Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)

Παρουσίαση με θέμα: "Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Προβλήματα Μεταφορών (Transportation)
Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς

2 Κόστος Μεταφοράς ($) για κάθε φορτίο
Παράδειγμα: P&T Co Η εταιρεία P&T Co. παράγει Υπολογιστές σε 3 εργοστάσια. Στη συνέχεια οι υπολογιστές αποστέλλονται σε 4 αποθήκες απ’ όπου διοχετεύονται για κατανάλωση. Τα έξοδα μεταφοράς φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ζητείτε: Πρόγραμμα μεταφοράς έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το ολικό κόστος μεταφοράς. Εργοστάσιο Κόστος Μεταφοράς ($) για κάθε φορτίο Παραγωγή Αποθήκη 1 2 3 4 464 352 995 513 416 682 654 690 388 867 791 685 75 125 100 Κατανομή 80 65 70 85

3 Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού
xij ο αριθμός φορτίων από το εργοστάσιο i στην αποθήκη j cij το κόστος μεταφοράς ενός φορτίου από το εργοστάσιο i στην αποθήκη j (δίνεται από τον πίνακα) αντικειμενική συνάρτηση: περιορισμοί:

4 P&T Co: Δικτυακή Παρουσίαση
W1 W2 W3 W4 464 C1 C3 C2 791 690 416 352 685 995 682 388 513 654 867 Κόμβοι παραγωγής Κόμβοι ζήτησης

5 P & T Co - Μεταβλητές. W1 W2 W3 W4 [75] [100] [125] [-80] [-65] [-70]
[-85] 464 685 995 682 388 791 690 416 352 513 654 867 C1 C3 C2

6 [75] [100] [125] [-80] [-65] [-70] [-85] W1 W2 W3 W4 C1 C3 C2 464 685
995 682 388 791 690 416 352 513 654 867 C1 C3 C2

7 Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς
[75] [100] [125] [-80] [-65] [-70] [-85] W1 W2 W3 W4 464 685 995 682 388 791 690 416 352 513 654 867 C1 C3 C2

8 Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς
[75] [100] [125] [-80] [-65] [-70] [-85] W1 W2 W3 W4 464 685 995 682 388 791 690 416 352 513 654 867 C1 C3 C2

9 Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς (Πίνακας Παραμέτρων)
Εργοστάσιο Κόστος Μεταφοράς ($) ανά φορτίο Παραγωγή Αποθήκη 1 2 3 4 464 352 995 513 416 682 654 690 388 867 791 685 75 125 100 Κατανομή 80 65 70 85 P&T Co. Ο πίνακας παραμέτρων είναι αρκετός για να ορίσει το πρόβλημα ελαχιστοποίησης του κόστους μεταφοράς

10 Γενική Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς – Δικτυακή Διατύπωση
n Προορισμοί (Destinations) m Πηγές (Sources) [si] S1 Sm Si … [-dj] D1 Dj Dn …

11 Διατύπωση με Πίνακα Παραμέτρων (Parameter Table)
Πηγή (Source) Μεταφορικό Κόστος Παραγωγή (Supply) Προορισμός (Destination) 1 2 … n m c11 c21 cm1 c12 c22 cm2 c1n c2n cmn s1 s2 sm Demand Ζήτηση d1 d2 dn

12 Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού– Linear Programming (LP) Formulation
Subject to: Περιορισμοί παραγωγής Περιορισμοί ζήτησης Μη αρνητικοί περιορισμοί

13 Προβλήματα Μεταφοράς: Υποθέσεις (assumptions) & Ιδιότητες
Υπόθεση Απαιτήσεων (Requirements Assumption) Κάθε πηγή (source) μπορεί να παράξει ένα προκαθορισμένο αριθμό προϊόντων si, i=1,…,m. Ολόκληρη η παραγωγή πρέπει να διατεθεί στα κέντρα κατανάλωσης (προορισμούς). Κάθε προορισμός (destination) έχει μια προκαθορισμένη ζήτηση για dj, j=1,…,n μονέδες. Ολόκληρη η ζήτηση πρέπει να ικανοποιηθεί από τις πηγές.

