ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ I Ενότητα 8: Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό.

Παρουσίαση με θέμα: "ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ I Ενότητα 8: Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ I Ενότητα 8: Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Γιώργος Ψυχάρης Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικό

2 ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ I Γιώργος Ψυχάρης

3 3 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Επισκόπηση του μαθήματος Η έννοια του διδακτικού συμβολαίου Κανόνες του διδακτικού συμβολαίου Ρήξεις του διδακτικού συμβολαίου Τύποι διδακτικών συμβολαίων Παραδείγματα από την έρευνα Επιδράσεις του διδακτικού συμβολαίου

4 4 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Η έννοια του διδακτικού συμβολαίου (1/2) «Καλούμε διδακτικό συμβόλαιο, το σύνολο των συμπεριφορών του διδάσκοντος που αναμένονται από το μαθητή και το σύνολο των συμπεριφορών του μαθητή που αναμένονται από το διδάσκοντα... Αυτό το συμβόλαιο είναι το σύνολο των κανόνων που προσδιορίζουν εν μέρει ρητά αλλά κυρίως υπόρρητα αυτά που ο συμμετέχων στη διδακτική σχέση θα διαχειρίζεται και για τα οποία θα είναι με τον ένα ή με τον άλλο τρόπο υπόλογος απέναντι στον άλλον.» (Henry 2002, σ. 69).

5 5 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Η έννοια του διδακτικού συμβολαίου (2/2) σύνολο υπονοούμενων κανόνων που κατασκευάζεται μέσα από την επανάληψη στο πλαίσιο της σχολικής πρακτικής καθορισμός αντίστοιχων ρόλων μαθητή και εκπαιδευτικού - μέσα στην τάξη - σε σχέση με τη γνώση Από τη μεριά του μαθητή: Ο μαθητής προσπαθεί να αποκωδικοποιήσει την προσδοκία του δασκάλου του, με βάση μόνο τους όρους της ερώτησης – οδηγίας που του απευθύνει, για να δώσει μια «σωστή»- ταιριαστή απάντηση, χωρίς να έχει δώσει ένα νόημα στην ερώτηση - οδηγία.

6 6 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Το διδακτικό συμβόλαιο συνδέεται με τη στρατηγική διδασκαλίας και τη γνώση Το διδακτικό συμβόλαιο εξαρτάται από τη στρατηγική διδασκαλίας, τους διδακτικούς στόχους, την επιστημολογία του εκπαιδευτικού, την αξιολόγηση κ.λπ. Η απόκτηση της γνώσης από τους μαθητές αποτελεί ακρογωνιαίο λίθο του διδακτικού συμβολαίου Οι υπόρρητοι κανόνες του συμβολαίου επηρεάζουν την συμπεριφορές των μαθητών

7 7 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Παράδειγμα Το πρόβλημα της ηλικίας του καπετάνιου Ένας δάσκαλος έδωσε σε 97 μαθητές της Α΄ και Β΄ τάξης Γυμνασίου το παρακάτω πρόβλημα: «Πάνω σε ένα πλοίο υπάρχουν 26 πρόβατα και 10 κατσίκες. Ποια είναι η ηλικία του καπετάνιου;» Από 97 μαθητές, οι 76 απάντησαν χρησιμοποιώντας τους αριθμούς της εκφώνησης. Ίδια δομή με ένα τυπικό πρόβλημα πρόσθεσης

8 8 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Κανόνες του συμβολαίου Στα μαθηματικά ένα πρόβλημα λύνεται κάνοντας πράξεις. Οι ερωτήσεις που τίθενται δεν έχουν προφανή σχέση με την καθημερινή πραγματικότητα ακόμη κι αν εμφανίζονται έτσι. Ένα πρόβλημα έχει μία και μόνη απάντηση. Για να βρεθεί αυτή η απάντηση πρέπει να χρησιμοποιηθούν όλα τα δεδομένα του προβλήματος. Δεν είναι απαραίτητη καμιά άλλη ένδειξη. Η λύση θα βρεθεί στις διδαγμένες γνώσεις.

9 9 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Ρήξη του διδακτικού συμβολαίου (1/3) Το διδακτικό συμβόλαιο εκδηλώνεται όταν παραβιαστεί (ρήξη του συμβολαίου). Μεγάλο μέρος των δυσκολιών των μαθητών εξηγείται από το γεγονός ότι το συμβόλαιο δεν έχει τεθεί σωστά ή δεν έχει κατανοηθεί. Στη διαδικασία της μάθησης περιλαμβάνονται ρήξεις του διδακτικού συμβολαίου.

