Σχεσιακή Άλγεβρα.

Παρουσίαση με θέμα: "Σχεσιακή Άλγεβρα."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Σχεσιακή Άλγεβρα

2 Σχεσιακή Άλγεβρα By relieving the brain of all unnecessary work, a good notation sets it free to concentrate on more advanced problems, and, in effect, increases the mental power of the race. -- Alfred North Whitehead ( ) p

3 Ορισμοί και Τροποποιήσεις
Προγράμματα που απαντούν σε ερωτήσεις για τον παρόν στιγμιότυπο της βάσης δεδομένων (quering) Το σχεσιακό μοντέλο έχει ένα σύνολο από πράξεις -> Σχεσιακή Άλγεβρα ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Πέρα από τη σχεσιακή άλγεβρα και τη διατύπωση ερωτήσεων: - ορισμό του σχήματος - τροποποίηση του στιγμιότυπου (εισαγωγή, διαγραφή και τροποποίηση πλειάδων)

4 Σχεσιακή Άλγεβρα Γλώσσες Ερωτήσεων (Query Languages): Επιτρέπουν τον χειρισμό και την εύρεση πληροφορίας από μια βάση δεδομένων Το σχεσιακό μοντέλο υποστηρίζει απλές και ισχυρές γλώσσες ερωτήσεων (σε αντίθεση με το μοντέλο Ο/Σ)

5 Γλώσσες Ερωτήσεων != Γλώσσες Προγραμματισμού!
Σχεσιακή Άλγεβρα Γλώσσες Ερωτήσεων != Γλώσσες Προγραμματισμού! Δεν αναμένεται να είναι “Turing complete”. Δεν αναμένεται να χρησιμοποιηθούν για ”δύσκολους υπολογισμούς”. Υποστηρίζουν εύκολη και αποδοτική προσπέλαση σε μεγάλα σύνολα δεδομένων

6 Σχεσιακή Άλγεβρα: Ποιο λειτουργική “operational” (database byte-code!)
Δύο μαθηματικές γλώσσες ερωτήσεων αποτελούν τη βάση για τις πραγματικές γλώσσες ερωτήσεων (π.χ., SQL) και για την υλοποίησή τους Σχεσιακή Άλγεβρα: Ποιο λειτουργική “operational” (database byte-code!) Σχεσιακός Λογισμός (calculus): Επιτρέπει στους χρήστες να περιγράψουν τι θέλουν αλλά όχι πώς να το υπολογίσουν

7 Σχεσιακή άλγεβρα: έναν απλό τρόπο δημιουργίας νέων σχέσεων από παλιές.
Σχεσιακή Άλγεβρα Σχεσιακή άλγεβρα: έναν απλό τρόπο δημιουργίας νέων σχέσεων από παλιές. Ένα σύνολο από πράξεις που όταν εφαρμοστούν σε σχέσεις μας δίνουν νέες σχέσεις

8 Οι πράξεις τις σχεσιακής άλγεβρας:
Σχεσιακή Άλγεβρα Οι πράξεις τις σχεσιακής άλγεβρας: 1. Πράξεις που αφαιρούν κομμάτια από μια σχέση είτε επιλέγοντας γραμμές είτε προβάλλοντας στήλες 2. Οι συνηθισμένες πράξεις συνόλου - ένωση, τομή, διαφορά 3. Πράξεις που συνδυάζουν πλειάδες από δύο σχέσεις 4. Μετονομασία γνωρισμάτων

9 Η πράξη της επιλογής (select)
Η Πράξη της Επιλογής Η πράξη της επιλογής (select) Επιλογή ενός υποσυνόλου των πλειάδων μιας σχέσης που ικανοποιεί μια συνθήκη επιλογής σ<συνθήκη επιλογής> (<όνομα σχέσης>)

10 σ<συνθήκη επιλογής> (<όνομα σχέσης>)
Η Πράξη της Επιλογής Επιλογή ενός υποσυνόλου των πλειάδων μιας σχέσης που ικανοποιεί μια συνθήκη επιλογής σ<συνθήκη επιλογής> (<όνομα σχέσης>) <όνομα γνωρίσματος> <τελεστής σύγκρισης> <όνομα γνωρίσματος> ή <σταθερή τιμή από το πεδίο ορισμού του γνωρίσματος> προτάσεις της μορφής συνθήκη =, >, <, ,  ,  συνδυασμένες με AND, OR, NOT

