Ξέρουν οι μέλισσες μαθηματικά ; Για ποιο λόγο κατασκευάζουν εξαγωνικά κελιά στις κηρήθρες ; ? Βασίλης Παπαθεοδοσίου Μαθηματικός Γυμνασίου Ψαχνών.

Παρουσίαση με θέμα: "Ξέρουν οι μέλισσες μαθηματικά ; Για ποιο λόγο κατασκευάζουν εξαγωνικά κελιά στις κηρήθρες ; ? Βασίλης Παπαθεοδοσίου Μαθηματικός Γυμνασίου Ψαχνών."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Ξέρουν οι μέλισσες μαθηματικά ; Για ποιο λόγο κατασκευάζουν εξαγωνικά κελιά στις κηρήθρες ;
? Βασίλης Παπαθεοδοσίου Μαθηματικός Γυμνασίου Ψαχνών

2 Λίγα λόγια για τις κηρήθρες
Η κηρήθρα είναι στην ουσία η φωλιά της μέλισσας, σε αυτήν γεννάει και μεγαλώνει τα μικρά της, σε αυτήν α- ποθηκεύει τις τροφές της, σε αυτήν δραστηριοποιείται. Οι κηρήθρες είναι κατακόρυφες και παράλληλες μεταξύ τους και έχουν δύο επιφάνειες που αποτελούνται από εξαγωνικά στενόμακρα κελιά, τα οποία έχουν μια ελαφρά κλίση προς τα πάνω, για να μην τρέχουν έξω τα λεπτόρρευστα υγρά που πε- ριέχουν. (Δείτε στο διπλανό σχήμα).

3 Κηρήθρα: Ένα κατασκευαστικό θαύμα.
Παρατηρώντας προσεκτικά μια κηρήθρα, ανακαλύπτουμε πόσο σοφά είναι κτι- σμένη. Για να είναι πιο στέρεη η κατασκευή της, τα κελιά στις δύο όψεις της δεν έχουν κοινή βάση, αλλά κάτω από κάθε κελί της μιας όψης, βρίσκονται τρία κε- λιά της άλλης όψης, με τον τρόπο που φαίνεται στο σχήμα κάτω δεξιά. (με την έντονη γραμμή, είναι το κελί της μιας όψης, ενώ με τις διακεκομμένες γραμμές είναι τα κελιά της άλλης όψης.) Επί πλέον ο πυθμένας κάθε κελιού δεν είναι επίπεδος, αλλά έχει μορφή ανάπο- δης πυραμίδας, έτσι ώστε κάθε κελί μιας όψης, «σφηνώνει» κατά κάποιο τρόπο στα τρία κελιά που είναι από κάτω του στην άλλη όψη. Παρά το ότι υπάρχει – όπως βλέπουμε - πλήθος θεμάτων που αφορά την κατά- σκευή της κηρήθρας, σ’ αυτήν την παρουσίαση, θα εξετάσουμε τον λόγο, για τον οποίο οι μέλισσες κτί- ζουν εξαγωνικά κελιά.

4 Η κηρήθρα (όπως φανερώνει το όνομά της) φτιάχνεται από κερί.
Για την κατασκευή της κηρήθρας οι μέλισσες εκκρίνουν κερί, από ειδικούς αδέ- νες που βρίσκονται στην κοιλιά τους και λέγονται κηροφόροι αδένες. Έχει υπολογιστεί, ότι για να «βγάλει» μια μέλισσα 1 κιλό κερί, πρέπει να έχει κα- ταναλώσει προηγουμένως περίπου 10 κιλά μέλι. Καταλαβαίνουμε λοιπόν, πως η παραγωγή του κεριού είναι μια διαδικασία πολύ δαπανηρή για τις μέλισσες, πράγμα που τις αναγκάζει να ψάξουν για τον «οικο- μικώτερο» τρόπο κατασκευής της κηρήθρας. Εκείνον δηλαδή τον τρόπο, που θα απαιτεί το λιγότερο κερί. ( Όπως οι άνθρωποι προσπαθούν να φτιάξουν ένα γερό σπίτι, χρησιμοποιώντας όσο πιο λίγα υλικά είναι δυνατόν.) Τα κελιά της κηρήθρας λοιπόν, πρέπει να έχουν τέτοιο σχήμα, που απ΄ τη μια μεν να χρειάζονται όσο πιο λίγο κερί γίνεται για να κτιστούν, απ΄ την άλλη δε, να χωράνε όσο περισσότερο μέλι είναι δυνατόν.

