ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)

Παρουσίαση με θέμα: "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΟΛΟΓΟΥΣ (105)
ΚΛΕΑΝΘΗΣ ΣΥΡΑΚΟΥΛΗΣ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΔΕ

2 ΜΑΘΗΜΑ 7ο - ΑΠ Συνάρτηση και παράγωγος συνάρτησης ΣΤΟΧΟΙ
Στο τέλος του μαθήματος θα πρέπει να μπορείτε να: εφαρμόζετε τους βασικούς κανόνες παραγώγισης, κατανοείτε την έννοια του οριακού εσόδου MR, αντιλαμβάνεστε το θεωρητικό υπόβαθρο της λειτουργίας του μονοπωλίου και του τέλειου ανταγωνισμού στην αγορά ενός αγαθού.

3 Ορισμός (ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ) Έστω δύο σύνολα Χ και Y. Λέμε ότι μια συνάρτηση από το Χ στο Υ, είναι μια απεικόνιση (κανόνας) που αντιστοιχεί σε κάθε σημείο του Χ ένα και μόνο ένα σημείο του Y. Το σύνολο Χ ονομάζεται πεδίο ορισμού και το σύνολο Υ πεδίο τιμών. Η συνάρτηση συμβολίζεται f: X→ Y, y=f(x), x,y Є R

4 Ορισμοί (ΥΠΕΝΘΥΜΙΣΗ) Η κλίση της συνάρτησης f(x) στο σημείο x=α ονομάζεται παράγωγος της f στο α και συμβολίζεται: 𝑓 ′ 𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Η παράγωγος της συνάρτησης σε σημείο είναι αριθμός. Η παράγωγος συνάρτηση είναι συνάρτηση Αν 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑛 τότε 𝑓 ′ 𝑥 =𝑛 𝑥 𝑛−1

5 Κανόνες παραγώγισης Αν ℎ 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 =𝑐 𝑓 ′ 𝑥
Κανόνας 1 Γινόμενο αριθμού και συνάρτησης Αν ℎ 𝑥 =𝑐𝑓 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 =𝑐 𝑓 ′ 𝑥 Κανόνας 2 Πρόσθεση και αφαίρεση συναρτήσεων Αν ℎ 𝑥 =𝑓 𝑥 ±𝑔 𝑥 τότε ℎ ′ 𝑥 = 𝑓 ′ 𝑥 ±𝑔′(𝑥) Κανόνας 3 Σύνθετη συνάρτηση Αν y=f 𝑔 𝑥 θέτουμε u=g(x), οπότε y=f(u) και 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑋 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Κανόνας 4 Γινόμενο συναρτήσεων Αν y=uv τότε 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 +𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 Κανόνας 5 Πηλίκο συναρτήσεων Αν 𝑦= 𝑢 𝑣 τότε 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 −𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣 2

6 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 Να βρεθεί η παράγωγος συνάρτηση των συναρτήσεων:
(α) y= 2x4 (β) y= x3 + 7x2 -2x + 3 (γ) y=(2x + 3)10 (δ)y = x2(2x+1)3 (ε) y=1/(3x+7)

7 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (α) y =2x4 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 2 𝑥 4 =2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 4 =2𝑿4 𝑥 3 =8 𝑥 3
(εφαρμογή κανόνα 1) (β) ) y= x3 + 7x2 -2x + 3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 3 +7 𝑥 2 −2𝑥+3 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 −2 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 3 =3 𝑥 2 +14𝑥−2 (εφαρμογή κανόνων 1 και 2)

8 (εφαρμογή κανόνων 1 και 3)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (γ) y=(2x + 3)10 η συνάρτηση είναι σύνθετη δηλαδή μπορεί να γραφεί ως y=u10 όπου u=2x+3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑿 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑢 𝑢 10 𝑿 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥+3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =10 𝑢 9 𝑿 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =20 2𝑥+3 9 (εφαρμογή κανόνων 1 και 3)

9 (εφαρμογή κανόνων 3 και 4)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (δ) y = x2(2x+1)3 η συνάρτηση είναι το γινόμενο των συναρτήσεων u=x2 και v=(2x+1)3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 𝑥 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 𝑿 3 2𝑥 𝑿 𝑑 𝑑𝑥 2𝑥 𝑥 𝑿 2𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =6 𝑥 2 2𝑥 𝑥 2𝑥+1 3 (εφαρμογή κανόνων 3 και 4)

10 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 1 (ε) y=1/(3x+7)
η συνάρτηση είναι το πηλίκο των συναρτήσεων u=1 και v=3x+7 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 3𝑥+7 𝑑 𝑑𝑥 1 −1 𝑑 𝑑𝑥 3𝑥 𝑥+7 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 0−3 3𝑥+7 2 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = − 3 3𝑥+7 2 (εφαρμογή κανόνα 5)

11 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΟΡΙΑΚΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΕΣ ΣΥΝΡΤΗΣΕΙΣ
Η συνάρτηση των εσόδων TR από την πώληση Q μονάδων ενός αγαθού με τιμή μονάδας P, δίνεται από τη σχέση TR=PQ. Ως οριακό έσοδο MR (marginal revenue) θεωρούμε τη μεταβολή που προκαλείται στα έσοδα όταν μεταβληθεί ελάχιστα η ζητούμενη ποσότητα. Δηλαδή : 𝑀𝑅= 𝑑 𝑇𝑅 𝑑𝑄

12 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Να υπολογιστεί το οριακό έσοδο MR της συνάρτησης TR= 100Q –2Q2, όταν Q=15 Υπολογίζουμε την παράγωγο της συνάρτησης 𝑀𝑅= 𝑑 𝑇𝑅 𝑑𝑄 = 𝑑 𝑑𝑄 100𝑄− 2𝑄 2 =100−4𝑄 Και θέτουμε όπου Q=15 οπότε θα είναι MR(15)=100-4(15)=100-60=40 Για το αν η προσέγγιση του οριακού εσόδου είναι αποδεκτή, μπορούμε να κάνουμε έναν έλεγχο μέσα από τη μοναδιαία μεταβολή του Q. Δηλαδή να υπολογίσουμε το Δ(TR) όταν έχουμε Δ(Q)=1

13 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2 Αυτό σημαίνει ότι:
Δ(TR)= TR(16)-TR(15)= [100(16)-2(16)2]- [100(15)-2(15)2]= 1600 – 512 – = 38 Επομένως 𝛥(𝑇𝑅) 𝛥𝑄 = 38 1 =38 Παρατηρούμε ότι η προσέγγιση του οριακού εσόδου μέσα από την παράγωγο της συνάρτησης εσόδων είναι πολύ κοντά στον αλγεβρικό υπολογισμό. Άρα μπορούμε να θεωρήσουμε έγκυρη την προσέγγισή μας. Γενικά ισχύει: 𝛥 𝑇𝑅 ≈𝑀𝑅 𝑋 𝛥𝑄

14 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3 Για τη συνάρτηση εσόδων από την πώληση ενός αγαθού TR= 100Q –Q2, να υπολογιστεί η μεταβολή των εσόδων TR όταν η ποσότητα είναι Q=60 και επέλθει αύξηση κατά 2 μονάδες στις πωλήσεις. 𝛥 𝑇𝑅 ≈𝑀𝑅 𝑿 𝛥𝑄 𝛥 𝑇𝑅 ≈ 100−2𝑄 𝑿 𝛥𝑄 𝛥 𝑇𝑅 ≈ 100−2𝑋60 𝑿 2 𝛥 𝑇𝑅 ≈ −20 𝑿 2 𝛥 𝑇𝑅 ≈−40

15 ΣΥΖΗΤΗΣΗ Στο απλό υπόδειγμα της ζήτησης ενός αγαθού θεωρήσαμε ότι υπάρχει γραμμική σχέση τιμής (P) και ποσότητας (Q): P=aQ + b Στη σχέση αυτή η κλίση της ευθείας είναι αρνητική (a<0) και ο σταθερός όρος είναι θετικός. Η περιγραφή αυτή της ζήτησης σε οικονομικούς όρους περιγράφει την περίπτωση του μονοπωλίου στην αγορά του αγαθού. Στην περίπτωση αυτή τα συνολικά έσοδα θα έχουν τη μορφή: TR=PQ=aQ2 + bQ Επομένως το οριακό έσοδο θα είναι MR= 2aQ+ b και το μέσο έσοδο θα είναι AR=TR/Q=P Δηλαδή σε συνθήκες μονοπωλίου η ποσότητα δεν επηρεάζει το μέσο έσοδο το οποίο είναι ίσο με την τιμή πώλησης του αγαθού. Το αντίθετο της περίπτωσης του μονοπωλίου είναι ο τέλειος ανταγωνισμός. Θεωρητικά σε μια τέτοια περίπτωση θα πρέπει P=b Επομένως TR=PQ=bQ και MR=b