11 Παράδειγμα Ταινία Τίτλος Έτος Διάρκεια Είδος Παίζει Όνομα-Ηθοποιού Τίτλος Έτος Ηθοποιός Όνομα Διεύθυνση Έτος-Γέννησης Σύζυγος-Ηθοποιού

12 σ διάρκεια > 100 (Ταινία)
Η Πράξη της Επιλογής Παραδείγματα τίτλος χρόνος διάρκεια είδος Star Wars έγχρωμη Mighty Ducks έγχρωμη Wayne’s World έγχρωμη 1. Ταινίες με διάρκεια μεγαλύτερη των 100 λεπτών) σ διάρκεια > 100 (Ταινία) τίτλος χρόνος διάρκεια είδος Star Wars έγχρωμη Mighty Ducks έγχρωμη

13 σ διάρκεια > 100 AND χρόνος > 1995 (Ταινία)
Η Πράξη της Επιλογής τίτλος χρόνος διάρκεια είδος Star Wars έγχρωμη Mighty Ducks έγχρωμη Wayne’s World έγχρωμη 2. Ταινίες με διάρκεια μεγαλύτερη των 100 λεπτών που γυρίστηκαν μετά το 1995 σ διάρκεια > 100 AND χρόνος > 1995 (Ταινία) τίτλος χρόνος διάρκεια είδος Star Wars έγχρωμη

14 Η συνθήκη επιλογής εφαρμόζεται ανεξάρτητα σε κάθε πλειάδα
Η Πράξη της Επιλογής Η συνθήκη επιλογής εφαρμόζεται ανεξάρτητα σε κάθε πλειάδα Ο τελεστής είναι μοναδιαίος Ο βαθμός της σχέσης που προκύπτει ίδιος με τον βαθμό της αρχικής R Πλήθος πλειάδων μικρότερο ή ίσο με την αρχική σχέση: ποσοστό που επιλέγονται - επιλεκτικότητα (selectivity)

15 Ιδιότητες Η Πράξη της Επιλογής αντιμεταθετική
σ <συνθ1> (σ<συνθ2> (R)) = σ<συνθ2> (σ<συνθ1> (R)) σ <συνθ1> (σ<συνθ2> ( … σ<συνθn> (R) ..)) = σ <συνθ1> AND <συνθ2> AND <συνθn> (R)

16 Η πράξη της προβολής (project)
Η Πράξη της Προβολής Η πράξη της προβολής (project) Επιλογή συγκεκριμένων στηλών (γνωρισμάτων) π<λίστα γνωρισμάτων> (<όνομα σχέσης>)

17 τίτλος χρόνος διάρκεια είδος
Η Πράξη της Προβολής Παραδείγματα τίτλος χρόνος διάρκεια είδος Star Wars έγχρωμη Mighty Ducks έγχρωμη Wayne’s World έγχρωμη

18 π τίτλος, χρόνος, διάρκεια (Ταινία)
Η Πράξη της Προβολής 1. Τίτλος, χρόνος, διάρκεια των ταινιών π τίτλος, χρόνος, διάρκεια (Ταινία) τίτλος χρόνος διάρκεια Star Wars Mighty Ducks Wayne’s World

19 Προσοχή: απαλοιφή διπλότιμων
Η Πράξη της Προβολής 2. Είδος ταινιών π είδος (Ταινία) είδος έγχρωμη Προσοχή: απαλοιφή διπλότιμων

20 Τα γνωρίσματα έχουν την ίδια διάταξη
Η Πράξη της Προβολής Τα γνωρίσματα έχουν την ίδια διάταξη Ο τελεστής είναι μοναδιαίος Ο βαθμός της σχέσης είναι ίσος με τον αριθμό γνωρισμάτων στη <λίστα γνωρισμάτων> Πλήθος πλειάδων μικρότερο ή ίσο (πότε;) με την αρχική σχέση

21 Ιδιότητες αντιμεταθετική; π <λίστα1> (π <λίστα2> (R)) = ?
Η Πράξη της Προβολής Ιδιότητες αντιμεταθετική; π <λίστα1> (π <λίστα2> (R)) = ?

