ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace.

Παρουσίαση με θέμα: "ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Laplace

2 Μετασχηματισμός Laplace
Διευρύνει τη κλάση των σημάτων για τα οποία μπορεί να επιτευχθεί η μετάβαση από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Παρέχει τη δυνατότητα μελέτης συστημάτων που δεν βρίσκονται σε αρχική κατάσταση ηρεμίας. Μας δίνει τη δυνατότητα εναλλακτικών τρόπων παράστασης των συστημάτων. Μετατροπή των Δ.Ε. σε αλγεβρικές εξισώσεις.

3 Μετασχηματισμός Laplace
Ορισμός: Αν α=-, τότε έχουμε τον Αμφίπλευρο Μετασχηματισμό Laplace Αν α=0, τότε έχουμε το Μονόπλευρο Μετασχηματισμό Laplace

4 Αμφίπλευρος Μετασχηματισμός Laplace
Σχέση Μετασχηματισμών Fourier και Laplace

5 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} σ=Re{s}

6 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: L L Τι συμβαίνει; …. Υπάρχει Λάθος;

7 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: L L

8 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Πόλος σ=-α σ=Re{s} Περιοχή Σύγκλισης X2(s)=L{x2(t)} σ=Re{s}<-α Περιοχή Σύγκλισης X1(s)=L{x1(t)} σ=Re{s}>-α

9 Μετασχηματισμός Laplace
Πραγματικά Εκθετικά Σήματα: όπου: Όμως: και επομένως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της Γραμμικότητας:

10 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης X1(s)=L{x1 (t)} σ=Re{s}>-2 Περιοχή Σύγκλισης X(s)=L{x (t)} σ=Re{s}>-1 Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Πόλος Μηδενικό -2 -1 1 σ=Re{s}

11 Μετασχηματισμός Laplace
Πραγματικά & Μιγαδικά Εκθετικά Σήματα: όπου:

12 Μετασχηματισμός Laplace
Πραγματικά & Μιγαδικά Εκθετικά Σήματα: (Συνέχεια) Όμως: και επομένως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της Γραμμικότητας:

13 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s Περιοχή Σύγκλισης X1(s)=L{x1 (t)} σ=Re{s}>-2 Περιοχή Σύγκλισης X(s)=L{x (t)} σ=Re{s}>-1 jΩ=Im{s} 3j Πόλος Μηδενικό -2 -1 1 σ=Re{s} -3j

14 Μετασχηματισμός Laplace
Κρουστικά Σήματα: όπου:

15 Μετασχηματισμός Laplace
Κρουστικά Σήματα: (Συνέχεια) Όμως: και επομένως, χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της Γραμμικότητας:

16 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s Περιοχή Σύγκλισης X2(s)=L{x2 (t)} σ=Re{s}>-1 Περιοχή Σύγκλισης X(s)=L{x (t)} σ=Re{s}>2 jΩ=Im{s} Πόλος Μηδενικό -1 1 2 σ=Re{s} Περιοχή Σύγκλισης X1(s)=L{δ (t)}

17 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 1: Η ΠΣ του Χ(s) συντίθεται από λωρίδες παράλληλες στον άξονα –jΩ. Μια συνάρτηση x(t) είναι εκθετικής τάξης λ αν:

18 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης σ=Re{s}

19 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 2: Αν το x(t) είναι πεπερασμένης διάρκειας και ολοκληρώ-σιμo (κατ’ απόλυτη τιμή), η ΠΣ του Χ(s) είναι ολόκληρο το επίπεδο-s. x(t) t Τ1 Τ2

20 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης σ=Re{s}

21 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 3: Αν το x(t) είναι ένα σήμα δεξιάς επέκτασης και η ευθεία Re{s}=σ0 ανήκει στη ΠΣ του Χ(s), τότε: κάθε s: Re{s}>σ0 θα ανήκει στην ΠΣ του. x(t) t Τ1

22 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης σ0 σ=Re{s} ευθεία Re{s}=σ0

23 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 4: Αν το x(t) είναι ένα σήμα αριστερής επέκτασης και η ευθεία: Re{s}=σ0 ανήκει στη ΠΣ του Χ(s), τότε: κάθε s: Re{s}<σ0 θα ανήκει στην ΠΣ του. x(t) t Τ2

24 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης σ0 σ=Re{s} ευθεία Re{s}=σ0

25 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 5: Αν το x(t) είναι ένα σήμα αμφίπλευρης επέκτασης και η ευθεία: Re{s}=σ0 ανήκει στη ΠΣ του Χ(s), τότε: Η ΠΣ θα είναι μια λωρίδα στο επίπεδο- s που θα περιλαμβάνει την ευθεία Re{s}=σ0.

26 Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης Περιοχή Σύγκλισης σ0 σ=Re{s} σ=Re{s} ευθεία Re{s}=σ0

27 Μετασχηματισμός Laplace
Περιοχή Σύγκλισης Μετασχηματισμού: Μερικές Ιδιότητες Ιδιότητα 6: Η ΠΣ μιας ρητής Χ(s) δεν περιέχει πόλους. Ιδιότητα 7: Η ΠΣ μιας ρητής Χ(s) ή εκτείνεται ως το άπειρο ή περιορίζεται από τους πόλους της.

28 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} -2 -1 σ=Re{s}

29 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s jΩ=Im{s} Περιοχή Σύγκλισης Δεξιάς επέκτασης σήματος -2 -1 σ=Re{s}

30 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s Περιοχή Σύγκλισης Αριστερής επέκτασης σήματος jΩ=Im{s} -2 -1 σ=Re{s}

31 Μετασχηματισμός Laplace
Μιγαδικό Επίπεδο-s Περιοχή Σύγκλισης Αμφίπλευρης επέκτασης σήματος jΩ=Im{s} -2 -1 σ=Re{s}