14 Προβλήματα Μεταφοράς: Υποθέσεις (assumptions) & Ιδιότητες
Ιδιότητα Εφικτής Λύσης (Feasible Solution Property) Ένα πρόβλημα μεταφοράς έχει εφικτή λύση εάν και μόνο αν ισχύει: Υπόθεση Αναλογικού Κόστους (Cost assumption): Το κόστος μεταφοράς προϊόντων από οποιαδήποτε πηγή σε οποιοδήποτε προορισμό είναι ανάλογο προς τον αριθμό των μονάδων που θα διατεθούν. Το συνολικό κόστος μεταφοράς x μονάδων από την πηγή i στον προορισμό j είναι ίσο με cijx όπου cij είναι το κόστος μεταφοράς μίας μονάδας από την πηγή i στον προορισμό j.

15 Προβλήματα Μεταφοράς: Υποθέσεις (assumptions) & Ιδιότητες
Μοντέλο Μεταφορών: Κάθε πρόβλημα (μεταφοράς ή μη) εμπίπτει στο πρότυπο προβλημάτων μεταφοράς εάν μπορεί να περιγραφεί πλήρως είτε με τον πίνακα παραμέτρων ή με δικτυακή διατύπωση και ικανοποιεί τις υποθέσεις απαιτήσεων και αναλογικού κόστους. Ο στόχος είναι η ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς. Ιδιότητα Ακέραιας Λύσης: Για προβλήματα μεταφοράς όπου κάθε si και dj έχουν ακέραια τιμή, όλες οι βασικές μεταβλητές σε κάθε βασική εφικτή λύση παίρνουν ακέραιες τιμές. Μέθοδος Simplex για προβλήματα μεταφοράς. Υπολογιστικά αποδοτικός αλγόριθμος για τη λύση προβλημάτων μεταφοράς.

16 Northern Airplane (NA) Co.
Μήνας Μηνιαία ζήτηση Μέγιστη παραγωγική δυνατότητα Μοναδιαίο κόστος παραγωγής x$1,000,000 Μοναδιαίο κόστος αποθήκευσης 1 2 3 4 10 15 25 20 35 30 1.08 1.11 1.10 1.13 0.015 Μεταβλητές: xi: Αριθμός μηχανών που θα παραχθούν κατά τον μήνα i

17 Northern Airplane Co. – Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς
Μήνας Μηνιαία ζήτηση Μέγιστη παραγωγική δυνατότητα Μοναδιαίο κόστος παραγωγής x$1,000,000 Μοναδιαίο κόστος αποθήκευσης 1 2 3 4 10 15 25 20 35 30 1.08 1.11 1.10 1.13 0.015 Μεταβλητές: xij: Αριθμός παραχθέντων μηχανών κατά τον μήνα i για εγκατάσταση κατά τον μήνα j.

18 Northern Airplane Co. – Δικτυακή Διατύπωση Προβλήματος Μεταφοράς

19 Northern Airplane Co. – Πίνακας Παραμέτρων
Μήνας Ζήτηση Μέγ. Παραγ. Κόστος Παραγ. Κόστος Αποθ. 1 2 3 4 10 15 25 20 35 30 1.08 1.11 1.10 1.13 0.015 Παραγωγή (Πηγή) Ζήτηση (Προορισμός) Ολική Παραγωγή M 1 M 2 M 3 M 4 Dummy Μήνας 1 Μήνας 2 Μήνας 3 Μήνας 4 1.08 M 1.095 1.11 1.125 1.10 1.14 1.115 1.13 25 35 30 10 Ζήτηση 15 20 Παραγωγή (Πηγή) Ζήτηση (Προορισμός) Ολική Παραγωγή M 1 M 2 M 3 M 4 Dummy Μήνας 1 Μήνας 2 Μήνας 3 Μήνας 4 Ζήτηση Παραγωγή (Πηγή) Ζήτηση (Προορισμός) Ολική Παραγωγή M 1 M 2 M 3 M 4 Dummy Μήνας 1 Μήνας 2 Μήνας 3 Μήνας 4 1.08 1.095 1.11 1.125 1.10 1.14 1.115 1.13 25 35 30 10 Ζήτηση 15 20

20 Παράδειγμα: Κατανομή Νερού
Παράδειγμα: Κατανομή Νερού Η υδατοπρομήθεια μιας περιφέρεια παίρνει νερό από 3 ποταμούς και το διοχετεύει σε 4 πόλεις. Η μέγιστη παροχή από τον κάθε ποταμό, οι ανάγκες κάθε πόλης καθώς και το κόστος μεταφοράς του νερού από τον κάθε ποταμό στη κάθε πόλη φαίνονται στον πιο κάτω πίνακα. Ζητείτε: Πρόγραμμα παροχής νερού έτσι ώστε να ελαχιστοποιηθεί το ολικό κόστος μεταφοράς. Ποταμός Κόστος Μεταφοράς ($) Μέγιστη Παροχή Πόλη 1 2 3 4 16 14 19 13 20 22 23 17 15 - 50 60 Ελάχιστη Παροχή Ζήτηση 30 70 10 

