Κατέβασμα παρουσίασης
Η παρουσίαση φορτώνεται. Παρακαλείστε να περιμένετε
1
Διακριτά Μαθηματικά ΣΥΝΟΛΑ
2
Ένα στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α: αΑ
Βασικές Έννοιες Σύνολο καλείται μία καλώς ορισμένη συλλογή διακεκριμένων στοιχείων (ή αντικειμένων). Συνήθως τα σύνολα συμβολίζονται με κεφαλαία γράμματα ενώ τα στοιχεία που τα αποτελούν με μικρά. Ένα στοιχείο α ανήκει στο σύνολο Α: αΑ Το στοιχεί α δεν ανήκει στο σύνολο Α: α∉Α
3
Ω: καθολικό ή βασικό σύνολο, περιέχει όλα τα στοιχεία.
Βασικές Έννοιες Συνήθως Α={α1,α2,…,αν,…} Α={α: α έχει την ιδιότητα Ι} όπου Ι είναι μία χαρακτηριστική ιδιότητα των στοιχείων του Α. Ω: καθολικό ή βασικό σύνολο, περιέχει όλα τα στοιχεία. ∅: κενό σύνολο, δεν περιέχει κανένα από τα υπό μελέτη στοιχεία.
4
Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α καλείται δυναμοσύνολο P (Α).
Υποσύνολα Ένα σύνολο Β καλείται υποσύνολο ενός συνόλου Α αν και μόνο εάν κάθε στοιχείο του Β ανήκει στο Α. Συμβολίζεται ΒΑ Αν Β Α και υπάρχει α∈Α τέτοιο ώστε α∉Β, τότε το Β καλείται γνήσιο υποσύνολο του Α. Συμβολίζεται ΒΑ Εάν Β Α και Α Β τότε Α=Β Το σύνολο όλων των υποσυνόλων του Α καλείται δυναμοσύνολο P (Α). Αν το Α έχει n στοιχεία το δυναμοσύνολο του έχει 2n στοιχεία.
5
Διάγραμμα Venn Ω Α Β
6
Α Β και Α Β αν Α= {α,β} και Β= {α,{α,β},β}
Παραδείγματα {α,β} {α,β,γ,δ} {α,β} {α,{α,β},γ} {α,β} {α,{α,β},γ} Α Β και Α Β αν Α= {α,β} και Β= {α,{α,β},β} P ({α,β})={{}, {α}, {β}, {α,β}}
7
Πράξεις Συνόλων - Ένωση
Ένωση δύο συνόλων ονομάζεται το σύνολο που περιέχει στοιχεία που ανήκουν είτε στο ένα είτε στο άλλο είτε και στα δύο. Η ένωση των Α και Β συμβολίζεται ΑΒ. {α,β,γ} {β,γ,δ} = {α,β,γ,δ} {α,β,γ} = {α,β,γ} Ω Β Α
8
Πράξεις Συνόλων - Ιδιότητες Ένωσης
Πράξεις Συνόλων - Ιδιότητες Ένωσης Α Α = Α Α = Α Αν ΒΑ τότε Α Β = Α Α Β = Β Α (Α Β) Γ = Α (Β Γ) = Α Β Γ Η έννοια της ένωσης μπορεί να επεκταθεί για ν σύνολα ή για άπειρο πλήθος συνόλων. A1 A2 A3 … Aν = Uki=1 Ai Ui=1 Ai
9
Η τομή των Α και Β συμβολίζεται Α Β. {α,β,γ} {β,γ,δ} = {β,γ}
Πράξεις Συνόλων - Τομή Τομή δύο συνόλων ονομάζεται το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν και στα δύο σύνολα. Η τομή των Α και Β συμβολίζεται Α Β. {α,β,γ} {β,γ,δ} = {β,γ} {α,β} {γ,δ} = {α,β,γ} = Ω Β Α Α Β
10
Πράξεις Συνόλων – Ιδιότητες Τομής
Α Α = Α Α = Αν ΒΑ τότε Α Β = Β Α Β = Β Α (Α Β) Γ = Α (Β Γ) = Α Β Γ Η έννοια της τομής μπορεί να επεκταθεί για ν σύνολα ή για άπειρο πλήθος συνόλων. A1 A2 A3 … Aν = ki=1Ai Ui=1 Ai
11
Επιμεριστική ιδιότητα
Ιδιότητες Συνόλων Επιμεριστική ιδιότητα Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) Α (Β Γ) = (Α Β) (Α Γ) A A B B Γ Γ
12
Α-Β ονομάζεται και συμπλήρωμα του Β ως προς το Α.