22 π διάρκεια (σ διάρκεια > 100 (Ταινία))
Σχεσιακή Άλγεβρα Παράδειγμα Διάρκειες μεγαλύτερες των 100 λεπτών π διάρκεια (σ διάρκεια > 100 (Ταινία)) διάρκεια 124 104

23 Πράξεις συνόλου Ένωση () Τομή () Διαφορά (-) Πράξεις Συνόλου
Συμβατότητα ως προς την ένωση Δύo σχέσεις R(A1, A2, …, An) και S(B1, B2, …, Bn) είναι συμβατές ως προς την ένωση όταν 1. Έχουν τον ίδιο βαθμό n 2.  i, dom(Ai) = dom(Bi)

24 Σύμβαση: η προκύπτουσα σχέση έχει τα ίδια ονόματα με την πρώτη σχέση
Πράξεις Συνόλου Σύμβαση: η προκύπτουσα σχέση έχει τα ίδια ονόματα με την πρώτη σχέση Απαλοιφή διπλότιμων

25 Το σχεσιακό μοντέλο υποστηρίζει απλές και ισχυρές γλώσσες ερωτήσεων
Σχεσιακή Άλγεβρα Γλώσσες Ερωτήσεων (Query Languages): Επιτρέπουν τον χειρισμό και την εύρεση πληροφορίας από μια βάση δεδομένων Το σχεσιακό μοντέλο υποστηρίζει απλές και ισχυρές γλώσσες ερωτήσεων Σχεσιακή άλγεβρα: έναν απλό τρόπο δημιουργίας νέων σχέσεων από παλιές. Ένα σύνολο από πράξεις που όταν εφαρμοστούν σε σχέσεις μας δίνουν νέες σχέσεις

26 Το σχήμα της σχέσης εισόδου είναι ορισμένο
Σχεσιακή Άλγεβρα Μια ερώτηση εφαρμόζεται σε ένα στιγμιότυπο σχέσης και το αποτέλεσμα της ερώτησης είναι πάλι ένα στιγμιότυπο σχέσης Το σχήμα της σχέσης εισόδου είναι ορισμένο Το σχήμα του αποτελέσματος είναι επίσης ορισμένο

27   Σχεσιακή Άλγεβρα Οι πράξεις τις σχεσιακής άλγεβρας:
1. Πράξεις που αφαιρούν κομμάτια από μια σχέση είτε επιλέγοντας γραμμές είτε προβάλλοντας στήλες  2. Οι συνηθισμένες πράξεις συνόλου - ένωση, τομή, διαφορά 3. Πράξεις που συνδυάζουν πλειάδες από δύο σχέσεις 4. Μετονομασία γνωρισμάτων

28 σ a > b (R) Σχεσιακή Άλγεβρα Α Β 1 2 1 4 2 1 6 5 R Π Α (R) R  S
Α Β σ a > b (R) R Π Α (R) R  S R  S R - S B C S

29 Μετονομασία όνομα στην ενδιάμεση σχέση R  Μετονομασία Παράδειγμα
ΜΕΓΑΛΗΣ_ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ  σ διάρκεια > 100 (Ταινία)

30 R(λίστα με νέα ονόματα) 
Μετονομασία μετονομασία γνωρισμάτων R(λίστα με νέα ονόματα)  Παράδειγμα ΜΕΓΑΛΗΣ_ΔΙΑΡΚΕΙΑΣ (όνομα ταινίας, έτος παραγωγής, διάρκεια, είδος)  σ διάρκεια > 100 (Ταινία) όνομα ταινίας έτος παραγωγής διάρκεια είδος Star Wars έγχρωμη Mighty Ducks έγχρωμη

31 Καρτεσιανό Γινόμενο Καρτεσιανό Γινόμενο (ή χιαστί γινόμενο (cross product) ή χιαστί συνένωση (cross join)) R(A1, A2, …, An) x S(B1, B2, …, Bm) αποτέλεσμα η σχέση Q: Q(A1, A2, …, An, B1, B2, …, Bm) n + m γνωρίσματα nR * n S πλειάδες

32 Καρτεσιανό Γινόμενο R x S A R.B S.B C D R S Α Β B C D

33 Παράδειγμα Ταινία Τίτλος Έτος Διάρκεια Είδος Παίζει Όνομα-Ηθοποιού Τίτλος Έτος Ηθοποιός Όνομα Διεύθυνση Έτος-Γέννησης Σύζυγος-Ηθοποιού

34 Καρτεσιανό Γινόμενο Παράδειγμα Για κάθε ηθοποιό το όνομα και τον τίτλο-έτος για όλες τις έγχρωμες ταινίες στις οποίες παίζει π όνομα, τίτλος, έτος (σ είδος = “έγχρωμη” AND Παίζει.τίτλος = Ταινία.τίτλος AND Παίζει.έτος = Ταινία.έτος (Παίζει x Ταινία)) ή π όνομα, τίτλος, έτος (σ Παίζει.τίτλος = Ταινία.τίτλος AND Παίζει.έτος =Ταινία.έτος(Παίζει x (σ είδος = “έγχρωμη” (Ταινία)))

35 Καρτεσιανό Γινόμενο Ταινία Παίζει Τίτλος Έτος Διάρκεια Είδος
Τίτλος Έτος Διάρκεια Είδος Παραμύθι Έγχρωμη Παραμύθι Ασπρόμαυρη Φυγή Ασπρόμαυρη Άνοιξη Έγχρωμη Ταινία Όνομα-Ηθοποιού Τίτλος Έτος Αλίκη Παππά Παραμύθι 1930 Μαρία Γεωργίου Παραμύθι 1990 Κώστας Χρήστου Φυγή 2000 Μαρία Στεργίου Άνοιξη 1998 Παίζει

36 Καρτεσιανό Γινόμενο Παράδειγμα Για κάθε ηθοποιό το όνομα και τον τίτλο-έτος για όλες τις έγχρωμες ταινίες στις οποίες παίζει μαζί με τον σύζυγο του/της

37 Συνένωση (ή θήτα συνένωση) (join)
συνδυασμός σχετιζόμενων πλειάδων R <συνθήκη συνένωσης> S (  σ <συνθήκη συνένωσης> (R x S) ) Συνθήκη συνένωσης Προτάσεις της μορφής =, >, <, ,  ,  Ai <τελεστής σύγκρισης> Bj όπου Ai γνώρισμα της R, Bj γνώρισμα της S, και dom(Ai) = dom(Bj) συνδυασμένες με AND

38 το αποτέλεσμα είναι οι συνδυασμοί πλειάδων που ικανοποιούν τη συνθήκη
Συνένωση το αποτέλεσμα είναι οι συνδυασμοί πλειάδων που ικανοποιούν τη συνθήκη η συνθήκη αποτιμάται για κάθε συνδυασμό αποτέλεσμα σχέση Q με n + m γνωρίσματα πλειάδες με τιμή null σε γνώρισμα συνένωσης δεν εμφανίζονται στο αποτέλεσμα

39 Συνένωση U A<D V U V A U.B U.C V.B V.C D Α Β C B C D U A<D AND U.B  V.B V

40 Συνένωση Παράδειγμα Για κάθε ηθοποιό το όνομα και τον τίτλο-έτος για όλες τις έγχρωμες ταινίες στις οποίες παίζει π όνομα, τίτλος, έτος (σ Παίζει.τίτλος = Ταινία.τίτλος AND Παίζει.έτος =Ταινία.έτος(Παίζει x (σ είδος = “έγχρωμη” (Ταινία))) π όνομα, τίτλος, έτος (Παίζει Παίζει.τίτλος = Ταινία.τίτλος AND Παίζει.έτος =Ταινία.έτος(σ είδος = “έγχρωμη” (Ταινία))

41 Συνένωση Ισότητας (equijoin)
όταν χρησιμοποιείται μόνο τελεστής ισότητας Συνθήκη συνένωσης Προτάσεις της μορφής Ai = Bj όπου Ai γνώρισμα της R, Bj γνώρισμα της S, και dom(Ai) = dom(Bj) συνδυασμένες με AND

42 Συνένωση Ισότητας R S R R.B = S.B S Α Β B C D A R.B S.B C D

43 Φυσική Συνένωση Φυσική Συνένωση
συνένωση ισότητας όπου παραλείπουμε το γνώρισμα της δεύτερης σχέσης από το αποτέλεσμα όταν διαφορετικό όνομα - μετονομασία R * (λίστα1, λίστα2) S επιλεκτικότητα συνένωσης : μέγεθος αποτελέσματος / (nr * ns)

44 Φυσική Συνένωση R S R * S Α Β B C D A B C D

45 Φυσική Συνένωση U * V U V A B C D Α Β C B C D

46 Φυσική Συνένωση Παράδειγμα Για κάθε ηθοποιό το όνομα και τον τίτλο-έτος για όλες τις έγχρωμες ταινίες στις οποίες παίζει π όνομα, τίτλος, έτος (σ Παίζει.τίτλος = Ταινία.τίτλος AND Παίζει.έτος =Ταινία.έτος(Παίζει x (σ είδος = “έγχρωμη” (Ταινία))) π όνομα, τίτλος, έτος (Παίζει Παίζει.τίτλος = Ταινία.τίτλος AND Παίζει.έτος =Ταινία.έτος(σ είδος = “έγχρωμη” (Ταινία)) π όνομα, τίτλος, έτος (Παίζει * (σ είδος = “έγχρωμη” (Ταινία))) είναι η τρίτη έκφραση ισοδύναμη των άλλων δύο;

47 Σχεσιακή Άλγεβρα Α Β R B C R x S R R.a >= S.b S S R R.a = S.b S R * S

48 Οι πράξεις τις σχεσιακής άλγεβρας:
Σχεσιακή Άλγεβρα Οι πράξεις τις σχεσιακής άλγεβρας: 1. Πράξεις που αφαιρούν κομμάτια από μια σχέση είτε επιλέγοντας γραμμές (σ) είτε προβάλλοντας στήλες (π) 2. Οι συνηθισμένες πράξεις συνόλου: ένωση, τομή, διαφορά 3. Πράξεις που συνδυάζουν πλειάδες από δύο σχέσεις 4. Μετονομασία γνωρισμάτων

49 Πλήρες σύνολο πράξεων Επίσης τομή () συνένωση επιλογή (σ)
Σχεσιακή Άλγεβρα Πλήρες σύνολο πράξεων Επίσης τομή () συνένωση συνένωση ισότητας φυσική συνένωση (*) επιλογή (σ) προβολή (π) ένωση () διαφορά (-) καρτεσιανό γινόμενο (x)

50 R (Παίζει): Όλοι η ηθοποιοί και οι τανίες που παίζουν
Διαίρεση Διαίρεση Χρήσιμη όταν για κάθε, παράδειγμα: βρες τον ηθοποιό που παίζει σε όλες (σε κάθε) ταινία που παίζει και η Sharon Stone. R (Παίζει): Όλοι η ηθοποιοί και οι τανίες που παίζουν S: Όλες τις ταινίες που παίζει η Sharon Stone Q: Οι ηθοποιοί που (το όνομα τους) εμφανίζονται στη σχέση Παίζει (R) με υπόλοιπα γνωρίσματα να παίρνουν όλες τις τιμές του S

51 Διαίρεση R S A a1 a3 S A B a1 b1 a1 b2 a1 b4 a2 b2 a2 b4 a3 b2 R Ζ = {Α, Β} Χ = {Α} R(Z) S(X), X  Z Q(Υ)? Υ = {Β} Υ = Ζ - Χ  tR R, tR[Y] = t και  tR[X] = tS, tS  S

52 Διαίρεση R(Z) S(X), X  Z Το αποτέλεσμα είναι μια καινούργια σχέση Q(Y) όπου Y = Z - X και t  Q(Y) ανν  tR R, tR[Y] = t και  tR[X] = tS, tS  S αναλογία με τη διαίρεση ακεραίων διαίρεση ακεραίων: R / S το αποτέλεσμα Q τέτοιο ώστε: Q * S  R διαίρεση σχέσεων: R S το αποτέλεσμα Q τέτοιο ώστε ...

53 S  π τίτλος, έτος (σ Όνομα Ηθοποιού = Sharon Stone (Παίζει))
Διαίρεση παράδειγμα: βρες τον ηθοποιό που παίζει σε όλες (σε κάθε) ταινία που παίζει και η Sharon Stone. S: Όλες τις ταινίες που παίζει η Sharon Stone Q: Οι ηθοποιοί που (το όνομα τους) εμφανίζονται στη σχέση Παίζει (R) με υπόλοιπα γνωρίσματα να παίρνουν όλες τις τιμές του S S  π τίτλος, έτος (σ Όνομα Ηθοποιού = Sharon Stone (Παίζει)) Q  Παίζει S Χωρίς να χρησιμοποιήσω την πράξη της διαίρεσης;

54 Διαίρεση Iσοδύναμη έκφραση για το Q(Υ)  R(Ζ) S(Χ) Υπολογισμός των πλειάδων που δεν πρέπει να είναι στο αποτέλεσμα. Μια πλειάδα y αποκλείεται από το αποτέλεσμα αν όταν τις συνάψουμε μια τιμή x από το S, η πλειάδα <y, x> δεν ανήκει στο R Τ1  (S x π Y (R)) - R Q  π Y (R) - π Y (T1)

55 Συναθροιστικές Συναρτήσεις
Χρήσιμη η δυνατότητα της συνάθροισης: συνδυασμός των πλειάδων μιας σχέσης για τον υπολογισμό μιας συναθροιστικής τιμής Παραδείγματα: πόσοι ηθοποιοί παίζουν σε μια ταινία, ποιος ηθοποιός πήρε το μεγαλύτερο μισθό, κ.λ.π.

56 Συναθροιστικές Συναρτήσεις
συναρτήσεις που παίρνουν ως παράμετρο μια συλλογή (όχι σύνολο) από τιμές συνήθεις συναρτήσεις: SUM, AVERAGE, MAX, MIN, COUNT (πλήθος πλειάδων) αποτέλεσμα μια σχέση και όχι μια τιμή Ƒ <λίστα συναρτήσεων> (<όνομα σχέσης>) ζεύγη <συνάρτηση γνώρισμα>

57 Συναθροιστικές Συναρτήσεις
Παράδειγμα: μέση διάρκεια ταινιών AVERAGE_διάρκεια 91 Ƒ AVERAGE διάρκεια(Ταινία) Παράδειγμα: παλιότερη και πιο πρόσφατη έγχρωμη ταινία Ƒ ΜΙΝ έτος, ΜΑΧ έτος ( σ είδος = έγχρωμη (Ταινία)) ΜΙΝ_έτος MAX_έτος

58 Συναθροιστικές Συναρτήσεις
Παρατήρηση: σύμβαση για το όνομα των γνωρισμάτων του αποτελέσματος (δηλ, concatenation του ονόματος της συνάρτησης με το όνομα του γνωρίσματος)- δυνατή και η μετονομασία

59 Συναθροιστικές Συναρτήσεις
Ομαδοποίηση <γνωρίσματα ομαδοποίησης> Ƒ <λίστα συναρτήσεων> (<όνομα σχέσης>) Παράδειγμα: πόσοι ηθοποιοί ανά ταινία

60 Συναθροιστικές Συναρτήσεις
Παράδειγμα: αριθμός ηθοποιών ανά ταινία Τίτλος, έτος Ƒ COUNT Όνομα-Ηθοποιού (Παίζει) Τίτλος Έτος COUNT_Όνομα Ηθοποιού Sixth Sense Run Lola Run Eyes Wide Shut Ποιο θα ήταν το αποτέλεσμα αν δεν υπήρχαν τα γνωρίσματα ομαδοποίησης;

61 Αναδρομική Κλειστότητα
Αρ_Ταυτ Διεύθυνση Μισθός Προϊστάμενος R Δεν είναι δυνατόν να βρούμε όλους τους υφισταμένους που επιτηρεί σε οποιοδήποτε επίπεδο ένας συγκεκριμένος προϊστάμενος (π.χ., Αρ_Ταυτ = Μ20200) Π1 (Προϊστ1)  π Αρ_Ταυτ (σ Προϊστάμενος = Μ20200 (R)) Π2(Προϊστ2)  π Αρ_Ταυτ ( Π Προϊστ1 = Προϊστάμενος (R))

62 Εξωτερική Συνένωση Εξωτερική Συνένωση
Όταν θέλουμε να κρατήσουμε στο αποτέλεσμα όλες τις πλειάδες - και αυτές που δεν ταιριάζουν) είτε της σχέσης στα αριστερά (αριστερή εξωτερική συνένωση) είτε της σχέσης στα δεξιά (δεξιά εξωτερική συνένωση) R * S R S Α C B null Α C B 3 null 9 Α C Α B Α C B