Εξίσωση του Planck E = hn=hc/λ

Παρουσίαση με θέμα: "Εξίσωση του Planck E = hn=hc/λ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εξίσωση του Planck E = hn=hc/λ
Κύμα με μικρό μήκος κύματος έχει μεγάλη ενέργεια!! Σταθερά Planck h = 6.6 x J/s

2 Η ενέργεια αποβάλλεται σε κβάντα!!!

3 H. Hertz ( ) Albert Einstein ( ) Φωτοηλεκτρικό φαινόμενο είναι το φαινόμενο εκπομπής ηλεκτρονίων από την επιφάνεια ενός μετάλλου, όταν αυτή εκτίθεται στο φως.

4 Φως και σωματίδια c = ln  n = c/l
n = c/l αντικατάσταση στη σχέση του Planck ( E = hn) E = (hc)/l Einstein m = E/c2 m ={(hc)/l}/c2 m = h/lc  l = h/mυ (υ = ταχύτητα)

5 Υπόθεση de Broglie’s Kυματική θεωρία της ύλης (1924) Κάθε κινούμενο μικρό σωματίδιο, π.χ. ηλεκτρόνιο, παρουσιάζει διττή φύση, σωματιδίου και κύματος.

6 εξίσωση de Broglie m: ιδιότητα σωματιδίου. λ: ιδιότητα κύματος. u: κοινή ιδιότητα σωματιδίου και κύματος ( ταχύτητα σωματιδίου, ταχύτητα διάδοσης κύματος ).

7

8 Η κυματική και σωματιδιακή φύση αλληλοσυμπληρώνονται.
Κάθε πείραμα που μας δίνει τη δυνατότητα να ανιχνεύσουμε το σωματιδιακό χαρακτήρα κατ’ ανάγκη αποκλείει την ταυτόχρονη πειραματική ανίχνευση των κυματικών χαρακτηριστικών.

9 Στα ραδιοκύματα που έχουν μεγάλο μήκος κύματος είναι δύσκολο να αποδείξουμε το σωματιδιακό τους χαρακτήρα. Αντίθετα, στις ακτίνες γ που έχουν πολύ μικρό μήκος κύματος είναι δύσκολο να αποδείξουμε τις κυματικές τους ιδιότητες.

10 σημείωση συγκρίνεται l μιας μπάλας του baseball και ενός ηλεκτρονίου___________________________________________________________ μάζα baseball = 0.1 kg ταχύτητα = 35 m/s ___________________________________________________________ e- – μάζα = 9.11 x 10-31kg ταχύτητα = 107 m/s

11 H διπλή φύση εκφρασμένη στο πρόσωπο μιας νέας και μιας ηλικιωμένης κυρίας.

12 Τι είναι λοιπόν τελικά το ηλεκτρόνιο; Σωματίδιο ή κύμα;
Η απάντηση είναι: ούτε σωματίδιο, ούτε κύμα, αλλά μια σύνθεση που εμπεριέχει ταυτόχρονα και τις σωματιδιακές και τις κυματικές ιδιότητες. Η απάντηση αυτή είναι βέβαια πολύ αόριστη για να διαλευκάνει το μυστήριο. Θυμίζει τη φράση Γάλλου πεζογράφου «όταν σου αποκρίνεται ένας φιλόσοφος, δεν καταλαβαίνεις πια καθόλου τι τον έχεις ρωτήσει».

13 Γιατί δεν μπορούμε να δούμε ένα άτομο

14 Κβαντικό μοντέλο του ατόμου
Κβαντικό μοντέλο του ατόμου

15 αρχή απροσδιοριστίας Heisenburg
Δεν μπορούμε να προσδιορίσουμε με ακρίβεια την ταχύτητα και την θέση ενός μικρού σωματιδίου, π.χ. ηλεκτρονίου κάποια χρονική στιγμή.

16 αρχή απροσδιοριστίας Αν υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε με απόλυτη ακρίβεια τη θέση ενός μικρού σωματιδίου, δηλαδή Δx=0, τότε έχουμε απόλυτη άγνοια για την ορμή αυτού, δηλαδή Δp=. Επίσης, αν γνωρίζουμε με απόλυτη ακρίβεια την ορμή ενός μικρού σωματιδίου, δηλαδή Δp=0, τότε έχουμε απόλυτη άγνοια για τη θέση που βρίσκεται το σωματίδιο, δηλαδή Δx=.

17   Nα επισημάνουμε ότι λόγω της απειροελάχιστης τιμής που έχει το h (6, J s-1), η σχέση αβεβαιότητας του Heisenberg δεν έχει κανένα νόημα στο μακρόκοσμο, όπου άλλες πηγές σφαλμάτων υπερκαλύπτουν τη θεμελιώδη αβεβαιότητα, που εκφράζεται από την παραπάνω ανισότητα. Η σχέση αβεβαιότητας του Heisenberg ορίζει τα όρια πέρα από τα οποία οι έννοιες της Κλασικής Φυσικής δεν μπορούν να εφαρμοστούν.  