10 10 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Ρήξη του διδακτικού συμβολαίου (2/3) Παράδειγμα ρήξης του συμβολαίου – Γεωμετρία (Γυμνάσιο) 1 ο συμβόλαιο (Αρχικό στάδιο) : Οι μαθητές καλούνται να αναγνωρίσουν εικόνες και σχήματα, να μάθουν να χρησιμοποιούν τα όργανα σχεδιασμού για να αναπτύξουν γραφική επιδεξιότητα. Τα σχέδια είναι συγκεκριμένα γεωμετρικά αντικείμενα στα οποία μπορούν να ασκήσουν άμεσα μια πράξη (είναι τα σημαινόμενα, signifiés). 2 ο συμβόλαιο (Επόμενο στάδιο): Οι μαθητές οφείλουν προοδευτικά, οφείλουν να δουν τα γεωμετρικά σχήματα ως αναπαραστάσεις αφηρημένων, ιδεατών αντικείμενων. Τα σχέδια στα τετράδια των μαθητών αναπαριστούν μια μόνο εικόνα. (Τα σχέδια αποκτούν έτσι μια υπόσταση σημαίνοντος - signifiant).

11 11 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Ρήξη του διδακτικού συμβολαίου (3/3) Ποιος τύπος απάντησης αναμένεται σε ερωτήσεις όπως: "επαληθεύστε ότι τα τμήματα AB και ΓΔ είναι ίσα"; Στο πρώτο συμβόλαιο, ο μαθητής οφείλει να κάνει ένα επιμελημένο σχέδιο και με το διαβήτη ή τον βαθμονομημένο χάρακα οφείλει να πραγματοποιήσει αυτή την επαλήθευση. Στο δεύτερο συμβόλαιο, πρέπει να ερευνήσει τις υποθέσεις που έχουν επιτρέψει τη δημιουργία του σχήματος, έτσι ώστε η αναφορά σε μια γνωστή ιδιότητα να επιτρέπει την δικαιολόγηση της απάντησης, που είναι έγκυρη ανεξάρτητα από το χαρτί στο οποίο σχεδιάστηκε αυτή η εικόνα.

12 12 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Ενδεικτικοί τύποι διδακτικών συμβολαίων (1/2) «Πιστή αναπαραγωγή» (formal reproduction). - Oι μαθητές ακολουθούν οδηγίες για τη σωστή απάντηση - Βασικές διδακτικές τεχνικές: επανάληψη και μίμηση «Εμπειρισμός» (Sensory empirisism). - Η διδασκαλία επικεντρώνεται στο να δείξει στους μαθητές ποια είναι η σωστή απάντηση - Όχι εγγύηση κατανόησης «Κονστρουκτιβιστικά συμβόλαια» (Constructivist contracts) - Για να έχουμε πραγματική κατανόηση οι μαθητές είναι αναγκαίο “να συμμετέχουν σε όλα τα στάδια μιας μαθηματικής δραστηριότητας”.

13 13 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Ενδεικτικοί τύποι διδακτικών συμβολαίων (2/2) Άλλοι ερευνητές συνδέσουν στενά το εκάστοτε διδακτικό συμβόλαιο με την μαθηματική γνώση που πρόκειται να διδαχτεί. Άλλοι ερευνητές συνδέουν το διδακτικό συμβόλαιο με την Ζώνη Επικείμενης Ανάπτυξης και τις δυνατότητες ανάπτυξης μέσω των μαθηματικών δραστηριοτήτων (π.χ. διάσταση αριθμητικής – άλγεβρας κ.λπ.).

14 14 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Παραδείγματα από την έρευνα (1/2) Γραμμικές συναρτήσεις και αλγεβρικές εξισώσεις σε μαθητές Γ´ Λυκείου Ταύτιση συνάρτησης με γραμμική σχέση Συνήθη λάθη

15 15 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Παραδείγματα από την έρευνα (2/2)

16 16 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Έρευνα για τα νοήματα της διαίρεσης στα σχολικά βιβλία (1/2) Έρευνα της Α. Sierpinska με φοιτητές για τα νοήματα της διαίρεσης όπως παρουσιάζονται σε δύο σχολικά βιβλία Μέθοδος έρευνας: Εστίαση σε δύο παραμέτρους - Στις μαθηματικές έννοιες και τεχνικές που είναι επαρκείς για τη λύση των προβλημάτων - Στις μαθηματικές έννοιες και τεχνικές που αναμένεται να χρησιμοποιήσουν οι μαθητές με βάση το (άρρητο) ‘διδακτικό συμβόλαιο’ οι κανόνες του οποίου μεταφέρονται μέσω του πλαισίου του προβλήματος. Κατηγοριοποίηση των προβλημάτων διαίρεσης