21 Κατανομή Νερού – Δικτυωτό Μοντέλο
Πηγή (Ποταμός) Προορισμός (Πόλη)

22 Κατανομή Νερού Ποταμός Κόστος Μεταφοράς ($) Συνολική Παροχή Πόλη 1 2 3
4 Ελάχιστη Παροχή Ζήτηση 30 50 70 10  160 Μέγιστη Ζήτηση Πόλης 4= Μέγιστη Συνολική Ζήτηση= Εικονική Πηγή: Ελάχιστη παροχή Πόλης 4= Η Πόλη 3 δεν έχει ελάχιστη ζήτηση, έτσι η ζήτηση της μπορεί να ικανοποιηθεί από οποιαδήποτε πηγή (εικονική ή μη).

23 Κατανομή Νερού Ποταμός Κόστος Μεταφοράς ($) Συνολική Παροχή Πόλη 1 2 3
4 Ελάχιστη Παροχή Ζήτηση 30 50 70 10  160

24 Κατανομή Νερού – Δικτυωτό Μοντέλο

25 Κατανομή Νερού – Πίνακας Παραμέτρων
Ποταμός Κόστος ανά μονάδα νερού Μέγιστη Παροχή Προορισμός (Πόλη) 1a 1b 2 3 4 1 4(Ε) 16 14 19 Μ 13 20 22 23 17 15 50 60 Ζήτηση 30 70 Τρόποι επίλυσης προβλήματος? SIMPLEX

26 Αρχές της μεθόδου Simplex
Η μέθοδος επικεντρώνεται μόνο σε Γωνιακές Επιτρεπτές Λύσεις (ΓΕΛ). Για κάθε πρόβλημα με τουλάχιστον μία άριστη λύση, ανεύρεση μιας τέτοιας λύσης ισοδυναμεί με την ανεύρεση της καλύτερης ΓΕΛ. Η μέθοδος ξεκινά από το σημείο (0,...,0) (origin) Βολική λύση διότι ικανοποιεί τους μη αρνητικούς περιορισμούς (non-negativity constraints) και δεν χρειάζεται καμία διαδικασία για την ανεύρεση της.

27 Ιδιότητες της μεθόδου Simplex
Η μέθοδος πάει από μία ΓΕΛ σε μία γειτονική (adjacent) που βελτιώνει την αντικειμενική συνάρτηση. Σε κάθε βήμα ελέγχει μόνο γειτονικές ΓΕΛ. Η πορεία της μεθόδου είναι κατά μήκος των συνόρων της επιτρεπτής περιοχής (along the edges of the feasible region). Για όλες τις ακμές (edges) που περνούν από την τρέχων ΓΕΛ, ελέγχει το ρυθμό καλυτέρευσης της αντικειμενικής συνάρτησης (Ζ). Κινείται κατά μήκος της ακμής με το μεγαλύτερο ρυθμό καλυτέρευση. Εάν δεν υπάρχει ακμή με θετικό ρυθμό καλυτέρευσης, τότε ο αλγόριθμος σταματά.

28 Αρχική Μορφή της Μεθόδου Simplex

29 Βασικές Λύσεις (Basic Solutions)
Βασική Λύση: Λύση με όλες τις επιπρόσθετες μετ. Βασική Επιτρεπτή Λύση (ΒΕΛ): Γωνιακή επιτρεπτή λύση Ιδιότητες Βασικής Λύσης Κάθε μεταβλητή μπορεί να είναι είτε βασική είτε μη βασική Ο αριθμός των βασικών μεταβλητών ισούται με τον αριθμό των περιορισμών Μη βασικές μεταβλητές παίρνουν την τιμή 0 Οι τιμές των βασικών μεταβλητών είναι η λύση του συστήματος εξισώσεων με όλους τους περιορισμούς (functional constraints) Εάν οι βασικές μεταβλητές ικανοποιούν τους μη αρνητικούς περιορισμούς τότε η βασική λύση είναι επιτρεπτή βασική λύση.

30 Βολική Διατύπωση και Αρχική Μορφή της μεθόδου Simplex
Μη βασικές μεταβλητές Τιμή αντικειμ. Αρνητικός ρυθμός αύξησης του Z Objective Αρχικά οι μεταβλητές x1 και x2 είναι μη βασικές, δηλαδή: x1=0, x2=0  x3=4, x4=12, x4=18

31 Ο Αλγόριθμος της μεθόδου Simplex
Αρχική Μορφή [0,...,0] Ναι Τέλος Υπάρχουν αρνητικοί συντελεστές στην αντικειμενική? Βέλτιστη Λύση? Όχι Μη βασική μεταβλητή με τον πιο αρνητικό Βρείτε εισερχόμενη μη-βασική μετ. Βασική μεταβλητή με τη μικρότερη αναλογία Βρείτε εξερχόμενη βασική μεταβ. Βρείτε νέα λύση Μέθοδος Gauss elimination

32 Λύση Προβλήματος Κατανομής Νερού με τη Μέθοδο Simplex
Βασική μεταβ. Εξ. Συντελεστές Δεξιά μεριά Ζ ... xij … zi zm+j Z (0) (1) (i) (m+j) (m+n) -1 cij 1 M si dj

33 Λύση Προβλήματος Κατανομής Νερού με τη Μέθοδο Simplex
Βασ. μετ. Εξ. Συντελεστές Δεξιά μεριά Ζ ... xij … zi zm+j Z (0) -1 M-ui M -vj -å siui - å djvj

34 Πίνακας Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς-Γενική Μορφή
Πηγή Προορισμός Παραγ ui 1 2 ... n c11 c12 c1n s1 c21 c22 c2n s2 … m cm1 cm2 cmn sm Ζήτηση d1 d2 dn vj

35 Πίνακας Simplex για το Πρόβλημα της Κατανομής Νερού
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

36 Βήμα 1 Τρόποι ανεύρεσης αρχικής εφικτής λύσης:
Northwest corner rule Vogel’s approximation method Russell’s approximation method Αριθμός Βασικών Μεταβλητών Για όλες τις βασικές μεταβλητές ισχύει:

37 Γράφημα Βασικής Λύσης Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε)
Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 Γράφημα G=(V,E), όπου V το σύνολο κορυφών (vertices) και E το σύνολο ακμών (edges)

38 Παράδειγμα Γραφήματος
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

39 Κυκλικό Γραφήματος Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε)
Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

40 Γραφήματα και Βασικές Λύσης
Ένα γράφημα G αποτελεί βασική λύση εάν Περιέχει m+n-1 μεταβλητές (κορυφές) Περιέχει τουλάχιστον μία κορυφή σε κάθε σειρά και κάθε στήλη του πίνακα μεταφοράς Το γράφημα είναι συνεκτικό και δεν περιέχει κύκλους (είναι δηλαδή ένα δέντρο γεφύρωσης ή ζευγνύον δέντρο – spanning tree) Λύση με λιγότερες από m+n-1 μεταβλητές αποτελεί εκφυλισμένη λύση (degenerate solution) και το γράφημα της είναι μη συνεκτικό

41 Γράφημα Βασικής Λύσης Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε)
Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

42 Πίνακας Simplex για το Πρόβλημα της Κατανομής Νερού
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 Ζ=2, Μ vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

43 Κριτήριο για Εύρεση Βέλτιστης Λύσης
Μία βασική εφικτή λύση είναι βέλτιστη εάν και μόνο αν cij – ui – vj  0 για όλες τις μεταβλητές xij οι οποίες είναι μη βασικές

44 Πίνακας Simplex για το Πρόβλημα της Κατανομής Νερού
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 Ζ=2, Μ vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 Για όλες τις μη-βασικές μεταβλητές υπολογίζουμε: cij – ui – vj

45 Εισερχόμενη Βασική Μεταβλητή
Η ποσότητα cij – ui – vj υποδεικνύει το ρυθμό αύξησης της αντικειμενικής συνάρτησης όταν αυξάνεται η σχετική μη βασική μεταβλητή Επομένως, εφόσον θέλουμε να ελαχιστοποιήσουμε την αντικειμενική συνάρτηση, εισερχόμενη είναι αυτή της οποίας cij – ui – vj έχει την πιο αρνητική τιμή