18 ΣΧΗΜΑ 2. 28 Νοητικό πείραμα για την παρατήρηση ενός ηλεκτρονίου
 ΣΧΗΜΑ 2.28 Νοητικό πείραμα για την παρατήρηση ενός ηλεκτρονίου. Με φωτόνια μικρού μήκους κύματος ελαχιστοποιείται η αβεβαιότητα προσδιορισμού της θέσης του ηλεκτρονίου Δx. Όμως, η σκέδαση του φωτονίου στο ηλεκτρόνιο προκαλεί μεταβολή της ορμής (αβεβαιότητα στον προσδιορισμό της ορμής) Δp.

19 Εφαρμογές ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ
Εφαρμογές ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΜΙΚΡΟΣΚΟΠΙΑ Ηλεκτρονική μικρογραφία κυτταρικής μεμβράνης.

20 Ηλεκτρονική μικρογραφία ερυθρών αιμοσφαιρίων.
Εφαρμογές Ηλεκτρονική μικρογραφία ερυθρών αιμοσφαιρίων. Ηλεκτρονική μικρογραφία κόκκου διοξειδίου του τιτανίου (ΤiO2) που παίζει το ρόλο καταλύτη, της τάξεως των 10-9 m.

21 Ηλεκτρονικό Μικροσκόπιο Σάρωσης Σήραγγας (STM)
με το οποίο λαμβάνουμε είδωλα επιφανειών με διακριτική ικανότητα μεμονωμένων ατόμων (π.χ. 2 Å).

22 Μικροσκόπιο Σάρωσης Σήραγγας (STM) σε δείγμα κρυσταλλικού πυριτίου
Εφαρμογές Μικροσκόπιο Σάρωσης Σήραγγας (STM) σε δείγμα κρυσταλλικού πυριτίου

23 Εφαρμογές Ηλεκτρονική μικροσκοπία σάρωσης σήραγγας ατόμων ιωδίου που έχουν προσροφηθεί στην επιφάνεια λευκόχρυσου.

24 ΣΧΗΜΑ 2. 31 Σχηματική παρουσίαση της περιοριστικής συνθήκης του Bohr

25 Κυματική εξίσωση Schrödinger

26 Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ Για την περιγραφή του ηλεκτρονίου χρησιμοποιείται μια κυματοσυνάρτηση σε αναλογία με την εξίσωση κύματος που χρησιμοποιείται για την περιγραφή ενός μηχανικού ή ηλεκτρομαγνητικού κύματος. Η κυματοσυνάρτηση αυτή συμβολίζεται με Ψ και είναι μια συνάρτηση της θέσης και του χρόνου Ψ=Ψ(x, y, z, t).

27 Η ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Ψ Σε αντίθεση, η κυματοσυνάρτηση Ψ, που περιγράφει ένα κυματοσωματίδιο (κύμα ύλης), δεν συσχετίζεται ούτε με κάποιο μέσο διάδοσης, ούτε με κάποιες ιδιότητες του χώρου, οπότε δύσκολα μπορούμε να της αποδώσουμε κάποιο φυσικό νόημα. Δεν πρέπει να ξεχνάμε ότι, τα κύματα της κυματομηχανικής που παριστούν τη γνώση μας για τα ηλεκτρόνια, είναι μαθηματικές νοητικές επινοήσεις και διαδίδονται σε εννοιολογικούς χώρους.

28 Το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης, Ψ 2 σε κάθε σημείο, μας δίνει την πιθανότητα να βρούμε το ηλεκτρόνιο κοντά σε αυτό το σημείο. Η ποσότητα Ψ 2dV εκφράζει την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε όγκο dV γύρω από το σημείο στο οποίο υπολογίζεται η Ψ 2.

29 Η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο κάπου, κάποια χρονική στιγμή εκφράζεται μέσω του Ψ 2 και έχει δύο όρια: Το όριο 0 που αντιστοιχεί στη βεβαιότητα της απουσίας και το όριο 1 που αντιστοιχεί στη βεβαιότητα της παρουσίας. Πέραν όμως αυτών των δύο ακραίων καταστάσεων υπάρχουν και οι ενδιάμεσες καταστάσεις που προκύπτουν με υπέρθεση των ακραίων (αρχή της υπέρθεσης). Για παράδειγμα μια πιθανότητα 0,3 δηλώνει ότι υπάρχει 30% πιθανότητα να βρεθεί το σωματίδιο στο σημείο αυτό στο δεδομένο χρόνο. Ωστόσο, θα πρέπει να επισημάνουμε τη διαφορά μεταξύ πιθανότητας ενός γεγονότος και του γεγονότος αυτού καθεαυτού. Αν για παράδειγμα κάνουμε ένα πείραμα με σκοπό την ανίχνευση ενός ηλεκτρονίου, περιμένουμε είτε να το βρούμε είτε όχι. Δεν υπάρχει νόημα να μιλάμε για το 30% ενός ηλεκτρονίου.

