Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις» / Ενότητα 4η

Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις» / Ενότητα 4η
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις» / Ενότητα 4η Διδάσκων Δρ. Γ. Περαντζάκης Ηλεκτρολόγος Μηχανικός

Συστηματική Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ
Στην ανάλυση ηλεκτρικών κυκλωμάτων τα μεγέθη που ζητούνται να υπολογιστούν είναι τα ρεύματα και οι τάσεις των κλάδων του κυκλώματος. Η ανάλυση οποιουδήποτε συγκεντρωμένου κυκλώματος επιτυγχάνεται με εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff και του νόμου του Ohm. Όμως, για σύνθετα κυκλώματα αυξάνεται δραματικά ο αριθμός των ανεξάρτητων εξισώσεων του συστήματος. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Συστηματική Ανάλυση Κυκλωμάτων ΕΡ
Μέθοδοι συστηματικής ανάλυσης ηλεκτρικών κυκλωμάτων: η μέθοδος των απλών βρόχων και η μέθοδος των κόμβων. Με τις μεθόδους αυτές μειώνεται σημαντικά ο αριθμός των αγνώστων και η επίλυση του κυκλώματος διευκολύνεται με τη χρήση Η/Υ (π.χ. με εμπορικό λογισμικό Matlab κλπ.). Με τη μέθοδο των απλών βρόχων, οι άγνωστοι είναι τα ρεύματα των βρόχων. Με τη μέθοδο των κόμβων, οι άγνωστοι είναι τα ηλεκτρικά δυναμικά των κόμβων. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 3

Η Μέθοδος των Απλών Βρόχων
Εφαρμόζεται σε κυκλώματα ΣΡ και ΕΡ. Τα κυκλώματα ΕΡ πρέπει να διεγείρονται μόνο με πραγματικές πηγές τάσης της ιδίας συχνότητας. η επίλυση δε του κυκλώματος γίνεται στο πεδίο της συχνότητας. Η επίλυση του κυκλώματος ΕΡ γίνεται πρώτα στο πεδίο της συχνότητας και στη συνέχεια οι τάσεις και τα ρεύματα των κλάδων μετασχηματίζονται στο πεδίο του χρόνου. Για την εφαρμογή της μεθόδου, επιλέγονται μόνο οι απλοί βρόχοι του κυκλώματος και θεωρείται ότι κάθε βρόχος διαρρέεται από ένα ρεύμα, το ρεύμα βρόχου. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 4

Η παρουσίαση της μεθόδου των απλών βρόχων γίνεται με αναφορά στο παρακάτω κύκλωμα. Με εφαρμογή των νόμων του Kirchhoff απαιτούνται: Nb-Nn+1+Nn-1 = Nb = 7, ανεξάρτητες εξισώσεις. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 5

Με εφαρμογή της μεθόδου των απλών βρόχων, οι άγνωστοι μειώνονται στους τρεις, οι οποίοι είναι τα ρεύματα των βρόχων Τα ρεύματα όλων των κλάδων του κυκλώματος υπολογίζονται συναρτήσει των ρευμάτων των βρόχων: Με γνωστά τώρα τα ρεύματα των κλάδων υπολογίζονται οι τάσεις των κλάδων με εφαρμογή του νόμου του Ohm. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 6

Εξισώσεις τάσεων των απλών βρόχων: Βρόχος 1: Βρόχος 2: Βρόχος 3: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 7

Με αντικατάσταση των τάσεων των κλάδων στις προηγούμενες εξισώσεις των τάσεων των βρόχων: και διατυπώνοντας το γραμμικό σύστημα των τριών ανεξάρτητων εξισώσεων σε μορφή πίνακα: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 8

Ο Πίνακας: ονομάζεται πίνακας σύνθετων αντιστάσεων των απλών βρόχων και έχει τις εξής ιδιότητες: Είναι συμμετρικός Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου Zii (i=1,2,3) είναι το άθροισμα των σύνθετων αντιστάσεων των κλάδων που σχηματίζουν το βρόχο i. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 9

Τα στοιχεία Zik (i,k=1,2, i≠k), που βρίσκονται εκατέρωθεν της κυρίας διαγωνίου, είναι το αρνητικό άθροισμα των σύνθετων που είναι κοινές στους βρόχους i και k. Οι πηγές τάσης θεωρούνται θετικές όταν το ρεύμα που προσφέρουν στο κύκλωμα έχει την ίδια φορά του βρόχου που ανήκουν, αρνητικές στην αντίθετη περίπτωση. Λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες του πίνακα σύνθετων αντιστάσεων είναι δυνατή η απευθείας διατύπωση του συστήματος των ανεξάρτητων εξισώσεων, χωρίς να απαιτείται προηγουμένως η αναλυτική διατύπωσή τους !!! Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 10

Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των απλών βρόχων
Παράδειγμα 1ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των απλών βρόχων Δεδομένα: vS1=10 cos(1000t), vS2=15 cos(1000t+300), vS3=20 sin(1000t), R1= 6 (Ω), R2= 4 (Ω), R3= 5 (Ω), L1= 10 (mH), L2= 20 (mH), C=100 (μF). Ζητούνται: (α) Τα ρεύματα στους κλάδους και τις τάσεις στα άκρα των στοιχείων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας και στο πεδίο του χρόνου. (β) Η διαφορά φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης και ρεύματος στο πεδίο της συχνότητας για τις πηγές τάσης του κυκλώματος. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 11

