το περιθώριο (περίγραμμα) της περιοχής r. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αν δε βρεθεί ένα τέτοιο τμήμα S τότε κατασκευάζεται ένα μονοπάτι P μεταξύ 2 κορυφών επαφής οποιουδήποτε τμήματος. Σε οποιαδήποτε από τις παραπάνω 2 περιπτώσεις το μονοπάτι P χωρίζει την περιοχή στην οποία ενσωματώνεται σε 2 υποπεριοχές. Η παραπάνω διαδικασία επαναλαμβάνεται το πολύ r = m – n + 2 φορές. ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Είσοδος: ένα προεπεξεργασμένο τεμάχιο G (έλεγχος σταδίων) Έξοδος: Απάντηση αν ο γράφος G είναι επίπεδος ή όχι Μέθοδος DMP: Αναζήτηση μιας ακολουθίας παραδεκτών ενσωματώσεων σε έναν αρχικό κύκλο C. Εύρεση ενός κύκλου C και μιας επίπεδης ενσωμάτωσης του C η οποία είναι ο αρχικός υπογράφος H′1. i←1, r←2 Αν r=m-n+2 ο γράφος είναι επιπεδικός και ο αλγόριθμος τερματίζει αλλιώς προσδιορίζονται τα τμήματα S του H′i στον γράφο G και για κάθε τμήμα προσδιορίζεται το σύνολο των περιοχών R(S, H′i) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Αν υπάρχει ένα τμήμα S με R(S, H′i) = ∅ τότε ο γράφος δεν είναι επιπεδικός και ο αλγόριθμος τερματίζει αλλιώς αν υπάρχει ένα τμήμα S τέτοιο ώστε |R(S, H′i)| = 1, τότε θέτουμε {r} = R(S, H′i) αλλιώς λαμβάνουμε ως S οποιοδήποτε τμήμα και ως r οποιαδήποτε περιοχή του συνόλου R(S, H′i) Επιλέγεται ένα μονοπάτι P του S που συνδέει 2 κορυφές επαφής του S. Θέτουμε H′i+1= H′i ∪ P για να προκύψει η επίπεδη ενσωμάτωση H′i+1 με το P τοποθετημένο στην περιοχή r Θέτουμε i ← i+1, r ← r + 1 και πηγαίνουμε στο βήμα 2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Παράδειγμα: Θα υπολογίσουμε μια ενσωμάτωση του G=K5-{e1,e2}, e1=(4,5), e2=(2,4). Βήμα 1. Βρίσκουμε έναν κύκλο C (σχήμα) και μια επίπεδη ενσωμάτωσή του H′1. i=1, r=2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Βήμα 2. Ισχύει r=2 και m-n+2= 8-5+2=5. Άρα βρίσκουμε τα τμήματα του G που είναι σχετικά προς τον H′1. Αυτά είναι τα S1 και S2. Επίσης ισχύει R(S1, H′1) = {r1,r2} = R(S2, H′1) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Βήμα 3. Επειδή R(S1, H′1) = {r1,r2} = R(S2, H′1) επιλέγουμε τυχαία το S2 Βήμα 4. Στη συνέχεια πρέπει να επιλέξουμε ένα μονοπάτι P μεταξύ 2 κορυφών επαφής. Έστω ότι επιλέγουμε το μονοπάτι P=(1, 5, 2) το οποίο το ενσωματώνουμε σε οποιαδήποτε από τις περιοχές του συνόλου R(S2, H′1). Διαλέγουμε τυχαία την εξωτερική περιοχή r2. Τότε παίρνουμε τον παρακάτω γράφο H′2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Βήμα 5. Τώρα δημιουργούνται 3 περιοχές και θέτουμε r=3 και i=2. Πηγαίνουμε στο βήμα 2. Βήμα 2. Ισχύει r=3 και m-n+2= 8-5+2=5. Άρα βρίσκουμε τα τμήματα του G που είναι σχετικά προς τον H′2. Αυτά είναι τα S1= (1,3) και S2 = (3,5). ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Βήμα 3. Από αυτά το (3,5) ενσωματώνεται μόνο σε μια περιοχή την r2 Βήμα 4. Γίνεται η ενσωμάτωση του τμήματος οπότε προκύπτει ο υπογράφος H′3 Βήμα 5. Τίθεται r=4, i=3 και πηγαίνουμε στο βήμα 2 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Βήμα 2. Ισχύει r=4 και m-n+2= 8-5+2=5. Άρα βρίσκουμε τα τμήματα του G που είναι σχετικά προς τον H′3. Αυτό είναι το S1= (1,3) Βήμα 3. Το τμήμα (1,3) ενσωματώνεται στις περιοχές r1 και r2. Διαλέγουμε τυχαία την r1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Βήμα 4. Μετά την ενσωμάτωση παίρνουμε τον γράφο H′4. Βήμα 5. Θέτουμε r=5, i=4 και πηγαίνουμε στο βήμα 2. Βήμα 2. Ισχύει r=5 και m-n+2= 8-5+2=5 οπότε ο αλγόριθμος τερματίζει ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια