Από το πρόβλημα των νομισμάτων, στην εξίσωση του Pell

Παρουσίαση με θέμα: "Από το πρόβλημα των νομισμάτων, στην εξίσωση του Pell"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Από το πρόβλημα των νομισμάτων, στην εξίσωση του Pell
Κοινή εργασία με το Μ. Τζούμα

2 Αριθμός νομισμάτων σε τρίγωνο: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …
Πρόβλημα 2. Να τοποθετήσετε νομίσματα ίδιας αξίας, ώστε το ένα να ακουμπά στο άλλο και με αυτό τον τρόπο να σχηματίσετε ισόπλευρο τρίγωνο ή τετράγωνο. Καταγράψτε κάθε φορά τον αριθμό των νομισμάτων που απαιτούνται Αριθμός νομισμάτων σε τρίγωνο: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, … Αριθμός νομισμάτων σε τετράγωνο: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, …

3 Πρόβλημα: Να σχεδιάσετε με ένα λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας (λ. δ. Γ
Πρόβλημα: Να σχεδιάσετε με ένα λογισμικό δυναμικής Γεωμετρίας (λ.δ.Γ.) (αντίστοιχα ) εφαπτόμενους ίσους μεταξύ τους κύκλους, έτσι ώστε να σχηματίζουν ισόπλευρο τρίγωνο, αντίστοιχα τετράγωνο. Πρόβλήμα: Να σχεδιάσετε το κυρτό περίβλημα του παραπάνω προβλήματος. Πρόβλημα: Με ένα λ.δ.Γ. να γεμίσετε ένα τετράγωνο (αντίστοιχα τρίγωνο) με (αντίστοιχα ), ίσους εφαπτόμενους κύκλους.

4 Πρόβλημα: Ποιος είναι, γενικά, ο αριθμός των νομισμάτων ίσης αξίας, που χωρά ακριβώς σε ισόπλευρο τρίγωνο, όταν στη βάση βάλουμε n νομίσματα (ή τετράγωνο, όταν στη βάση βάλουμε m νομίσματα); Πόσα νομίσματα χωρούν συγχρόνως σε ισόπλευρο τρίγωνο και τετράγωνο;

5 Η εξίσωση του Pell όπου ο δ είναι θετικός ακέραιος και δεν είναι τέλειο τετράγωνο, είναι γνωστή ως εξίσωση του Pell. Αν x0 και y0 μια αρχική λύση τότε:

6 Η εύρεση πρωτεύουσας λύσης
δ x0 y0 2 3 11 10 1 12 7 5 9 4 13 649 180 8 17 33 19 170 39

7 Η λύση στο πρόβλημα ν 1 4 5 7 xν yν n m Αρ. νομ. 3 2 17 12 8 6 36 99
70 49 35 1225 4 577 408 288 204 41616 5 3363 2378 1681 1189 19601 13860 9800 6930 7 114243 80782 57121 40391

8 Επεκτάσεις ή Προεκτάσεις
Εξάγωνο Οχτάγωνο

9 Οι τύποι Εξάγωνο: Οχτάγωνο:

10 Προβλήματα Πρόβλημα: Ποιος είναι ο αριθμός των νομισμάτων που χωράει ταυτόχρονα σε τετράγωνο και κανονικό εξάγωνο; Πρόβλημα: Ποιος είναι ο αριθμός των νομισμάτων που χωράει ταυτόχρονα σε τετράγωνο και οχτάγωνο;

11 Προβλήματα Πρόβλημα: Ποιος είναι ο αριθμός των νομισμάτων που χωράει ταυτόχρονα σε ισόπλευρο τρίγωνο και κανονικό εξάγωνο

12 Προβλήματα από τη στερεομετρία

13 Νέα προβλήματα Πρόβλημα: Πόσες μπάλες μπιλιάρδου χωράνε ταυτόχρονα σε κανονικό τετράεδρο και κύβο; Σε κανονικό τετράεδρο Σε κύβο

14 Ανοιχτό πρόβλημα Να βρεθούν θετικοί ακέραιοι που επαληθεύουν την εξίσωση Για n = 2, 3, …, 2010 δε βρέθηκε κατάλληλο m !!!!

15 Ευχαριστώ πολύ για την προσοχή σας!