Παράδειγμα 1ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των απλών βρόχων Λύση Στο πεδίο του χρόνου Στο πεδίο της συχνότητας Εξισώσεις τάσεων των τριών απλών βρόχων: Βρόχος 1: Βρόχος 2: Βρόχος 3: 12 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 1ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των απλών βρόχων Οι τάσεις και τα ρεύματα των κλάδων: Το σύστημα των τριών ανεξάρτητων εξισώσεων προκύπτει με αντικατάσταση των τάσεων και ρευμάτων στις εξισώσεις τάσεων των βρόχων: 13 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 1ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των απλών βρόχων Και υπό μορφή πινάκων: Ο πίνακας των αντιστάσεων μπορεί να γραφεί απευθείας με θεώρηση μόνο του κυκλώματος των τριών βρόχων, σύμφωνα με τις παρατηρήσεις που έχουν ήδη διατυπωθεί. Αντιστάσεις των κλάδων στο πεδίο της συχνότητας: 14 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 1ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των απλών βρόχων Οι πηγές τάσεις του κυκλώματος πρέπει να εκφράζονται με τον ίδιο τριγωνομετρικό αριθμό. Η μετατροπή από ημίτονο σε συνημίτονο γίνεται με την τριγωνομετρική σχέση: Μετά τη μετατροπή της πηγής vS3 από ημίτονο σε συνημίτονο, οι τάσεις των πηγών στο πεδίο της συχνότητας είναι: 15 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Αποτελέσματα: Παράδειγμα 1ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των απλών βρόχων Λαμβάνοντας υπόψη τις σύνθετες αντιστάσεις των κλάδων και των τάσεων των πηγών στο πεδίο της συχνότητας, το σύστημα των εξισώσεων του κυκλώματος υπό μορφή πίνακα είναι: 16 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 1ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των απλών βρόχων Τα ρεύματα στους βρόχους του κυκλώματος: 17 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης
Παράδειγμα 1ο Τα πραγματικά ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας υπολογίζονται με βάση τα ρεύματα των βρόχων: 18 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 1ο Οι τάσεις στα άκρα των στοιχείων των κλάδων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας υπολογίζονται με εφαρμογή του νόμου του Ohm: 19 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 1ο Τα ρεύματα των κλάδων του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου προκύπτουν με τον αντίστροφο μετασχηματισμό: 20 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 1ο Οι τάσεις των στοιχείων των κλάδων του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου προκύπτουν με τον αντίστροφο μετασχηματισμό: 21 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 1ο Η διαφορά φάσης μεταξύ των διανυσμάτων τάσης και έντασης για κάθε πηγή τάσης του κυκλώματος, προκύπτει από τη διαφορά των αρχικών φάσεων των διανυσμάτων εκφρασμένων σε πολική μορφή. Πηγή vS1, το ρεύμα καθυστερεί της τάσης κατά: Πηγή vS2, το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά: Πηγή vS3, το ρεύμα προηγείται της τάσης κατά: 22 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 1ο Διανύσματα τάσης-έντασης των πηγών του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: Πηγή vS1 Πηγή vS2 Η vS1 παρέχει επαγωγικό ρεύμα Πηγή vS3 Η vS2 παρέχει χωρητικό ρεύμα Η vS3 παρέχει χωρητικό ρεύμα 23 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 2ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των απλών βρόχων Δεδομένα: IS1= 50 (A), IS2= 30 (A), E3= 100 (V), R1=6 (Ω), R2= 20 (Ω), R3= 4 (Ω), R4= 3 (Ω), R5= 25 (Ω), Ζητούνται: Τα ρεύματα και οι τάσεις των κλάδων του κυκλώματος ΣΡ. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 24

Παράδειγμα 2ο Λύση Για να είναι δυνατή η επίλυση κυκλώματος με τη μέθοδο των απλών βρόχων πρέπει να υπάρχουν στο κύκλωμα μόνο πηγές τάσης. (!!!) Επομένως, ο παράλληλος συνδυασμός της πηγής IS1 και της αντίστασης R1, καθώς και ο παράλληλος συνδυασμός της πηγής IS2 και της αντίστασης R3 μετατρέπονται σε πραγματικές πηγές τάσης: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 25

Παράδειγμα 2ο Ισοδύναμο κύκλωμα, στο οποίο υπάρχουν μόνο πηγές τάσης: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 26

Παράδειγμα 2ο Με εφαρμογή της μεθόδου των απλών βρόχων και λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες του πίνακα των σύνθετων αντιστάσεων, διατυπώνεται απευθείας το σύστημα των ανεξάρτητων εξισώσεων του κυκλώματος: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 27

Παράδειγμα 2ο Από την επίλυση του συστήματος με αντιστροφή του πίνακα των σύνθετων αντιστάσεων, προκύπτουν τα ρεύματα των βρόχων: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 28

Παράδειγμα 2ο Τα ρεύματα και οι τάσεις στους κλάδους του κυκλώματος υπολογίζονται από τα ρεύματα των βρόχων: Επειδή το ρεύμα Ι3 έχει αρνητική τιμή, η πραγματική φορά του είναι αντίθετη από αυτή που αρχικά επιλέχτηκε. (!!!) Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 29

