Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

Παρουσίαση με θέμα: "Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος
ΑΝΩΤΑΤΗ ΣΧΟΛΗ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Καθηγητής Σιδερής Ευστάθιος

2 Περιγραφή της Κυκλικής Κίνησης
ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Ομαλή Κυκλική Κίνηση Περιγραφή της Κυκλικής Κίνησης Παράμετροι Κυκλικής κίνησης Ανώμαλη Κυκλική Κίνηση

3 Τι σημαίνει Ομαλή Κυκλική Κίνηση
Είναι κίνηση σε κυκλική τροχιά: 𝝊 𝟏 = 𝝊 𝟐 = 𝝊 𝟑 =𝝊 𝝊 𝟐 𝝊 𝟏 𝝊 𝟑 Το μέτρο της ταχύτητας του υλικού σημείου είναι σταθερό. Το διάνυσμα θέσης έχει σταθερό μέτρο και περιστρέφεται γύρω από σταθερό σημείο. 𝒓 𝟏 𝒓 𝟐 𝒓 𝟑 𝒓 𝟏 = 𝒓 𝟐 = 𝒓 𝟑 =𝒓

4 Πως περιγράφεται η Κυκλική Κίνηση
Απαιτείται ένα Σύστημα Συντεταγμένων 1. Καρτεσιανό Σύστημα Συντεταγμένων x y Προσδιορισμός θέσης: (x, y) x y 𝝊 υy 𝐲−𝚺𝛖𝛎𝛊𝛔𝛕𝛚𝛔𝛂: 𝝊 𝒚 =𝝊 sin 𝝋 υx 𝒙−𝚺𝛖𝛎𝛊𝛔𝛕𝛚𝛔𝛂: 𝝊 𝒙 =𝝊 cos 𝝋 𝒓 𝜽 𝚫𝛊𝛂𝛎𝛖𝛔𝛍𝛂 𝛉𝛆𝛔𝛈𝛓: 𝒓 =𝒙 𝒊 +𝒚 𝒋 Προσδιορισμός ταχύτητας: (υx, υy) 𝝋 𝚳𝛆𝛕𝛒𝛐 𝛕𝛐𝛖 𝒓 : 𝒓= 𝒙 𝟐 + 𝒚 𝟐 𝒙−𝚺𝛖𝛎𝛊𝛔𝛕𝛚𝛔𝛂: 𝒙=𝒓 cos 𝜽 𝐲−𝚺𝛖𝛎𝛊𝛔𝛕𝛚𝛔𝛂: 𝒚=𝒓 sin 𝜽 𝚫𝛊𝛂𝛎𝛖𝛔𝛍𝛂 𝛕𝛂𝛘𝛖𝛕𝛈𝛕𝛂𝛓: 𝝊 = 𝝊 𝒙 𝒊 + 𝝊 𝒚 𝒋 𝚳𝛆𝛕𝛒𝛐 𝛕𝛈𝛓 𝝊 : 𝝊= 𝝊 𝒙 𝟐 + 𝝊 𝒚 𝟐

5 Πως περιγράφεται η Κυκλική Κίνηση
Απαιτείται ένα Σύστημα Συντεταγμένων 2. ….. Ή ένα Σύστημα Συντεταγμένων (r, t, z) – Πολικό Σύστημα Όπου: 1. Η αρχή Ο των αξόνων ταυτίζεται με τη θέση του σώματος που περιστρέφεται. Ο z 4. Ο z-άξονας είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς. 𝒛 t 3. Ο t-άξονας (εφαπτομενικός) είναι εφαπτόμενος στην κυκλική τροχιά και δείχνει στην ccw διεύθυνση. 𝒕 2. Ο r-άξονας (ακτινικός)έχει διεύθυνση και φορά από το σωματίδιο προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς. r 𝒓 𝝊

6 Καρτεσιανό Σύστημα ΕΝΑΝΤΙΟΝ Πολικού Συστήματος
r 𝒓 𝝊 t 𝒕 𝝊 x y 𝒓 𝜽 𝝋 υy υx Το διάνυσμα θέσης 𝒓 μεταβάλλεται με το χρόνο διατηρώντας το μέτρο του σταθερό Το διάνυσμα 𝒓 δεν μεταβάλλεται με το χρόνο. Παραμένει πάντα παράλληλο και ομόρροπο με το 𝒓 Το διάνυσμα 𝝊 της ταχύτητας μεταβάλλεται με το χρόνο Το διάνυσμα 𝝊 της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται με το χρόνο. Παραμένει πάντα παράλληλο με το 𝒕 Οι γωνίες θ και φ μεταβάλλονται με το χρόνο . Το πιο βολικό Σύστημα για τη μελέτη της κυκλικής κίνησης είναι το Πολικό Σύστημα Συντεταγμένων

