Merenje ugla, Trigonometrijska kružnica

Παρουσίαση με θέμα: "Merenje ugla, Trigonometrijska kružnica"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Merenje ugla, Trigonometrijska kružnica

2 Meni Lekcija Istorija Trigonometrije Slike Kviz
Zdravo ja sam virtuelni profesor. Pomoći ću vam da Savladate gradivo iz trigonometrije. Paratite moja uputstva. Lekcija Istorija Trigonometrije Slike Kviz Zadaci za samostalan rad Linkovi

3 Lekcija 3.1 Ugao 3.2 Trigonometrijske funkcije proizvoljnog ugla
Trigonometrijski indetiteti

4 3.1.1.Merenje ugla, radijan Do sada smo kao mernu jedinicu za merenje ugla koristili isključivo stepen(1° = 1/360 pun ugao). Stepenom se mogu meriti ne samo uglovi, veći kružni lukovi. Uoči se centralni ugao koji odgovaradatom kružnom luku i njegova mera izržena u stepenima proistovećuje se s merom kružnog luka, susrećemo se sa teškoćama. Jednom istom centralnom uglu odgovara neograničeno mnogo kružnih lukova koji su različite dužine, a svi imaju istu meru u stepenima(slika 1). Tada smo u dilemi dućinu kojeg kružnog luka da uzmemo za meru zajednićkog centralnog ugla α. Zbog toga se opreeljujemo za luk A0 B0 čiji je poluprečnik jednak 1.

5 Jedinica mere u ovom slučaju je luk čija je dužina jednaka 1, tj
Jedinica mere u ovom slučaju je luk čija je dužina jednaka 1, tj.jednakapoluprečniku.Taj kružni luk zove se radijan Ugao koji odgovara luku od jednog radijana ima isti naziv – radijan. Radijan koristimo i kao jedinicu za merenje uglova. Ugao ima onoliko radijana koliko ih ima odgovarajući kružni luk poluprečnika 1 radijana. Utvrdimo sada vezu između jedinica za merenje uglova, stepena i radijana. Luk polurečnika 1 koji odgovara ravnom uglu (uglu od 180°) ima dužinu π·1=π. Prema tome njegova radijanska era je π. Znači, 180°=π radijana, odakle sledi 1 radijan = 180°/ π ≈ ° ≈ 57° 17´ 44.8˝ 1° = π/180 radijana ≈ radijana. Na slici 2 je predstavljen ugao od 57°, tj. približno 1 radijan.

6 Ukoliko je mera ugla data u radijanima, uobičajno je da se pored mernog broja ne stavlja nikakva oznaka za jedinicu, na primer : 180° = π, 90° = π/2 itd. 30° ; b) 50° ; c) 72° 35´ ; d) 100° 11´ 15˝ Rešenja 30° = 30 · π/180 = π/6 ≈0.52 b)50° = 50 · π/180 = 5π/18 ≈ 0.9 v) Uzimajući u obzir da je 1´ = 1/60 · 1°, dobijamo 72° 35´ = 72 · π/ · 1/60 · π/180 ≈ 1.2 d) Kako je 1˝ = 1/3600 · 1°,to je 100° 11´ 15˝ = 100 · π/ · 1/60 · π / · 1/3600 · π/180 ≈ 1.7

7 Istorija Trigonometrije
Trigonometrija Iz Vikipedije, slobodna enciklopedije Trigonometrija(лат. trigonon - троугао, metron - мера) je deo matematike Koji izučava zavisnost između strana i uglova trougla (trigonometrija u užem smislu), A takođe i osobine trigonometrijskih funkcija i vezu među njima ( goniometrija ). Podela : -Ravinska trigonometrija, trigonometrija u užem smislu; proučava -Trigonometrijske funkcije posebno : sinus, kosinus, tangens, kotanges, sakens i kosekans; -Inverzne trigonometrijske funkcije, tzv. Ciklometrijske, ili arkus-funkcije: -Sferna trigonometrija, na površini sfere; -Hiperbolična trigonometrija, trigonometrija Lobačevskog; -Hiperbolične funkcije : sinus hiperbolički, kosinus hiperbolički, tangens hiperbolički, kotanges hiperbolički, sekans hiperbolički i kosakens hiperbolički. -Inverzne hiperboličke funkcije, tzv. area-funkcije.

8 Poreklo Prvi koreni trigonometrije su nađeni u zapisima iz Egipta i Mesopotamije. Tamo je nađena vavilonska kamena ploča ( oko p.n.e.) koja sadrži Problema se relacijam koje odgovaraju savremenim. Egipatski papirus Rind (oko p.n.e.) sadrži probleme sa odnosima stranica trougla primenjenim na Piramide. Niti Egipćani, niti Vavilonci nisu imali naše shvatanje mere ugla, a relacijatog tipa su imali osobinama trouglova, pre nego samih uglova. Važan napredak napravljen je u Grčkoj u vreme Hipokrata iz Knososa (Elementi, oko430. p.n.e.), koji je proučavao odnose između centralnih uglova kružnice i tetiva. Hiparhje 140. p.n.e. napravio tablicu tetiva (prvu preteču savremenih sinusnih tablica). Manelaj iz Aleksaendrij (Sferna geometrija. 100 nove ere)je prvi koristio sferne trouglove i sfernu Trigonometriju. Ptolemej (Almagest, oko 100. n.e.) je napravio tablicu tetiva uglova između 0.5° i 180° sa intervalom od pola stepena. On je takođe istraživao trigonometrijske indetitete.

9 Grčku trigonometriju su dalje razvijali Hindu matematičari koji su
Ostvarili napredak razmeštanjem tetiva pruzetih od Grka na polu teive kruga sa datim radijusom, tj. ekvivalentnom našoj sinusnoj funkciji. Prvie takve tablice bile su Sidhantacu (sistem za astronomiju) u IV i V veku ove ere. Poput brojeva, moderna trigonometrija nam dolazi od Hindu matematičarapreko Araskih matematičara. Prevodi sa arapskog na latinski jezik tokom XII veka uvel su trigonometriju u Evropi, Osoba odgovrna za „modernu“ trigonometrijubio jerenesansni matematičar Regiomontanus. Od doba Hiparha, trigonometrija je bilajednostavno alat za astronomska izračunavanja. Regionontanus (De triangulis omni modis, 1464; publikovano 1533.)bio je prvi koji trigonometriju tretirao kao subjekt po sebi.Dalji napredak su napravili Nikola Kopernik u De revolutionibus orbium coelestium (1543.)I njegov učenik Retikus. U Opus palatinum de trianulis (комплетирао његов ученик 1596.), Retikus je ustanovio upotrbu šest osnovnih trigonometrijskih funkcija, Praveći tablice njihovih vrednosti i dežeći se idejeda te funkcije predstavljaju Odnose stranica u pravouglom trouglu (rađe nego tradicionalne polutetive krugova).

10 Slike

11

12

13

14

15 Kviz 1)Koliko iznosi ugao od 1 radijana? a) 54° 35´ b) 57° 17´ 44.8˝
c) 60° 28´ 36.8˝ Odgovor na ovo pitanje se nalazi u delu prezentacijei ” Merenje ugla, radijan”

16 Nažalost odgovor je netačan.
Idi nazad.

17 Svaka čast, savladali ste lekciju “Merenje ugla, radijan”
Odgovor je tačan ! Odgovor je TAČAN ! Svaka čast, savladali ste lekciju “Merenje ugla, radijan” Nastavi dalje.

18 2)Koje dve antičke civilizacije su prve koristile trigonometriju?
a)Egipat i Mesopotamci b)Kinezi i Indijci c)Rimljani i Gali Odgovor na ovo pitanje se nalazi u delu prezentacije ”Istorija trigonometrije”

19 Svaka čast savladali ste lekciju “Istorija trigonometrije”
Odgovor je tačan ! odgovor je TAČAN ! Svaka čast savladali ste lekciju “Istorija trigonometrije” Nastavi dalje.

20 Nažalost odgovor je netačan.
Idi nazad.

21 Zadaci za samostalan rad
1.Izrazi u radijanima uglove : 15° ; b) 45° ; c) 60° ; d) 90° ; e)120° ; f) 135° , g) 150° ; h) 20° 25´ : i) 52°13´27˝ 2. Izrazi u stepenima uglove : π/18 ; b) π/12 ; c) π/4 ; d) 7π/12 ; e)3 ; f) 2.31 3.Izrazi u stepenima ugao koji je naporedan uglu α ako je : a)α = 5π/6 ; b) α = 11 π/12 ; c) 5 π/18 ; d) 0.3 π 4.Izrazi u radijanima : a)uglovi jednakokrako-pravouglog trougla ; b)ugao pravilnog prtougla ; c)ugao pravilnog destougla. Da biste bolje naučili trigonometriju, uradite ove zadatke za samostalan rad.

22 Trigonometrijski forum
Marko Savić Mnogo mi se dopao vasa prezentacija o trigonometriji, uz ove zanimljive informacije i lepo objašnjene lekcije, savladao sam trigonometriju.

23 Prezentaciju radio: -Miladinović Nikola Profesor matematike : Spasojević Nela

24 Čestitamo Savladali ste oblast “Merenje ugla, Trigonometrijska kružnica” Čestitam !

25 Trigonometrijski identiteti
sin²α+cos²α=1 tg α = sinα /cosα ctg α= cosα/ sinα tgα · ctgα =1 Sinα sinα = 3/5 sin²α+cos²α=1 (3/5)²+ cos²α=1 9/25+ cos²α=1 cosα = ±√9/25 cosα = -4/5

26

27

28 Linkovi