Παράδειγμα 2ο Για την ολοκλήρωση της επίλυσης του κυκλώματος, πρέπει να υπολογιστούν τα ρεύματα μέσα από τις αντιστάσεις R1 και R3. Το ρεύμα IR1 υπολογίζεται από τη η διαφορά δυναμικού VΒΔ: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 30

Παράδειγμα 2ο Ο υπολογισμός του ρεύματος IR3 υπολογίζεται από τη η διαφορά δυναμικού VΑΔ: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 31

Η Μέθοδος των Κόμβων Η μέθοδος των κόμβων είναι συνέπεια της εφαρμογής του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff και εφαρμόζεται σε κυκλώματα ΣΡ και ΕΡ, τα οποία διεγείρονται από πραγματικές πηγές ρεύματος της ίδιας συχνότητας. Όταν στο κύκλωμα υπάρχουν και πηγές τάσης, αυτές πρέπει να μετατραπούν σε ισοδύναμες πηγές ρεύματος. Οι άγνωστοι του συστήματος είναι τα δυναμικά των κόμβων του κυκλώματος ως προς τον κόμβο αναφοράς. Τα ρεύματα των κλάδων υπολογίζονται με εφαρμογή του νόμου του Ohm. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 32

Η Μέθοδος των Κόμβων Για την παρουσίαση της μεθόδου γίνεται αναφορά στο παρακάτω κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας. Οι κόμβοι του κυκλώματος είναι: Νb = 3, oι (Α), (Β) είναι οι κύριοι κόμβοι και ο (Δ) ο κόμβος αναφοράς. Αριθμός εξισώσεων = Nb – 1 = 3 – 1 = 2 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 33

Η Μέθοδος των Κόμβων Εξισώσεις κυκλώματος: Όπου Υ1, Υ2, Υ3 είναι οι αγωγιμότητες των κλάδων στο πεδίο της συχνότητας. Με εφαρμογή του νόμου των ρευμάτων του Kirchhoff στους κόμβους (Α) και (Β), προκύπτει: Και με αντικατάσταση των ρευμάτων στις εξισώσεις, Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 34

Η Μέθοδος των Κόμβων Οι εξισώσεις του συστήματος υπό μορφή πινάκων : Γενικεύοντας για κύκλωμα με Nn= n κόμβους: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 35

Η Μέθοδος των Κόμβων Η λύση του συστήματος των εξισώσεων υπό μορφή πινάκων: Και για τη γενική περίπτωση για κύκλωμα με Nn= n κόμβους: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 36

Η Μέθοδος των Κόμβων Ο Πίνακας: ονομάζεται πίνακας των σύνθετων αγωγιμοτήτων των κόμβων τάξης (n*n) και παρουσιάζει τις εξής ιδιότητες: Είναι συμμετρικός. Τα στοιχεία της κυρίας διαγωνίου Υii(i=1,2,…,n) είναι το άθροισμα των σύνθετων αγωγιμοτήτων των κλάδων που συνδέονται στον κόμβο i. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 37

Η Μέθοδος των Κόμβων Τα στοιχεία Υik(i,k=1,2,…,n, n≠k), τα οποία βρίσκονται εκατέρωθεν της κυρίας διαγωνίου, είναι το αρνητικό άθροισμα των σύνθετων αγωγιμοτήτων που συνδέονται στους κόμβους i,k. Το στοιχείο ISi(i=1,2,…n) του διανύσματος των ρευμάτων είναι το αλγεβρικό/διανυσματικό άθροισμα των πηγών ρεύματος που συνδέονται στον κόμβο i. Οι πηγές των οποίων το ρεύμα φθάνει στον κόμβο θεωρούνται θετικές, στην αντίθετη περίπτωση θεωρούνται αρνητικές. Λαμβάνοντας υπόψη τις ιδιότητες του πίνακα αγωγιμοτήτων είναι δυνατή η απευθείας διατύπωση των εξισώσεων ενός κυκλώματος υπό μορφή πινάκων. (!!!) Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 38

Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των κόμβων
Παράδειγμα 3ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των κόμβων Δεδομένα: iS1= 150 sin(ωt), iS2= 80 sin(ωt+600), R1= 1,2 (Ω), R2= 0,8 (Ω), R3= 8 (Ω), L1= 10 (mH), L2= 20 (mH), C = 800 (μF), f = 50 (Hz). Ζητούνται: Τα ρεύματα και οι τάσεις στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας και στο πεδίο του χρόνου. 39 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 3ο Λύση Υπολογίζονται οι σύνθετες αγωγιμότητες των κλάδων και τα ρεύματα των πηγών στο πεδίο της συχνότητας: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 40

Παράδειγμα 3ο Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 41

Παράδειγμα 3ο Το κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 42

Παράδειγμα 3ο Υπολογίζονται τα στοιχεία του πίνακα των σύνθετων αγωγιμοτήτων του προηγούμενου κυκλώματος: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 43

Παράδειγμα 3ο Ο πίνακας των σύνθετων αγωγιμοτήτων του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας και ο αντίστροφός του είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 44

Παράδειγμα 3ο Οι τάσεις των κόμβων του κυκλώματος προκύπτουν από την επίλυση του συστήματος των εξισώσεων του κυκλώματος και είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 45

Παράδειγμα 3ο Με εφαρμογή του νόμου του Ohm στο πεδίο της συχνότητας υπολογίζονται τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 46

Παράδειγμα 3ο Επαλήθευση: Πρέπει να επιβεβαιώνεται ο νόμος των ρευμάτων στους κόμβους του κυκλώματος. Πράγματι, για τους κόμβους 1 και 3 είναι: και: αντίστοιχα. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 47

Παράδειγμα 3ο Τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος προκύπτουν με εφαρμογή του αντίστροφου μετασχηματισμού και είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 48

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Η αρχή της επαλληλίας Η αρχή ή το θεώρημα της επαλληλίας ισχύει για όλα τα γραμμικά ηλεκτρικά κυκλώματα είτε αυτά είναι χρονικά αμετάβλητα είτε χρονικά μεταβαλλόμενα και χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να δούμε τη δράση στο κύκλωμα κάθε διέγερσης ξεχωριστά ή όταν οι πηγές δεν έχουν όλες την ίδια συχνότητα. Όταν οι πηγές διέγερσης είναι της ίδιας συχνότητας, η τάση ή το ρεύμα ενός κλάδου είναι το άθροισμα των επιμέρους τάσεων ή ρευμάτων που προκύπτουν, όταν κάθε πηγή ενεργήσει από μόνη της στο κύκλωμα. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 49

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Η αρχή της επαλληλίας Όταν οι πηγές διέγερσης δεν είναι της ίδιας συχνότητας, η τάση ή το ρεύμα ενός κλάδου είναι το άθροισμα των επιμέρους τάσεων ή ρευμάτων που προκύπτουν, όταν κάθε πηγή ενεργήσει από μόνη της στο κύκλωμα, περιέχει δε όλες τις συχνότητες που υπάρχουν στο κύκλωμα. Για την επίλυση κυκλώματος με βάση την αρχή της επαλληλίας θεωρούμε ότι κάθε φορά υπάρχει μόνο μία πηγή ενεργή στο κύκλωμα, ενώ οι υπόλοιπες νεκρώνονται (οι πηγές τάσης βραχυκυκλώνονται και οι πηγές ρεύματος ανοιχτοκυκλώνονται). Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 50

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Η αρχή της επαλληλίας Για κάθε μία πηγή ξεχωριστά επιλύεται το κύκλωμα και υπολογίζονται τα ρεύματα των κλάδων του κυκλώματος. Το ρεύμα σε κάθε κλάδο του κυκλώματος ισούται με το αλγεβρικό άθροισμα των ρευμάτων, εάν πρόκειται για ΣΡ, ή το διανυσματικό άθροισμα των ρευμάτων στο πεδίο της συχνότητας, εάν πρόκειται για ΕΡ, τα οποία προκάλεσαν στο συγκεκριμένο κλάδο η κάθε μία πηγή χωριστά. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 51

Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των κόμβων
Παράδειγμα 4ο Ανάλυση κυκλώματος ΕΡ με τη μέθοδο των κόμβων (α) vS1 = 50 (V), vS2 = 120 cos(800t) (V). (β) vS1 = 50 cos(800t) (V), vS2 = 120 cos(800t) (V). R1 = 8 (Ω), R2 = 4 (Ω), R3 = 8 (Ω), R4 = 15 (Ω), L1 = L2 = 20 (mH), C = 500 (μF). Δεδομένα: Ζητούνται: Τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας και στο πεδίο του χρόνου. Κύκλωμα στο πεδίο του χρόνου 52 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 4ο Λύση Επειδή το κύκλωμα διεγείρεται από πηγές με διαφορετική συχνότητα, για την ανάλυσή του μπορεί να εφαρμοστεί μόνο η αρχή της επαλληλίας. Υπολογίζονται πρώτα τα ρεύματα στους κλάδους που οφείλονται στην πηγή vS1 και στη συνέχεια στην πηγή vS2. Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 53

Διέγερση του κυκλώματος μόνο από την πηγή vS1
Παράδειγμα 4ο Διέγερση του κυκλώματος μόνο από την πηγή vS1 Η πηγή vS1 είναι ΣΡ, το ίδιο θα είναι και τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος. Στο ΣΡ το πηνίο συμπεριφέρεται ως βραχυκύκλωμα και ο πυκνωτής ως ανοιχτό κύκλωμα. Επομένως, το κύκλωμα παίρνει τη μορφή: Ισοδύναμη αντίσταση των R1, R2, R3: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 54

Παράδειγμα 4ο Τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος που οφείλονται μόνο στη διέγερση της πηγής vS1: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 55

Παράδειγμα 4ο Διέγερση του κυκλώματος μόνο από την πηγή vS2 Η πηγή vS2 είναι ΕΡ, το ίδιο θα είναι και τα ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος. Για τον υπολογισμό των ρευμάτων στους κλάδους του κυκλώματος εφαρμόζεται η μέθοδος των απλών βρόχων. Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας, όταν διεγείρεται μόνο από την πηγή vS2 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 56

Παράδειγμα 4ο Σύνθετες αντιστάσεις των πηνίων και των πυκνωτών: Υπολογισμός ρευμάτων βρόχων κυκλώματος: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 57

Παράδειγμα 4ο Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 58

Παράδειγμα 4ο Τα πραγματικά ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας, τα οποία οφείλονται μόνο στη διέγερση της πηγής vS2, υπολογίζονται από τα ρεύματα των βρόχων. Είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 59

Παράδειγμα 4ο Και στο πεδίο του χρόνου: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 60