5 Οι τρείς επιλογές Για να καλύψουν όλη την επιφάνεια της κηρήθρας, χωρίς να αφήνουν κενά, οι μέλισσες πρέπει να χτίσουν κελιά με σχήμα ισόπλευρο τρίγωνο, ή τετράγωνο, ή κανονικό εξάγωνο. Κι’ αυτό γιατί μόνο αυτά τα τρία σχήματα μπορούν να «κουμπώσουν» μεταξύ τους, όπως βλέπουμε στις διπλανές πλακοστρώσεις. Γνωρίζουμε βέβαια, πως η κάθε γωνία ενός ισοπλεύρου τριγώ- νου είναι , ενός τετραγώνου είναι και ενός κανονικού εξαγώνου είναι Και οι τρεις αριθμοί (60, 90, 120) διαιρούν το 360, οπότε με 6 ισόπλευρα τρίγωνα, (6 x 60) ή με 4 τετράγωνα (4 x 90) ή με 3 κανονικά εξάγωνα (3 x 120) συμπληρώνονται οι 360 μοίρες. Αν λοιπόν οι μέλισσες είχαν ένα ισόπλευρο τρίγωνο, ένα τετρά- γωνο κι’ ένα κανονικό εξάγωνο – όλα με την ίδια περίμετρο - (ώστε να χρειάζονται την ίδια ποσότητα κεριού για να φτιαχτούν) – ποιο απ ‘ τα τρία αυτά σχήματα θα έχει το μεγαλύτερο εμβα- δόν (και άρα θα χωράει περισσότερο μέλι) ; Αυτό είναι το πρόβλημα που αντιμετώπισαν οι μέλισσες και το οποίο έλυσαν με σοφία, όπως θα δούμε στη συνέχεια.

6 Ακολουθώντας τη «σκέψη» των μελισσών ...
Ας προσπαθήσουμε λοιπόν, να λύσουμε κι’ εμείς το ίδιο πρόβλημα, υπολογί- ζοντας το εμβαδόν ενός ισοπλεύρου τριγώνου, ενός τετραγώνου κι’ ενός κα- νονικού εξαγώνου, που έχουν την ίδια περίμετρο. Για να διευκολυνθούμε στους υπολογισμούς που θ’ ακολουθήσουν, θα θεωρή- σουμε πως τα τρία σχήματα μας (ισόπλευρο τρίγωνο, τετράγωνο και κανονικό εξάγωνο) έχουν περίμετρο 12 cm. Έτσι το μήκος των πλευρών κάθε ενός α- πό αυτά, θα είναι ακέραιος αριθμός.

7 Εμβαδόν ισοπλεύρου τριγώνου με περίμετρο 12 cm
Ένα ισόπλευρο τρίγωνο με περίμετρο 12 cm έχει πλευρές μήκους 4 cm. Το ύψος ΑΔ που είναι απαραίτητο για να βρούμε το εμβαδόν του τριγώ- νου, είναι όπως ξέρουμε και διάμεσος , οπότε ΒΔ = 2 cm. Στο πιο κάτω σχήμα βλέπουμε τις πράξεις, με τις οποίες βρίσκουμε ότι το εμβαδόν του τριγώνου είναι δηλ. περίπου 6,92 τετρ. εκ.