30 Η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger γίνεται για ορισμένες μόνο (κβαντισμένες) τιμές ενέργειας Ε, που ονομάζονται ιδιοτιμές (eigenvalues). Μια κυματοσυνάρτηση θεωρείται επιτρεπτή και ονομάζεται ιδιοσυνάρτηση (eigenfunctions) μόνο εφόσον οι μαθηματικές πράξεις του τελεστή Η επί της Ψ οδηγούν στο γινόμενο Ε.Ψ Η επίλυση της εξίσωσης Schrödinger για τον προσδιορισμό των ιδιοσυναρτήσεων Ψ, για κάθε τιμή της ενέργειας Ε, δεν είναι εύκολη υπόθεση. Αντί αυτού, επινοούνται διάφορες κυματοσυναρτήσεις οι οποίες ελέγχονται με βάση την εξίσωση Schrödinger. Δηλαδή, προσδιορίζεται η μετρήσιμη ιδιότητα του συστήματος, ενέργεια Ε. Όσο πιο κοντά βρίσκεται η θεωρητικά υπολογιζόμενη τιμή της ενέργειας με τα πειραματικά δεδομένα (π.χ. φασματοσκοπικά δεδομένα), τόσο πιο κοντά βρίσκεται η δοκιμαζόμενη κυματοσυνάρτηση Ψ με τις κυματικές ιδιότητες του ηλεκτρονίου (ιδιοσυνάρτηση).

31 ΣΧΗΜΑ Σχηματική παρουσίαση κυματικής εξίσωσης σαν μια «μηχανή» η οποία τροφοδοτείται με τη συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας του ηλεκτρονίου και παράγει τις κυματοσυναρτήσεις και τις ενεργειακές στάθμες του συστήματος.

32 Max Born ( ) Πρώτος ο Max Born αντιλήφθηκε μια στατιστικού χαρακτήρα σύνδεση του κύματος με το σωματίδιο που αντιπροσώπευε, θεωρώντας ότι η πιθανότητα να βρεθεί ένα σωματίδιο σε κάποια ορισμένη θέση είναι ανάλογη προς το τετράγωνο του πλάτους του κύματος (Ψ2) του κύματος του Schrödinger στη θέση αυτή.

33 Το τροχιακό Ψ, δεν έχει φυσική σημασία και μπορεί να λάβει θετικές, αρνητικές, μηδέν, φανταστικές ή μιγαδικές τιμές. Ωστόσο, μπορούμε να πούμε ότι εκφράζει την παρουσία (όταν Ψ0) ή την απουσία του ηλεκτρονίου (όταν Ψ=0) σε μια ορισμένη περιοχή του χώρου γύρω από τον πυρήνα. Το τετράγωνο της κυματοσυνάρτησης Ψ2 ισούται με ΨΨ* και συσχετίζεται με την πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σε κάποιο σημείο του χώρου γύρω από τον πυρήνα (με συντεταγμένες x, y, z), σε δεδομένη χρονική στιγμή. Η συνάρτηση Ψ2 ονομάζεται συνάρτηση κατανομής πιθανότητας ή πυκνότητα πιθανότητας και εκφράζει την πιθανότητα ανά μονάδα όγκου και έχει μονάδες vol-1.

34 Το γινόμενο Ψ2.dV καθορίζει τον αριθμό κατοχής του ηλεκτρονίου στο στοιχειώδη όγκο dV γύρω από τον πυρήνα. Δηλαδή, η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο σ’ ένα στοιχειώδη χώρο dV, είναι ανάλογη με το Ψ2dV. Να παρατηρήσουμε ότι, ο αριθμός κατοχής είναι κλάσμα της μονάδας, ενώ ο αριθμός κατοχής σε ολόκληρο το χώρο που περιβάλλει τον πυρήνα ισούται με τη μονάδα. Το ηλεκτρόνιο, καθώς κινείται με μεγάλη ταχύτητα γύρω από τον πυρήνα, δημιουργεί ένα ηλεκτρονιακό νέφος, μια τρισδιάστατη «κηλίδα ηλεκτρονίων», που έχει διαφορετική πυκνότητα σε κάθε σημείο του χώρου γύρω από τον πυρήνα. Η συνάρτηση -eΨ2 εκφράζει την πυκνότητα του ηλεκτρονιακού νέφους σε κάποιο σημείο γύρω από τον πυρήνα και σε δεδομένο χρόνο, όπου -e το φορτίο του ηλεκτρονίου.