Παράδειγμα 4ο Τελικώς, τα πραγματικά ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο του χρόνου, τα οποία οφείλονται στις διεγέρσεις των πηγών vS1 και vS2 είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 61

Παράδειγμα 4ο Ακολουθείται η ίδια πορεία επίλυσης του κυκλώματος, όπως και στην περίπτωση (α), με τη διαφορά ότι το κύκλωμα διεγείρεται τώρα από δύο πηγές ΕΡ της ίδιας συχνότητας. Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας, όταν διεγείρεται μόνο από την πηγή vS1 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 62

Παράδειγμα 4ο Για την επίλυση του κυκλώματος εφαρμόζεται και εδώ η μέθοδος των απλών βρόχων. Είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 63

Παράδειγμα 4ο Και τα ρεύματα στο πεδίο της συχνότητας που οφείλονται μόνο στην πηγή vS1 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 64

Παράδειγμα 4ο Υπολογίζονται, στη συνέχεια, τα ρεύματα των κλάδων στο πεδίο της συχνότητας, τα οποία οφείλονται μόνο στη διέγερση του κυκλώματος από την πηγή vS2. Κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας, όταν διεγείρεται μόνο από την πηγή vS2 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 65

Παράδειγμα 4ο Υπολογισμός ρευμάτων των βρόχων που οφείλονται μόνο στη διέγερση του κυκλώματος από την πηγή vS2. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 66

Παράδειγμα 4ο Και τα ρεύματα στους κλάδους που οφείλονται μόνο στη διέγερση της πηγής vS2 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 67

Παράδειγμα 4ο Τα πραγματικά ρεύματα στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας, τα οποία οφείλονται στη διέγερση και των δύο πηγών, είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 68

Παράδειγμα 4ο Και στο πεδίο του χρόνου: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 69

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα του Thevenin Θεώρημα Thevenin: Κάθε γραμμικό ηλεκτρικό κύκλωμα, το οποίο εξετάζεται από δύο ανοικτούς ακροδέκτες, μπορεί να αντικατασταθεί από μια ανεξάρτητη πηγή τάσης και μια σύνθετη αντίσταση αντίστοιχα. Το θεώρημα Thevenin έχει ευρεία εφαρμογή στην ανάλυση πολύπλοκων κυκλωμάτων, όταν ενδιαφέρει η εύρεση του ρεύματος σε έναν από τους κλάδους του κυκλώματος. Προϋπόθεση εφαρμογής του θεωρήματος Thevenin είναι οι πηγές οι πηγές τους κυκλώματος να έχουν την ίδια συχνότητα. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 70

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Εάν οι πηγές ΕΡ έχουν διαφορετικές συχνότητες, τότε υπολογίζεται το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin για κάθε συχνότητα ξεχωριστά και το όλο κύκλωμα αντιμετωπίζεται όπως στην περίπτωση εφαρμογής της αρχής της επαλληλίας. Βήματα για την εύρεση του ισοδύναμου ενός κυκλώματος κατά Thevenin: Προσδιορίζεται ο κλάδος του κυκλώματος, για τον οποίο ζητείται ο υπολογισμός του ρεύματος, της τάσης ή της ισχύος. Το στοιχείο που συνδέεται στον κλάδο αυτόν ονομάζεται φορτίο. Αφαιρείται το φορτίο και δημιουργούνται στο κύκλωμα δύο ανοικτά άκρα (ακροδέκτες). Υπολογίζεται η τάση στους ακροδέκτες με εφαρμογή των γνωστών μεθόδων. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 71

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Υπολογίζεται η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος ως προς τους ακροδέκτες, αφού προηγουμένως αντικατασταθούν οι πηγές τάσης με βραχυκυκλώματα και οι πηγές ρεύματος με ανοιχτά κυκλώματα. Ισοδύναμο κατά Thevenin κυκλώματος Κ Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 72

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Μετατροπή πραγματικής πηγής τάσης σε πραγματική πηγή ρεύματος: Μετατροπή πραγματικής πηγής ρεύματος σε πραγματική πηγή τάσης: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 73

Ισοδύναμο κυκλώματος κατά Thevenin
Παράδειγμα 5ο Ισοδύναμο κυκλώματος κατά Thevenin E1 = 100 (V), IS2= 50 (A), R1 = 1,2 (Ω), R2 = 10 (Ω), R3 = 3,5 (Ω), R4 = 6 (Ω). Δεδομένα: Ζητούνται: (α) Το ισοδύναμο κατά Thevenin ως προς τα άκρα του κυκλώματος (Μ) και (Ν). (β) Το ρεύμα, η τάση, η ισχύς που καταναλώνεται σε αντίσταση 5 (Ω), συνδεδεμένη στα άκρα (Μ) και (Ν) του κυκλώματος. Κύκλωμα: 74 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 5ο Λύση Υπολογίζουμε πρώτα η τάση Thevenin στα άκρα (Μ) και (Ν) του κυκλώματος. Μετατρέπουμε την πηγή τάσης Ε1 σε πηγή ρεύματος, οπότε προκύπτει το κύκλωμα: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 75

Παράδειγμα 5ο Για τον υπολογισμό των τάσεων των κόμβων (1) και (2) ως προς τον κόμβο αναφοράς (3) εφαρμόζουμε τη μέθοδο των κόμβων. Υπολογίζουμε πρώτα τις αγωγιμότητες των κλάδων και στη συνέχεια τα δυναμικά των κόμβων. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 76