46 Εξερχόμενη Βασική Μεταβλητή
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 Ζ=2, Μ vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 20 23 M -M -7 21 -5 -2 4 -Μ+22 3 2Μ-21 Μ-21 2Μ-20 Μ-23 Εξερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή που θα μειωθεί πρώτη στο μηδέν εξαιτίας της αύξησης εισερχόμενης μη βασικής μεταβλητής

47 Εξερχόμενη Βασική Μεταβλητή
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 Ζ=2, Μ vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 20 23 M -M -7 21 -5 -2 4 -Μ+22 3 2Μ-21 Μ-21 2Μ-20 Μ-23 Εξερχόμενη μεταβλητή είναι αυτή που θα μειωθεί πρώτη στο μηδέν εξαιτίας της αύξησης εισερχόμενης μη βασικής μεταβλητής

48 Νέα Βασική Λύση Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ.
30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 20 23 M -M -7 21 -5 30 20 50

49 Βέλτιστη Βασική Λύση; Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε)
Ζήτ. 30 20 70 Ζ=2,690 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 20 23 21 -5 Για όλες τις βασικές μεταβλητές: cij – ui – vj = 0

50 Βέλτιστη Βασική Λύση; Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε)
Ζήτ. 30 20 70 Ζ=2,690 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 20 23 22 -22 -7 21 -5 30 20 50 10 -2 4 3 Ο αλγόριθμος επαναλαμβάνεται ξανά!

51 Vogel’s Approximation Method
Για κάθε σειρά και στήλη του πίνακα που παραμένει ανικανοποίητη προσφορά ή ζήτηση, βρίσκουμε τους δύο μικρότερους συντελεστές κόστους και παίρνουμε την διαφορά του. Διαλέγουμε τη σειρά ή στήλη με τη μεγαλύτερη διαφορά και διαλέγουμε την μεταβλητή με τον μικρότερο συντελεστή κόστους.

52 Vogel’s Approximation Method
Πηγή Προορισμός Παρ. Δ 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

53 Vogel’s Approximation Method
Πηγή Προορισμός Παρ. Δ 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

54 Vogel’s Approximation Method
Πηγή Προορισμός Παρ. Δ 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

55 Vogel’s Approximation Method
Πηγή Προορισμός Παρ. Δ 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

56 Γράφημα Αρχικής Λύσης με τη Μέθοδο Προσέγγισης Vogel
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 Μη συνεκτικό  Εκφυλισμένη λύση

57 Russell’s Approximation Method
Για κάθε σειρά i θέτουμε ui ίσο με τον μεγαλύτερο συντελεστή cij της σειράς i Για κάθε στήλη j θέτουμε vj ίσο με τον μεγαλύτερο συντελεστή cij της στήλης j Για κάθε μεταβλητή xij που δεν υπολογίστηκε προηγουμένως υπολογίζουμε Δij =cij -ui- vj Διαλέγουμε τη μεταβλητή με το μικρότερο Δij (το πιο αρνητικό Δij).

58 Russell’s Approximation Method
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

59 Russell’s Approximation Method
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14

60 Russell’s Approximation Method
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 19 20 23 22

61 Russell’s Approximation Method
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 19 20 23 -23 -24 -26

62 Russell’s Approximation Method
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 19 23

63 Γράφημα Αρχικής Λύσης με τη Μέθοδο Προσέγγισης Russell’s
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 13 22 17 20 23 19 M 15 14 Βασική εφικτή λύση

64 Σύγκριση των 3 Μεθόδων Η μέθοδος Northwest corner είναι η πιο απλή, αλλά δεν βρίσκει καλή αρχική λύση, με αποτέλεσμα να χρειάζονται περισσότερες επαναλήψεις για να φτάσουμε στη βέλτιστη λύση Η μέθοδοι Vogel’s approximation και Russell’s approximation χρησιμοποιούν τους συντελεστές κόστους με αποτέλεσμα να βρίσκουν αρχικές λύσεις σημαντικά πιο κοντά στη βέλτιστη λύση απ’ ότι η μέθοδος Northwest corner Η μέθοδος Russell’s approximation συχνά βρίσκει τις καλύτερες λύσεις.

65 Εναλλακτικές Βέλτιστες Λύσεις
Πηγή Προορισμός Παρ. ui 1a 1b 2 3 4 1 50 60 4(Ε) Ζήτ. 30 20 70 vj 16 16 13 22 17 19 23 20 -5 18 -20 2 Μ+1 1 4 Μ-3 Μ+2 Μ-2 14 14 13 19 15 19 19 20 23 M M M Μ