35 Επιτρεπτές τιμές Ψ Να είναι μονότιμη. Να έχει δηλαδή μια μόνο τιμή σε κάθε σημείο (x, y, z). Να είναι συνεχής, καθώς η τιμή της πιθανότητας δεν μπορεί να αλλάξει απότομα σε δύο γειτονικά σημεία. Να είναι πεπερασμένη, δηλαδή να μη παίρνει την τιμή άπειρο πουθενά. Να είναι κανονικοποιημένη, δηλαδή το άθροισμα των πιθανοτήτων να βρεθεί ηλεκτρόνιο σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου γύρω από τον πυρήνα να είναι ίσο με τη μονάδα (βεβαιότητα)

36

37 Η γραφική παράσταση Ψ(r,θ, φ) προϋποθέτει τετραδιάστατο γράφημα
α. τη γραφική παράσταση R(r) – r, της ακτινικής συνάρτησης R(r) σε σχέση με την απόσταση του ηλεκτρονίου από τον πυρήνα. Το διάγραμμα αυτό συσχετίζεται με το μέγεθος του τροχιακού. β. τη γραφική παράσταση Α(θ,φ) – θ-φ, της γωνιακής συνάρτησης Α(θ,φ) σε σχέση με τις σφαιρικές γωνιακές συντεταγμένες θ, φ. Το διάγραμμα αυτό συσχετίζεται με το σχήμα του τροχιακού.

38 Με ανάλογο σκεπτικό η γραφική παράσταση των ηλεκτρονιακών νεφών (συναρτήσεων πυκνότητας πιθανότητας) |Ψ|2 περιλαμβάνει: α. τη γραφική παράσταση του R2(r)-r β. τη γραφική παράσταση της συνάρτησης Α2(θ, φ)-θ-φ

39 Πιθανότητα εύρεσης e στην πρώτη και στη δεύτερη στιβάδα

40 Όπως βλέπουμε η ακτινική συνάρτηση R2(2s) διαπερνά τον πυρήνα, καθώς στον πυρήνα έχει τη μέγιστη πιθανότητα εύρεσης. Αντίθετα, η R2(2p) έχει μηδενική πιθανότητα να βρεθεί στον πυρήνα. Τα σημεία στα οποία η πιθανότητα εύρεσης του ηλεκτρονίου είναι μηδενική, χαρακτηρίζονται ως κομβικά (nodes) ή ακριβέστερα ακτινικοί κόμβοι (radial nodes).

41 ΣΧΗΜΑ 3.1: Γραφική παράσταση ακτινικών συναρτήσεων R(r) για n =3.

42 ΣΧΗΜΑ 3.2 Γραφική παράσταση της συνάρτησης πιθανότητας R2 (r) για τα τροχιακά 2s και 2p.

43 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΚΤΙΝΙΚΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 4πr2R2(r)
Ένας πιο συνηθισμένος τρόπος εξέτασης της κατανομής του ηλεκτρονιακού νέφους είναι να θεωρήσουμε ότι το άτομο συγκροτείται από «φλοιούς», όπως είναι το κρεμμύδι. Με βάση το σκεπτικό αυτό, η πιθανότητα να βρεθεί το ηλεκτρόνιο στο φλοιό όγκου dV εσωτερικής ακτίνας r και εξωτερικής ακτίνας r+dr είναι: R2dV =R2d(4πr3/3) = R24πr2dr

44 ΣΧΗΜΑ 3.3 Ο όγκος φλοιού πάχους dr είναι: dV = d(4πr3/3) = 4πr2dr

45 ΣΧΗΜΑ 3.4 Γραφική παράσταση της συνάρτησης ακτινικής πιθανότητας 4πr2R2 για τα τροχιακά 1s, 2s και 3s και σχηματική παρουσίαση της αντίστοιχης κατανομής της ηλεκτρονιακής πυκνότητας (με τις λευκές περιοχές απεικονίζονται. οι κομβικές επιφάνειες).

46 ΣΧΗΜΑ 3.5 Γραφική παράσταση της συνάρτησης ακτινικής πιθανότητας 4πr2R2 για τα τροχιακά 2p, 3p και σχηματική παρουσίαση της αντίστοιχης κατανομής της ηλεκτρονιακής πυκνότητας (με τις λευκές περιοχές απεικονίζονται. οι κομβικές επιφάνειες).

47 Κίνηση ηλεκτρονίου

48 Ζει ή πέθανε η γάτα του Schrodinger?