Παράδειγμα 5ο Και τα δυναμικά των κόμβων (1) και (2) ως προς τον κόμβο αναφοράς (3): Και η τάση Thevenin: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 77

Παράδειγμα 5ο Η αντίσταση Thevenin υπολογίζεται, θεωρώντας τις πηγές ρεύματος ανοικτά κυκλώματα, οπότε προκύπτει το κύκλωμα: Με ισοδύναμη αντίσταση Thevenin: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 78

Παράδειγμα 5ο Το ρεύμα, η τάση και η ισχύς που καταναλώνεται στην αντίσταση φορτίου είναι αντίστοιχα: Ισοδύναμο κατά Thevenin: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 79

Ισοδύναμο κυκλώματος κατά Thevenin
Παράδειγμα 6ο Ισοδύναμο κυκλώματος κατά Thevenin Δίνεται το κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας: Να υπολογιστεί το ισοδύναμο κατά Thevenin ως προς τους ακροδέκτες (Μ) και (Ν) του κυκλώματος. Ζητείται: 80 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 6ο Λύση Υπολογίζουμε την τάση Thevenin με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο m, αφού πρώτα υπολογίσουμε τις τάσεις VL1, VL2 με τη βοήθεια των ρευμάτων των βρόχων J1, J2. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 81

Παράδειγμα 6ο Υπολογισμός των ρευμάτων των βρόχων J1, J2. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 82

Παράδειγμα 6ο Υπολογισμός πραγματικών ρευμάτων στους κλάδους του κυκλώματος στο πεδίο της συχνότητας: Η τάση Thevenin προκύπτει με εφαρμογή του νόμου των τάσεων στο βρόχο m: 83 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 6ο Η αντίσταση Thevenin υπολογίζεται από το από το συνδυασμό των σύνθετων αντιστάσεων του παρακάτω κύκλωμα: 84 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 6ο Τελικώς, η τάση και η σύνθετη αντίσταση, καθώς και το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin είναι: 85 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα του Norton Θεώρημα Norton: Κάθε γραμμικό ηλεκτρικό κύκλωμα, το οποίο εξετάζεται από δύο ανοικτούς ακροδέκτες, μπορεί να αντικατασταθεί από μια ανεξάρτητη πηγή ρεύματος παράλληλα με μια σύνθετη αντίσταση αντίστοιχα. Το δυαδικό του ισοδύναμου κατά Thevenin ενός κυκλώματος είναι το ισοδύναμο κατά Norton. Για κυκλώματα ΕΡ με πηγές με διαφορετικές συχνότητες υπολογίζεται το ισοδύναμο κατά Norton του κυκλώματος για κάθε ξεχωριστή συχνότητα, όπως ισχύει και για ανάλογη εφαρμογή του θεωρήματος Thevenin. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 86

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Ισοδύναμο κατά Norton κυκλώματος. Επειδή το ισοδύναμο κατά Norton είναι το δυαδικό κατά Thevenin και αντιστρόφως, είναι προφανές ότι ισχύει: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 87

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Βήματα για την εύρεση του ισοδύναμου κυκλώματος κατά Norton: Προσδιορίζεται ο κλάδος του κυκλώματος, για τον οποίο ζητείται ο υπολογισμός του ρεύματος, της τάσης ή της ισχύος. Το στοιχείο που συνδέεται στον κλάδο αυτόν ονομάζεται φορτίο. Αφαιρείται το φορτίο, βραχυκυκλώνονται τα δύο άκρα του κυκλώματος και υπολογίζεται το ρεύμα βραχυκύκλωσης IN στους δύο ακροδέκτες. Υπολογίζεται η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος ως προς τους ακροδέκτες για τους οποίους ζητείται το ισοδύναμο κατά Norton με τον ίδιο τρόπο που υπολογίζεται η αντίσταση Thevenin. Είναι: ΖΝ = Zth. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 88

Ισοδύναμο κυκλώματος κατά Norton
Παράδειγμα 7ο Ισοδύναμο κυκλώματος κατά Norton E1 = 100 (V), IS2= 50 (A), R1 = 1,2 (Ω), R2 = 10 (Ω), R3 = 3,5 (Ω), R4 = 6 (Ω). Δεδομένα: Ζητούνται: (α) Το ισοδύναμο κατά Norton ως προς τα άκρα του κυκλώματος (Μ) και (Ν). (β) Το ρεύμα, η τάση, η ισχύς που καταναλώνεται σε αντίσταση 5 (Ω), συνδεδεμένη στα άκρα (Μ) και (Ν) του κυκλώματος. Κύκλωμα: 89 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 7ο Λύση Υπολογίζουμε πρώτα το ρεύμα Norton μέσα από τα βραχυκυκλωμένα άκρα (Μ) και (Ν) του κυκλώματος. Μετατρέπουμε την πηγή τάσης Ε1 σε πηγή ρεύματος, οπότε προκύπτει το κύκλωμα: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 90

Παράδειγμα 7ο Για τον υπολογισμό των τάσεων των κόμβων (1) και (2) ως προς τον κόμβο αναφοράς (3) εφαρμόζουμε τη μέθοδο των κόμβων. Υπολογίζουμε πρώτα τις αγωγιμότητες των κλάδων και στη συνέχεια τα δυναμικά των κόμβων. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 91