17 17 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Έρευνα για τα νοήματα της διαίρεσης στα σχολικά βιβλία (2/2) Κατηγοριοποίηση των προβλημάτων διαίρεσης Ομάδες φοιτητών κατηγοριοποίησαν τα προβλήματα διαίρεσης σε συγκεκριμένα σχολικά βιβλία στις ΗΠΑ με βάση μια σειρά κριτηρίων όπως για παράδειγμα: Τύπος εμπλεκόμενων μεγεθών: καθαροί αριθμοί, μετρήσεις ή λόγοι μετρήσεων, χρηματικά ποσά Είδος εμπλεκόμενων αριθμών: φυσικοί, κλάσματα, δεκαδικοί, ακέραιοι, ρητοί.

18 18 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Κατηγοριοποίηση των προβλημάτων διαίρεσης (1/4) Παράδειγμα 1: Η συνταγή που θα χρησιμοποιήσει η κ. White για να φτιάξει μπισκότα απαιτεί 3/8 μιας κούπας σοκολάτα. Η ίδια έχει μόνο ¼ μιας κούπας σοκολάτα. Ποιο κλάσμα από όλη τη συνταγή μπορεί να φτιάξει με τη συγκεκριμένη ποσότητα σοκολάτας; Το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με παράκαμψη της πράξης που αναμένεται από τους συγγραφείς:

19 19 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Κατηγοριοποίηση των προβλημάτων διαίρεσης (2/4) Παράδειγμα 1: Η συνταγή που θα χρησιμοποιήσει η κ. White για να φτιάξει μπισκότα απαιτεί 3/8 μιας κούπας σοκολάτα. Η ίδια έχει μόνο ¼ μιας κούπας σοκολάτα. Ποιο κλάσμα από όλη τη συνταγή μπορεί να φτιάξει με τη συγκεκριμένη ποσότητα σοκολάτας; Λύση με χρήση της έννοιας της διαίρεσης ως αναπαράστασης λόγου ποσοτήτων και της έννοιας της ισοδυναμίας κλασμάτων. Χρησιμοποιώντας το ότι ¼=2/8, τότε η κ. White έχει 2/8 και χρειάζεται 3/8. Άρα η σοκολάτα που έχει σε σχέση με την απαιτούμενη είναι η σχέση 2 προς 3. Δηλαδή, μπορεί να φτιάξει τα 2/3 της συνταγής.

20 20 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Κατηγοριοποίηση των προβλημάτων διαίρεσης (3/4) Παράδειγμα 2: Κάνε τη διαίρεση και γράψε το αποτέλεσμα στην απλούστερη μορφή (ενν. 3/2 ως 1 και 1/2) Η διαίρεση ως λόγος και πάλι: 3/5=6/10 Έτσι, το 9/10 προς 6/10 είναι 9 προς 6. Δηλαδή: 3 προς 2.

21 21 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Κατηγοριοποίηση των προβλημάτων διαίρεσης (4/4) Παράδειγμα 3: Ένα πηλίκο ισούται με το διαιρέτη και είναι 4 φορές μεγαλύτερο από το διαιρετέο. Ποιος είναι ο διαιρετέος; Για τη λύση δεν χρειάζεται η διαίρεση ως πολ/μός με τον αντίστροφο. Η κατανόηση της διαίρεσης ως λόγου και του λόγου ως αριθμού είναι αρκετή. Αν a o διαιρετέος και b ο διαιρέτης, τότε είναι a:b=b και a:b=4a. Αυτό σημαίνει ότι: b=4a. Οπότε: a:b=a:4a=1/4. Aλλά: a:b=b, έτσι b=1/4 Aλλά b=4a έτσι το a είναι ¼ του b. Δηλαδή: a=1/16

22 22 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Το διδακτικό συμβόλαιο του σχολικού βιβλίου 1.Στο βιβλίο προηγούνταν ως παραδείγματα προβλήματα που είχαν λυθεί με διαίρεση. 2.Η λύση των προβλημάτων που είδαμε εδώ, χωρίς το (άρρητο) διδακτικό συμβόλαιο που μεταφέρουν τα λυμένα παραδείγματα του βιβλίου, δεν απαιτεί τη γνώση της διαίρεσης ως μια αριθμητική πράξη σε αριθμούς. Η γνώση του λόγου ακεραίων είναι επαρκής. 3.Στο βιβλίο, η αλγεβρική έννοια της διαίρεσης δεν προκύπτει μέσα από μια εννοιολογική αναγκαιότητα. 4.Η άρρητη διδακτική προσέγγιση που υποβάλλεται μέσω μέσω του διδακτικού συμβολαίου αναφέρεται σε μια κατάσταση επισημοποίησης όπου η διαίρεση διδάσκεται ως κανόνας και όχι ως μαθηματική έννοια.