Διαφορά Συνόλων Διαφορά δύο συνόλων Α και Β ονομάζεται το σύνολο Α-Β που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν στο Α αλλά δεν ανήκουν στο Β. Α-Β ονομάζεται και συμπλήρωμα του Β ως προς το Α. {α,β,γ,δ}-{β,γ}={α,δ} {α,β,γ}-{β,γ,δ}={α} {α,β,γ}-{δ,ε,ζ}={α,β,γ} Ω Β Α-Β
13
Συμπλήρωμα - Κανόνες De Morgan
Α΄ συμπλήρωμα του Α Α’ Α = Ω (Α Β)΄ = Α΄ Β΄ (Α Β)΄ = Α΄ Β΄ Ω Α Α΄
14
Συμμετρική Διαφορά Συμμετρική διαφορά ΑΒ δύο συνόλων Α και Β ονομάζεται το σύνολο που περιέχει τα στοιχεία που ανήκουν είτε στο ένα είτε στο άλλο αλλά όχι και στα δύο. {α,β,γ} {β,γ,δ} = {α,δ} Ιδιότητες Α Β = Β Α Α Β = (Α Β) – (Α Β) Α Β = (Α - Β) (Α - Β)
15
Αποδείξτε ότι Α Β = (Α - Β) (Α - Β)
Παράδειγμα Αποδείξτε ότι Α Β = (Α - Β) (Α - Β) Δείχνουμε ότι Α Β (Α - Β) (Α - Β) Έστω x Α Β άρα ανήκει είτε στο Α είτε στο Β αλλά όχι και στα δύο. Έχουμε δύο περιπτώσεις xA τότε xΒ. Άρα xA-Β που συνεπάγεται x(A-Β)(Β-Α) xA τότε xΒ. Άρα xΒ-Α που συνεπάγεται x(A-Β)(Β-Α) Άρα αν x Α Β τότε x(A-Β)(Β-Α) Δείχνουμε ότι (Α - Β) (Α - Β) Α Β Έστω x(A-Β)(Β-Α) τότε έχουμε δύο περιπτώσεις xA-Β που σημαίνει xA και xΒ άρα x Α Β xA-Β που σημαίνει ότι xΒ-Α επομένως xΒ και xA άρα xΑΒ Σε κάθε περίπτωση αν x(A-Β)(Β-Α) τότε x Α Β
16
Παράδοξα Έστω Σ = {ααα}. Ανήκει το Σ στον εαυτό του; Αν Σ Σ τότε από τον ορισμό του Σ ισχύει Σ Σ (άτοπο). Αν ΣΣ τότε από τον ορισμό του Σ δεν ισχύει Σ Σ άρα ισχύει ΣΣ (άτοπο). Σε ένα χωριό υπάρχει ένας κουρέας ο οποίος ξυρίζει όποιον δεν ξυρίζεται μόνος του. Ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του; Ένα επίθετο λέγεται ετερολογικό αν δεν έχει την ιδιότητα την οποία περιγράφει. Το επίθετο ετερολογικό είναι ετερολογικό;
Παρόμοιες παρουσιάσεις
© 2024 SlidePlayer.gr Inc.
All rights reserved.