Παράδειγμα 7ο Το ρεύμα Norton υπολογίζεται με εφαρμογή του νόμου του Ohm και με γνωστή την τάση του κόμβου (2). Υπολογισμός των δυναμικών των κόμβων (1) και (2) ως προς τον κόμβο αναφοράς (3): Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 92

Παράδειγμα 7ο Το ρεύμα Norton υπολογίζεται με εφαρμογή του νόμου του Ohm: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 93

Παράδειγμα 7ο Η αντίσταση Norton: Το ρεύμα, η τάση και η ισχύς στο φορτίο είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 94

Ισοδύναμο κυκλώματος κατά Norton
Παράδειγμα 8ο Ισοδύναμο κυκλώματος κατά Norton Δίνεται το κύκλωμα στο πεδίο της συχνότητας: Να υπολογιστεί το ισοδύναμο κατά Norton ως προς τους ακροδέκτες (Μ) και (Ν) του κυκλώματος. Ζητείται: 95 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 8ο Λύση Υπολογίζουμε το ρεύμα Norton μέσα από τα βραχυκυκλωμένα άκρα (Μ) και (Ν) του παρακάτω κυκλώματος με τη μέθοδο των απλών βρόχων. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 96

Παράδειγμα 8ο Υπολογισμός των ρευμάτων των βρόχων: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 97

Παράδειγμα 8ο Υπολογισμός των ρευμάτων των βρόχων: Ρεύμα Norton: Σύνθετη αντίσταση Norton: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 98

Παράδειγμα 8ο Κύκλωμα για τον υπολογισμό της σύνθετης αντίστασης Norton και ισοδύναμο κύκλωμα κατά Norton: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 99

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Εφαρμόζεται στις περιπτώσεις που επιθυμούμε να εξασφαλίσουμε μέγιστη μεταφορά ισχύος από το σύστημα (ηλεκτρικό κύκλωμα ή ηλεκτρικό δίκτυο) προς το φορτίο. Η εύρεση των συνθηκών μέγιστης μεταφοράς ισχύος από ένα ηλεκτρικό κύκλωμα προς το φορτίο συνιστά πρόβλημα βελτιστοποίησης μεταφοράς ισχύος. Για την ανάλυση του θέματος γίνεται αναφορά στο παρακάτω γραμμικό κύκλωμα Κ στη ΜΗΚ, το οποίο τροφοδοτεί φορτίο: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 100

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Γραμμικό κύκλωμα Κ, το οποίο μετασχηματίζεται στο ισοδύναμο κατά Thevenin στο πεδίο της συχνότητας Πραγματική (μέση, ενεργή) ισχύς που παρέχεται από το κύκλωμα στο φορτίο: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 101

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Το ρεύμα στο ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 102

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Αυτό που ζητείται εδώ είναι να βρεθούν οι συνθήκες κάτω από τις οποίες η μεταφερόμενη πραγματική ισχύς, ΡL στο φορτίο γίνεται μέγιστη. Για συγκεκριμένο ηλεκτρικό κύκλωμα, τα μεγέθη Vth, Rth, Xth είναι σταθερά, ενώ τα μεγέθη RL, XL του φορτίου μεταβάλλονται. Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις: Η RL είναι σταθερή και μεταβάλλεται η XL. Η ενεργός ισχύς παρουσιάζει μέγιστο: όταν: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 103

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Για XL = - Xth, η πραγματική ισχύς παρουσιάζει μέγιστη τιμή: Η XL είναι σταθερή και μεταβάλλεται η RL. Η ενεργός ισχύς παρουσιάζει μέγιστο: όταν ισχύει: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 104

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Επομένως, η πραγματική ισχύς που μεταφέρεται στο φορτίο γίνεται μέγιστη όταν ισχύει: Με βάση τα αποτελέσματα της προηγούμενης ανάλυσης, το θεώρημα της μέγιστης μεταφοράς ισχύος διατυπώνεται ως εξής: Η ενεργός ισχύς που μεταφέρεται από μια πραγματική πηγή προς ένα φορτίο γίνεται μέγιστη, όταν η σύνθετη αντίσταση του φορτίου είναι η συζυγής μιγαδική της εσωτερικής σύνθετης αντίστασης της πηγής. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 105

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Όταν ικανοποιείται η συνθήκη της μέγιστης μεταφοράς ισχύος, τότε η σύνθετη αντίσταση φορτίου λέγεται ότι είναι προσαρμοσμένη στην εσωτερική σύνθετη αντίσταση της πηγής και η μέγιστη ισχύς που μεταφέρεται στο φορτίο είναι: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 106

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Ένα χαρακτηριστικό μέγεθος είναι η απόδοση μεταφοράς ισχύος από την πηγή στο φορτίο και ορίζεται ως ο λόγος: Όπου: Και συνδυάζοντας τις προηγούμενες σχέσεις, προκύπτει: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 107

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Εάν, τώρα, υπάρχει προσαρμογή του φορτίου προς την πηγή ισχύει (κανόνας του διαιρέτη τάσης): Και ο βαθμός απόδοσης μεταφοράς ισχύος γίνεται: Δηλαδή, σε διατάξεις με προσαρμογή του φορτίου προς την πηγή, ο μέγιστος βαθμός απόδοσης μεταφοράς ισχύος είναι 50 % (!!!). Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 108