23 23 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Επιδράσεις του διδακτικού συμβολαίου (1/5) Φαινόμενο Jourdain Μια συνηθισμένη συμπεριφορά του μαθητή ερμηνεύεται ως εκδήλωση μιας επιστημονικής γνώσης Φαινόμενο Topaze Όταν ο μαθητής συναντά μια δυσκολία, ο εκπαιδευτικός οικειοποιείται το ρόλο του μαθητή και τη λύνει με κάποιο τρόπο, αντί να αφήσει το μαθητή να την ξεπεράσει με τις δικές του δυνάμεις. Μεταγνωστικό ολίσθημα Μια τεχνική, που κρίνεται χρήσιμη για τη λύση ενός προβλήματος γίνεται η ίδια αντικείμενο μελέτης και συσκοτίζει την πραγματική γνώση που πρέπει να διδαχθεί.

24 24 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Επιδράσεις του διδακτικού συμβολαίου (2/5) Φαινόμενο Jourdain - Ο εκπαιδευτικός αναγνωρίζει την ένδειξη μιας επιστημονικής γνώσης στις απαντήσεις του μαθητή - Ο μαθητής χρησιμοποιεί ένα παράδειγμα και ο καθηγητής βλέπει εκεί τη δομή της γνώσης Παράδειγμα Μαθητής: 2x1=2, 1x2=2 Καθηγητής: Ωραία, γνωρίζεις ότι το 1 είναι ουδέτερο για τον πολλαπλασιασμό και ότι η αντιμετάθεση των αριθμών δεν επηρεάζει τον πολλαπλασιασμό. Ο μαθητής απαντά μέσω μιας συνηθισμένης αναγνώρισης και ο καθηγητής βεβαιώνει την αξία αυτής της δραστηριότητας μέσω ενός μαθηματικού και επιστημονικού λόγου.

25 25 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Επιδράσεις του διδακτικού συμβολαίου (3/5) Φαινόμενο Topaze - Ο εκπαιδευτικός αναλαμβάνει το ρόλο του μαθητή - Ο εκπαιδευτικός υποβάλλει την απάντηση μέσα από διάφανους κανόνες

26 26 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Επιδράσεις του διδακτικού συμβολαίου (4/5) Παράδειγμα Πέρασμα από τον πολλαπλασιασμό στην πρόσθεση – Ο δάσκαλος: 5x4 (5 φορές το 4: επανάληψη του 4). – Ο μαθητής: 4+4+4+4+4=20. – Ο δάσκαλος απλοποιεί την εργασία ενεργώντας με τέτοιο τρόπο, ώστε ο μαθητής να επιτυγχάνει τη σωστή απάντηση με μια συνηθισμένη κατανόηση των ερωτήσεων του δασκάλου και όχι μέσω μιας ειδικής αυθεντικής μαθηματικής δραστηριότητας πάνω στην προτεινόμενη δομή.

27 27 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Επιδράσεις του διδακτικού συμβολαίου (5/5) Μεταγνωστικό ολίσθημα Μια τεχνική, που κρίνεται χρήσιμη για τη λύση ενός προβλήματος γίνεται η ίδια αντικείμενο μελέτης και συσκοτίζει την πραγματική γνώση που πρέπει να διδαχθεί. Παράδειγμα Οι κανόνες χρήσης των πινάκων αναλογιών, που χρησιμοποιούνται διδακτικά χωρίς να γίνεται επεξεργασία σε βάθος της έννοιας (π.χ. διερεύνηση μεταβολών).

28 Τέλος Ενότητας

29 29 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στo πλαίσιo του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

30 Σημειώματα

31 31 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Σημείωμα Αναφοράς Copyright Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Γιώργος Ψυχάρης, 2014. Γιώργος Ψυχάρης. «Διδακτική Μαθηματικών I. Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο ». Έκδοση: 1.0. Αθήνα 2014. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: http://opencourses.uoa.gr/courses/MATH307.

32 32 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί.

33 33 Διδακτικές καταστάσεις και διδακτικό συμβόλαιο Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει:  το Σημείωμα Αναφοράς  το Σημείωμα Αδειοδότησης  τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων  το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους.