με σταθερούς συντελεστές

Παρουσίαση με θέμα: "με σταθερούς συντελεστές"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 με σταθερούς συντελεστές
συνήθεις δ.ε. γραμμικές μη-γραμμικές με σταθερούς συντελεστές με μεταβλητούς συντελεστές

2 Ορισμοί  Λύση μιας διαφορικής εξίσωσης θα λέγεται κάθε συνάρτηση που επαληθεύει την διαφορική εξίσωση.  Γενική Λύση μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται κάθε λύση που περιλαμβάνει μια ή περισσότερες αυθαίρετες σταθερές (η γενική λύση αποτελεί μια οικογένεια συναρτήσεων).  Μερική Λύση μιας διαφορικής εξίσωσης λέγεται κάθε λύση της διαφορικής εξίσωσης που προκύπτει από την γενική δίνοντας συγκεκριμένες τιμές στις αυθαίρετες σταθερές. 2

3 Η πιο απλή δ.ε. έχει την μορφή y΄=f(x) ή F(x,y,y΄)=0 (Ι)
(ψ(x))΄= f(x) ή F(x,ψ(x),ψ΄(x))=0 Η γενική λύση της δ.ε. λέγεται και ολοκλήρωμα Τρόπος υπολογισμού:  Χωρίζουμε τις μεταβλητές  Ολοκληρώνουμε  Προκύπτει η γενική λύση της δ.ε.

4 Εφαρμογή : χρονική σειρά του κεφαλαίου
Σε μια βιομηχανία οι επενδύσεις Ι, απεικονίζονται με την συνάρτηση I(t)=(t+6)(t+4)1/2, όπου t είναι ο χρόνος. Αν το αρχικό κεφάλαιο εκκίνησης της βιομηχανίας είναι Κ(t=0)=50 χρηματικές μονάδες, να υπολογιστούν τα ακόλουθα: Η χρονική σειρά του κεφαλαίου της βιομηχανίας (γη συνάρτηση εξέλιξης του κεφαλαίου ως προς τον χρόνο). Η ποσότητα της συσσώρευσης του κεφαλαίου για την περίοδο 1t4. 4

5 ΛΥΣΗ: (i) Είναι γνωστό ότι οι επενδύσεις είναι το οριακό κεφάλαιο σε χρόνο dt, δηλαδή
Διαφορική εξίσωση της μορφής y΄=f(t)

6 Η χρονική σειρά του κεφαλαίου της βιομηχανίας !
6

7 Στην συγκεκριμένη βιομηχανία ισχύει επιπλέον ότι,
Τελικά, Στην συγκεκριμένη βιομηχανία ισχύει επιπλέον ότι, Η χρονική σειρά του κεφαλαίου της βιομηχανίας 7

8 Η ποσότητα συσσώρευσης του κεφαλαίου της βιομηχανίας για την χρονική περίοδο 1t4 δίνεται από το ορισμένο ολοκλήρωμα : 8

9 9

10 οι μεταβλητές χωρίζονται
I.2 y΄=f(y) οι μεταβλητές χωρίζονται

11 Άσκηση : Να υπολογιστεί η δ.ε. y΄=y2 Λύση:
Γενική λύση της δ.ε. με την μορφή x=g(y)

12 Ειδική περίπτωση της y΄=f(y) y΄= ay+b, a,bR Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις :
12

13 Πράγματι για την (i) a0 έχουμε:
η παράσταση που βρίσκεται στον παρονομαστή μπορεί να μπει μέσα στο διαφορικό 13

14 γενική λύση Για την (i) a=0 έχουμε: γενική λύση 14

15 διάλειμμα - interval 15

16 Εφαρμογή : επίπεδο ισορροπίας της τιμής παραγόμενου προϊόντος
Σε μια βιομηχανία η ζήτηση και η προσφορά για ένα παραγόμενο προϊόν δίνονται σαν συναρτήσεις της τιμής του, P με τον ακόλουθο τρόπο: Ζήτηση: Qd= 40-2P Προσφορά: Qs= -10+4P όπου Qd και Qs είναι η ζητούμενη και η προσφερόμενη, αντίστοιχα, ποσότητα του προϊόντος και P είναι η αντίστοιχη τιμή του. Αν η διαχρονική μεταβολή της τιμής P του προϊόντος δίνεται από την σχέση 16

17 Εφαρμογή : επίπεδο ισορροπίας της τιμής παραγόμενου προϊόντος
και αν γνωρίζουμε το προϊόν μπαίνει στην αγορά με αρχική τιμή Ρ(t=0)= 15 χρηματικές μονάδες, τότε : Να υπολογιστεί η πορεία της τιμής Ρ του προϊόντος (ως συνάρτηση του χρόνου t). Να εξεταστεί αν η πορεία της τιμής του προϊόντος συγκλίνει ή αποκλίνει, με την πάροδο του χρόνου, σε ένα επίπεδο ισορροπίας! Εξισορρόπηση της τιμής του παραγόμενου προϊόντος 17