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Αυτός ο βαθμός απόδοσης μεταφοράς ισχύος (50 %) είναι μη αποδεκτός για διατάξεις μεταφοράς υψηλής ισχύος και για το λόγο αυτό τα συστήματα μεταφοράς υψηλής ισχύος δε λειτουργούν ποτέ προσαρμοσμένα (!!!). Στα συστήματα υψηλής ισχύος επιβάλλεται να είναι Rth<< RL, διότι τότε μεγιστοποιείται η ικανότητα μεταφοράς ισχύος, δηλαδή ο βαθμός απόδοσης μεταφοράς του συστήματος, αφού στην περίπτωση αυτή είναι PL >> Pi. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 109

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Αντιθέτως, σε κυκλώματα χαμηλής ισχύος, π.χ. η κεραία ενός δέκτη ή πομπού συστήματος επικοινωνιών ή η κεφαλή ενός μαγνητοφώνου κλπ., όπου πρέπει να επιτυγχάνεται πλήρης εκμετάλλευσης από το φορτίο της διαθέσιμης πραγματικής ισχύος της πηγής, απαιτείται να γίνεται προσαρμογή του φορτίου προς την πηγή (!!!). Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 110

Θεωρήματα Κυκλωμάτων Το θεώρημα μέγιστης μεταφοράς ισχύος Εάν το φορτίο είναι καθαρά ωμικό (RL ≥ 0, XL = 0), τότε για τη μέγιστη μεταφορά ισχύος από την πηγή στην RL πρέπει να είναι: Εάν το φορτίο έχει σύνθετη αντίσταση με: RL ≥ 0, XL = σταθ., τότε η XL συμπεριλαμβάνεται στην εσωτερική αντίσταση της πηγής και επομένως η περίπτωση αυτή ανάγεται στην προηγούμενη περίπτωση και ισχύει: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 111

Μέγιστη μεταφορά ισχύος
Παράδειγμα 9ο Μέγιστη μεταφορά ισχύος Δεδομένα: R1 = 30 (Ω), R2 = 15 (Ω), R3 = 40 (Ω). (α) Να βρεθεί η τιμή της μεταβλητής σύνθετης αντίστασης φορτίου Zload, ώστε να έχουμε μέγιστη μεταφορά ισχύος στη Zload και στη συνέχεια να βρεθεί η τιμή της μέγιστης ισχύος. Ζητούνται: Κύκλωμα: 112 Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης

Παράδειγμα 9ο Λύση Υπολογίζουμε αρχικά το ισοδύναμο κύκλωμα κατά Thevenin ως προς τα άκρα (Μ) και (Ν) του κυκλώματος: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 113

Παράδειγμα 9ο Επειδή η πηγή ρεύματος IS είναι ιδανική και όχι πραγματική δε μπορεί να μετατραπεί σε πηγή τάσης και για το λόγο αυτό θεωρούμε ότι στα άκρα της πηγής ρεύματος υπάρχει μια εικονική πηγή τάσης, VX. Ακολούθως, διαμορφώνουμε τις εξισώσεις του παρακάτω κυκλώματος, εφαρμόζοντας τη μέθοδο των απλών βρόχων. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 114

Παράδειγμα 9ο Όπου: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 115

Παράδειγμα 9ο Λαμβάνοντας υπόψη ότι είναι IS = - j1 και αντικαθιστώντας τα ρεύματα των κλάδων συναρτήσει των ρευμάτων των βρόχων, προκύπτει: και αντικαθιστώντας τις πτώσεις τάσης στις προηγούμενες εξισώσεις, προκύπτει σύστημα εξισώσεων με αγνώστους τα VX, j2, j3. Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 116

Παράδειγμα 9ο Από την επίλυση του συστήματος με αντιστροφή του πίνακα των αντιστάσεων, προκύπτει: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 117

Παράδειγμα 9ο Εναλλακτικός τρόπος υπολογισμού της τάσης VX Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 118

Παράδειγμα 9ο Η τάση Thevenin ως προς τα άκρα (Μ) και (Ν) του κυκλώματος υπολογίζεται με εφαρμογή του νόμου των τάσεων του Kirchhoff στο βρόχο του παρακάτω τμήματος του κυκλώματος: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 119

Παράδειγμα 9ο Η σύνθετη αντίσταση Thevenin ως προς τα άκρα (Μ) και (Ν) υπολογίζεται κατά τα γνωστά από το παρακάτω κύκλωμα: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 120

Παράδειγμα 9ο Ισοδύναμο κατά Thevenin ως προς τα άκρα (Μ) και (Ν) του κυκλώματος: Για μέγιστη μεταφορά ισχύος στο φορτίο Zload πρέπει να ισχύει: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 121

Παράδειγμα 9ο Μέγιστη πραγματική ισχύς που μεταφέρεται στο προσαρμοσμένο φορτίο: Και το ρεύμα φορτίου σε συνθήκες προσαρμογής: Ηλεκτροτεχνία-Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις, Ενότητα 4, Γ. Περαντζάκης 122

Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις» / Ενότητα 4η

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις» / Ενότητα 4η"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια

Είσοδος

Σύνδεση μέσω των κοινωνικών δικτύων:

Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις» / Ενότητα 4η

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Παρουσίαση με θέμα: "Μ ά θ η μ α «Ηλεκτροτεχνία - Ηλεκτρικές Εγκαταστάσεις» / Ενότητα 4η"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

Παρόμοιες παρουσιάσεις

Σχετικά με το έργο

Σχόλια