7 Το Σύστημα Συντεταγμένων (r, t, z) z t
Ο r 𝒌 𝒕 𝒓 Παράμετροι Κυκλικής Κίνησης Περίοδος Κυκλικής Κίνησης: Τ Είναι το χρονικό διάστημα στο οποίο το κινητό διανύει μια πλήρη περιστροφή. Συχνότητα Κυκλικής Κίνησης: 𝒇= 𝟏 𝑻 Είναι ο αριθμός των περιστροφών που διανύει το κινητό σε ένα δευτερόλεπτο (1 s). Γωνία σε ακτίνια: (rad) Γωνιακή Ταχύτητα: ω Κεντρομόλος Επιτάχυνση: αr Γωνιακή Επιτάχυνση: αω Επιτρόχιος Επιτάχυνση: αt

8 Παράμετροι Κυκλικής Κίνησης
Γωνιακή Ταχύτητα στην Κυκλική Κίνηση Γωνία σε Ακτίνια (rad) Γωνιακή Ταχύτητα: 𝝎= 𝒅𝜽 𝒅𝒕 Έχει μέτρο: 𝝎 Είναι διάνυσμα κάθετο στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς με φορά τη φορά του δεξιόστροφου κοχλία t+dt r θ r t Δs ccw cw dθ r r t+dt 𝜽 𝐫𝐚𝐝 = 𝚫𝐬 𝒓 𝟏 𝐫𝐚𝐝 𝐬 Έχει μονάδα το:

9 Επιτρόχια ή Εφαπτομενική Ταχύτητα
Παράμετροι Κυκλικής Κίνησης Επιτρόχια ή Εφαπτομενική Ταχύτητα στην Κυκλική Κίνηση ccw Σημείο Αναφοράς: Το κέντρο της κυκλικής τροχιάς Πάνω στον άξονα της κυκλικής τροχιάς ccw 𝝊 𝝎 𝝎 t+dt ds 𝝊 φ 𝒓 𝒓 𝒐 r t dθ 𝒅𝜽= 𝒅𝒔 𝒓 𝝊= 𝒓 𝟎 𝝎 𝒅𝒔=𝒓 𝒅𝜽 𝜐= 𝑟 sin 𝜑 𝜔 𝒅𝒔 𝒅𝒕 =𝒓 𝒅𝜽 𝒅𝒕 ⇒ 𝝊=𝒓𝝎 𝜐= 𝜔 𝑟 sin 𝜃 𝝊 = 𝝎 × 𝒓

10 Παράμετροι Κυκλικής Κίνησης
Κεντρομόλος Επιτάχυνση στην Κυκλική Κίνηση θ 𝝊 +𝒅 𝝊 𝝊 𝚷𝛂𝛒𝛂𝛌𝛌𝛈𝛌𝛈 𝛍𝛆𝛕𝛂𝛕𝛐𝛑𝛊𝛔𝛈 𝛕𝛚𝛎 𝝊 𝛋𝛂𝛊 𝝊 +𝒅 𝝊 𝝊 +𝒅 𝝊 𝒅 𝝊 𝚪𝛊𝛂 𝛕𝛐𝛎 𝛑𝛒𝛐𝛔𝛅𝛊𝛐𝛒𝛊𝛔𝛍𝛐 𝛕𝛐𝛖 𝒅 𝝊 𝝊 θ 𝒓 +𝒅 𝒓 Τα τρίγωνα ακτίνων και ταχυτήτων είναι όμοια (γιατί;) 𝒅 𝒓 𝒓 𝒅 𝝊 𝒅 𝒓 = 𝝊 𝒓 ⇒ 𝒅𝝊 𝒅𝒓 = 𝝊 𝒓 ⇒ αr υ 𝝊 𝜶 𝒓 𝒅𝝊 𝒅𝒕 = 𝝊 𝒓 𝒅𝒓 𝒅𝒕 𝒅𝝊= 𝝊 𝒓 𝒅𝒓 ⇒ 𝒂 𝒓 = 𝝊 𝟐 𝒓 𝜶 𝒓 = 𝝊 𝒓 𝝊 (ισχύει: υ = ω r) Κεντρομόλος Επιτάχυνση: 𝒂 𝒓 =𝝎𝝊 𝒂 𝒓 = 𝝎 𝟐 𝒓

11 Ανώμαλη Κυκλική Κίνηση
Το μέτρο της ταχύτητας υ δεν είναι σταθερό ccw 𝝊 𝒓 φ 𝝎 𝒂 𝝎 𝒂 𝒕 Πρέπει να υπάρχει επιτρόχια επιτάχυνση: 𝒂 𝒓 Υπάρχει η κεντρομόλος επιτάχυνση: Συνολική επιτάχυνση: 𝒂 = 𝒂 𝒕 + 𝒂 𝒓 𝒂 Αποδείξαμε ότι: 𝝊 = 𝝎 × 𝒓 𝒂 = 𝒅 𝝊 𝒅𝒕 = Γωνιακή επιτάχυνση: 𝜶 𝝎 = 𝒅 𝝎 𝒅𝒕 Μονάδα Γωνιακής επιτάχυνσης: 1rad/s2 𝒅 𝝎 × 𝒓 𝒅𝒕 = 𝒅 𝝎 𝒅𝒕 × 𝒓 + 𝝎 × 𝒅 𝒓 𝒅𝒕 Ταχύτητα: 𝝊 = 𝒅 𝒓 𝒅𝒕 𝒂 = 𝜶 𝝎 × 𝒓 + 𝝎 × 𝝊

12 Κεντρομόλος επιτάχυνση
Ανώμαλη Κυκλική Κίνηση Αποδείξαμε: 𝒂 = 𝜶 𝝎 × 𝒓 + 𝝎 × 𝝊 𝒂 = 𝜶 𝒕 + 𝒂 𝒓 Επιτρόχια επιτάχυνση 𝒂 𝒕 Κεντρομόλος επιτάχυνση 𝒂 𝒓 ccw 𝝎 𝜶 𝝎 𝝊 𝜶 𝒕 𝒓 ccw 𝝎 𝜶 𝝎 𝝊 𝜶 𝒕 𝒓 Eιδική περίπτωση: Σημείο αναφοράς στο κέντρο της κυκλικής τροχιάς 𝜶 𝝎 ⊥ 𝒓 𝝎 ⊥ 𝝊 και Επιτρόχιος Επιτάχυνση: 𝒂 𝒕 = 𝜶 𝝎 × 𝒓 ⇒ cw 𝝎 𝜶 𝝎 𝜶 𝒕 𝝊 𝒓 𝒂 𝒕 = 𝒂 𝝎 𝒓 Κεντρομόλος Επιτάχυνση: 𝒂 𝒓 = 𝝎 × 𝝊 cw 𝝎 𝜶 𝝎 𝝊 𝜶 𝒕 𝒓 𝒂 𝒓 =𝝎𝝊 𝒂 𝒓 = 𝝊 𝟐 𝒓 𝒂 𝒓 = 𝝎 𝟐 𝒓

13 Αντιστοίχιση Φυσικών Μεγεθών & Εξισώσεων
Μεταφορική Κίνηση Κυκλική Κίνηση Διάστημα: x ή y ή z ή s Γωνία: θ Ταχύτητα: υ Γωνιακή Ταχύτητα: ω Επιτάχυνση: α Γωνιακή Επιτάχυνση: αω Μάζα: m Ροπή Αδράνειας: Ι Δύναμη: F = ma Ροπή : τ = Iαω Ορμή: p = mυ Στροφορμή : L = Iω Κινητική Ενέργεια: 𝑲= 𝟏 𝟐 𝒎 𝝊 𝟐 𝑲 𝝎 = 𝟏 𝟐 𝑰 𝝎 𝟐 Εξισώσεις Κίνησης: 𝝊= 𝝊 𝟎 +𝜶𝒕 𝝎= 𝝎 𝟎 + 𝒂 𝝎 𝒕 x= 𝒙 𝟎 + 𝝊 𝟎 𝒕+ 𝟏 𝟐 𝜶 𝒕 𝟐 𝜽= 𝜽 𝟎 + 𝝎 𝟎 𝒕+ 𝟏 𝟐 𝜶 𝝎 𝒕 𝟐 𝝊 𝟐 =𝝊 𝟎 𝟐 +𝟐𝜶(𝚫𝒙) 𝝎 𝟐 = 𝝎 𝟎 𝟐 +𝟐 𝜶 𝝎 (𝜟𝜽)