ΓΥΜΝΑΣΙΟ «ΒΕΡΓΙΝΑ» ΛΑΡΝΑΚΑΣ

Παρουσίαση με θέμα: "ΓΥΜΝΑΣΙΟ «ΒΕΡΓΙΝΑ» ΛΑΡΝΑΚΑΣ"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΓΥΜΝΑΣΙΟ «ΒΕΡΓΙΝΑ» ΛΑΡΝΑΚΑΣ
Κοσμά Αθανασία, Θεμιστοκλέους Παντέλια, Αρτεμίου Βαρνάβας, Παπανικολάου Δημήτρης, Αναστασίου Έλλη, Ευδοκίμου Ραφαέλλα Συντονιστές καθηγητές: Χριστόφορος Κωνσταντινίδης, Τασούλα Γερμανού, Μαρία Μιχαήλ

2 Χρήση Γεωμετρικών Αποδείξεων στην κατανόηση Αλγεβρικών Ταυτοτήτων
Χρήση Γεωμετρικών Αποδείξεων στην κατανόηση Αλγεβρικών Ταυτοτήτων Σκοπός της εργασίας είναι να παρουσιάσει κατά πόσο σημαντική και βοηθητική είναι η γεωμετρική απόδειξη στην κατανόηση αλγεβρικής ταυτότητας και αντίστροφα

3 Ιστορική Αναδρομή «Μια εικόνα ισοδυναμεί με χίλιες λέξεις» λέει μια κινέζικη παροιμία και δεν έχει καθόλου άδικο καθώς μια οπτική εικόνα μπορεί να μας δώσει τη δυνατότητα να καταλάβουμε ακόμα περισσότερα πράγματα παρά μόνο από τη θεωρία. Η γεωμετρική ερμηνεία έλκει την καταγωγή της από τους αρχαίους Έλληνες μαθηματικούς και κυρίως Πυθαγόρειους. Οι μαθηματικοί αυτοί άρχισαν να εργάζονται πάνω σε μια ομάδα προβλημάτων, που είχαν σχέση με εφαρμογές των εμβαδών. Η άλγεβρα, με τη σύγχρονή της μορφή, δεν υπήρχε τη χρυσή περίοδο των Ελληνικών μαθηματικών, από 500 π.Χ.-300 μ.Χ. Οι αρχαίοι Έλληνες θεωρούσαν ότι οι αριθμοί έκφραζαν μήκη ευθυγράμμων τμημάτων, επομένως, όταν πολλαπλασίαζαν δύο αριθμούς, ουσιαστικά πολλαπλασίαζαν δύο ευθύγραμμα τμήματα. Αυτή η προσέγγιση τους επέτρεπε να χειρίζονται τα εμβαδά των επιπέδων σχημάτων και μέσω αυτών να χειρίζονται τις διάφορες αλγεβρικές εκφράσεις, τις οποίες εμείς σήμερα γνωρίζουμε και εκφράζουμε με συμβολισμό (Kline, 1972)

4 Η χρήση διαγραμμάτων για τη σχηματοποίηση των διαφόρων εννοιών, είναι ένα πολύ ισχυρό διδακτικό μέσο για την καλύτερη κατανόηση των εννοιών αυτών, γιατί η δύναμη του σχήματος κάνει τις έννοιες πιο συγκεκριμένες, πιο απτές και επομένως πιο πρόσφορες για το μαθητή. Η εικόνα αποτελεί για ένα παιδί ένα ασφαλές υποστήριγμα της σκέψης του και τον ενδιάμεσο κρίκο ανάμεσα στο συγκεκριμένο και το αφηρημένο.(Arends, 1989,340) Η χρήση εποπτικών βοηθημάτων, δίνουν τη δυνατότητα στο μαθητή να συμμετέχει στη διαδικασία μάθησης με περισσότερες από μια αισθήσεις. Συνήθως, επιτυγχάνεται σύμμετρη λειτουργία οπτικών και ακουστικών αισθημάτων με τη βοήθεια εικόνων και λόγου, με την ταυτόχρονη συμμετοχή και της αφής μέσω των χειρισμών συγκεκριμένων αντικειμένων. (Τουμάσης, 1994α, 135)

5 Τα ερευνητικά μας ερωτήματα
Πόσο σημαντική είναι η χρήση εποπτικών βοηθημάτων και η σχηματοποίηση των διαφόρων εννοιών ως διδακτικό μέσο. Πόσο σημαντική είναι η γεωμετρική απόδειξη στην κατανόηση των αλγεβρικών ταυτοτήτων.

6 Συχνότητες ασκήσεων - προβλημάτων ανά γνωστική κατηγορία βιβλίου Μαθηματικών Γ΄ Γυμνάσιου
ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ ΠΛΗΘΟΣ ΠΟΣΟΣΤΟ ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΦΑΡΜΟΓΗ 28 58.3% ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 8 16.7% ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ 4 8.3% ΛΕΚΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ 2 4.2% ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑ 6 12.5%

7 Γεωμετρική Ερμηνεία Αλγεβρικών Ταυτοτήτων
𝜶+𝜷 𝟐 = 𝜶 𝟐 +𝟐𝜶𝜷+ 𝜷 𝟐 Γεωμετρική Ερμηνεία της ταυτότητας: β α α αβ αβ β

8 Γεωμετρική Ερμηνεία της ταυτότητας:
𝜶+𝜷 𝟐 − 𝜶−𝜷 𝟐 =𝟒𝜶𝜷 α β β α (α-β)2 α β β α

9 Γεωμετρική Ερμηνεία της ταυτότητας:
𝜶+𝜷+𝜸 𝟐 = 𝜶 𝟐 + 𝜷 𝟐 + 𝜸 𝟐 +𝟐𝜶𝜷+𝟐𝜶𝜸+𝟐𝜷𝜸 γ αγ βγ γ² β αβ β2 βγ α2 αβ αγ α α β γ

10 α α β α β α β β β α β α α Γεωμετρική Ερμηνεία της ταυτότητας β 𝜶+𝜷 𝟑 = 𝜶 𝟑 +𝟑 𝜶 𝟐 𝜷+𝟑 𝜶𝜷 𝟐 + 𝜷 𝟑 β α α β

11 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ Α
ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟ Α Να βρείτε τα αναπτύγματα:  𝟏. 𝜶+𝜷 𝟐 =  𝟐 𝜶−𝜷 𝟐 =   𝟑 𝜶+𝜷+𝜸 𝟐 = 𝜶+𝜷 𝟐 − 𝜶−𝜷 𝟐 = ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ Α

12

13 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ Β

14 ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΕΡΩΤΗΜΑΤΟΛΟΓΙΟΥ Γ

15 ΣΥΓΚΡΙΣΗ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

16 Συμπεράσματα Απάντηση στο ερώτημα των μαθητών : « Τι σημαίνει αύτη η αλγεβρική σχέση;» Ο μαθητής ανακαλύπτει πως οι αλγεβρικές σχέσεις έχουν μια ρεαλιστική και συγκεκριμένη γεωμετρική ερμηνεία. Η γεωμετρική ερμηνεία είναι πολύ σημαντική γιατί κάνει τις έννοιες πιο συγκεκριμένες και πιο κατανοητές.