8 Μια χρήσιμη παρένθεση Ο υπολογισμός του ύψους και του εμβαδού του ισοπλεύρου τριγώνου που εί- δαμε στην προηγούμενη κάρτα, θα μπορούσε να γίνει αμέσως, αν θυμόμαστε τον τύπο που δίνει το ύψος υ ενός ισοπλεύρου τριγώνου, όταν γνωρίζουμε το μήκος α κάθε μιας από τις ίσες πλευρές του τριγώνου. Και για το εμβαδόν είναι : Αντικαθιστώντας α=4cm, έχουμε αμέσως ότι : περίπου.

9 Κι’ άλλη μια χρήσιμη παρένθεση…
Κι’ άλλη μια χρήσιμη παρένθεση… Πριν συνεχίσουμε, ας υπολογίσουμε πάλι το εμβαδόν του ισοπλεύρου τριγώ- νου, χρησιμοποιώντας αυτή τη φορά τους τύπους της τριγωνομετρίας. Στο ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ το ύψος ΑΔ είναι και διχοτόμος άρα η γωνία ΒΑΔ είναι Έτσι στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΔ γνωρίζουμε το μήκος της υποτεί- νουσας ΑΒ, την οξεία γωνία ΒΑΔ και θέλουμε να βρούμε το ύψος ΑΔ. (προσ- κείμενη κάθετη πλευρά ) Άρα θα χρησιμοποιήσουμε το συνημίτονο της γωνίας ΒΑΔ.

10 Εμβαδόν Τετραγώνου με περίμετρο 12 cm

11 Εμβαδόν κανονικού εξαγώνου με περίμετρο 12 cm
νονικού εξαγώνου είναι ίσο με το εξαπλάσιο του εμβαδού του κόκκινου ισο – πλεύρου τριγώνου ΟΑΒ. Όπως και πριν θα είναι ΑΜ = 1 cm,

12 Κύκλος με περίμετρο 12 cm Ας βρούμε το μήκος της ακτίνας ρ ενός κύκλου με μήκος L = 12cm. Θα είναι : . Οπότε : Δηλαδή η ακτίνα ρ του κύκλου θα είναι ή ρ = 1,91 cm περίπου. Τότε το εμβαδόν του κύκλου θα είναι : και με αντικατάσταση έχου- με : = Ένα κυκλικό κελί λοιπόν - πάντα με περίμετρο 12 cm - θα είχε ακόμη μεγαλύτε- ρο εμβαδόν από τα εξάγωνα, μόνο που…

13 Ο σχεδιασμός κυκλικών κελιών απορρίπτεται…
Η κηρήθρα θα ήταν κάπως έτσι, αλλά όπως είπαμε οι μέλισσες δεν θέλουν να υπάρχουν κενά ανάμεσα στα κελιά, γιατί θα ήταν χαμέ- νος χώρος. Κρίμα, γιατί έχουν το μεγαλύτερο εμβαδόν (11,46 τετρ. εκατοστά ) από όλα τα σχήματα με περίμετρο 12 τετρ. εκατοστά. )

14 Συμπέρασμα : Μετά από όλα αυτά διαπιστώνουμε ότι :
1ον. Ένα ισόπλευρο τρίγωνο με περίμετρο 12 cm έχει εμβαδόν Ε = 6,92 περίπου. 2ον. Ένα τετράγωνο με περίμετρο 12 cm έχει εμβαδόν Ε = 3ον. Ένα κανονικό εξάγωνο με περίμετρο 12 cm έχει εμβαδόν Ε = 10,38 Άρα από τα τρία σχήματα που εξετάσαμε, το κανονικό εξάγωνο είναι το σχήμα εκείνο που έχει το μεγαλύτερο εμβαδόν, ενώ έχει την ίδια περίμετρο και προφα- νώς γι’ αυτό το επέλεξαν οι μέλισσες, εφοδιασμένες ίσως απ’ την φύση με κά- ποιο μαθηματικό ένστικτο.