18 η οποία ισοδύναμα γράφεται,
ΛΥΣΗ: Η διαχρονική μεταβολή της τιμής Ρ του προϊόντος δίνεται από την εξίσωση η οποία ισοδύναμα γράφεται, Και αποτελεί μια διαφορική εξίσωση της μορφής y΄=ax+b, όπου a=-3,60 και b=30. Σύμφωνα με τα προηγούμενα η γενική λύση της δ.ε. δίνεται είναι η μεταβολή της τιμής του προϊόντος !! (συνάρτηση της τιμής ως προς τον χρόνο). 18

19 Από τα δεδομένα του προβλήματος γνωρίζουμε ότι το προϊόν μπαίνει στην αγορά με αρχική τιμή P(t=0)=15 χρηματικές μονάδες (αρχικές συνθήκες t=0, P=15). Από την προηγούμενη σχέση έχουμε: και η ειδική λύση της δ.ε. δηλαδή η μεταβολή της τιμής του προϊόντος με τιμή εκκίνησης P(t=0)=15 χρηματικές μονάδες δίνεται σαν συνάρτηση του χρόνου ως: 19

20 με ποιο όριο καθώς ο χρόνος μεταβάλλεται απεριόριστα;
(ii) Η μεταβολή της τιμής Ρ του προϊόντος με την πάροδο του χρόνου δίνεται από την σχέση T … 1 2 3 4 100 P(t) 15 8,49 8,34 8,33 Ακολουθία των τιμών του προϊόντος της βιομηχανίας με την πάροδο του χρόνου: 15, 8,49, 8,34, 8,33,  με ποιο όριο καθώς ο χρόνος μεταβάλλεται απεριόριστα; Αναζητούμε το όριο της ακολουθίας των τιμών του προϊόντος καθώς ο χρόνος τείνει στο + 20

21 Η τιμή του παραγόμενου προϊόντος της βιομηχανίας τείνει με την πάροδο του χρόνου να εξισορροπήσει στο επίπεδο ισορροπίας των 8,33 χρηματικών μανάδων !! τέλος ! 21

22 οι μεταβλητές χωρίζονται
I.3 y΄=F(x,y)=F1(x)F2(y) οι μεταβλητές χωρίζονται Έχουμε, Τότε, G2(y)=G1(x)+c1-c2, όπου c1,c2R Τελικά, G2(y)=G1(x)+c, όπου cR γενική λύση

23 οι μεταβλητές χωρίζονται
I.4 F1(x)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 οι μεταβλητές χωρίζονται Αν, F2(x)Φ1(y)0, τότε Τότε, P(x)dx + Q(y)dy = 0, όπου είναι χωριζόμενων μεταβλητών !

24 επίλυση : γενική λύση της δ.ε.

25 Άσκηση 4.:Να λυθεί η δ.ε. x2(y+1)+y2(x-1)y΄=0
Λύση : η δ.ε. ισοδύναμα γράφεται τότε, x2(y+1)dx+y2(x-1)dy = 0 (I), δηλαδή F1(χ)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 Υποθέτουμε ότι, (x-1)(y+1)0, δηλαδή, x-10 και y+10 ισοδύναμα, x1 και y-1 διαιρούμε και τα δυο μέλη της (Ι) με το (x-1)(y+1)

26 διαίρεση πολυωνύμων x2 : (x-1) = x+1+(1/x-1)

27 διαίρεση πολυωνύμων x2 x-1 x+1 -x2+x = x -x+1 = 1 27

28 Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό του Ι2
και συνεπώς έχουμε, Με τον ίδιο τρόπο εργαζόμαστε για τον υπολογισμό του Ι2 28

29 γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1
διαίρεση πολυωνύμων y2: (y+1) = y-1+(1/y+1) άρα, Επομένως, γενική λύση της δ.ε. όταν x1 και y-1

30 (1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0
Άσκηση 5: Να λυθεί το πρόβλημα των αρχικών τιμών (1+ex)yy΄= ex και y(0)=1. Λύση: (1+ex)ydy = exdx  exdx-(1+ex)ydy = 0 είναι της μορφής F1(χ)Φ1(y)dx+F2(x)Φ2(y)dy=0 όπου F1(χ)= ex, Φ1(y)=1, F2(x)= -(1+ex), Φ2(y)=y Έχουμε ότι, 1+ex0. Πράγματι, ex>0  1+ex>0. Επομένως,

31 y2 = 2ln(ex+1) + c, cR γενική λύση της δ.ε. ισοδύναμα

32 από την γενική λύση της δ.ε.: y2 = 2ln(ex+1) + c, cR έχουμε:
Αρχικές συνθήκες: y(x=0) = 1. Επομένως, 12 = 2ln(e0+1)+c  1 = 2ln2+c, cR Άρα, c = 1-2ln2 = 1-2 0,69325 = -0,4 Μερική λύση που ικανοποιεί τις αρχικές συνθήκες y2 = 2ln(ex+1)+1-2ln2, δηλαδή

33 από τις αρχικές συνθήκες έχουμε:
(i) x=0, y1=1 άρα, η λύση είναι δεκτή (ii) x=0, y2=1 άρα, η λύση απορρίπτεται Τελικά,

34 επόμενο μάθημα ! 34