Αρχές επαγωγικής στατιστικής Τμήμα :Νοσηλευτικής Πατρών Διδάσκουσα: Παναγιώταρου Αλίκη Διάλεξη 9.

Παρουσίαση με θέμα: "Αρχές επαγωγικής στατιστικής Τμήμα :Νοσηλευτικής Πατρών Διδάσκουσα: Παναγιώταρου Αλίκη Διάλεξη 9."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Αρχές επαγωγικής στατιστικής Τμήμα :Νοσηλευτικής Πατρών Διδάσκουσα: Παναγιώταρου Αλίκη Διάλεξη 9

2 Για να εξετάσουμε την λειτουργία της κατανομής διακρίνουμε τις περιπτώσεις: – Αν ο πληθυσμός όπου παίρνουμε τα δείγματα ακολουθεί την κανονική κατανομή – Αν η τιμή της διασποράς του πληθυσμού είναι γνωστή.

3 (1)Η δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου όταν ο πληθυσμός ακολουθεί την κανονική κατανομή και έχει γνωστή διασπορά(z κατανομή) Εστω Χ ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και πεπερασμένη διασπορά σ 2 Τότε η δειγματική κατανομή του ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή μ και διασπορά σ 2 /n Και έτσι η ποσότητα όπου n τυχαία δείγματα του πληθυσμού Ετσι οι τιμές του αριθμητικού μέσου που προέρχεται από κανονικό πληθυσμό με γνωστές τις τιμές των παραμέτρων μπορούν να ερμηνευτούν με βάση την έννοια της πιθανότητας

4 Παράδειγμα Εστω η διάρκεια μιας νόσου σε παιδιά ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέση τιμή 15 ημέρες και τυπική απόκλιση 4.Απο τον πληθυσμό επιλέγουμε τυχαία ένα δείγμα μεγέθους n=20.Ζητάμε την πιθανότητα, η μέση διάρκεια της νόσου του δείγματος να είναι μεγαλύτερη των 17 ημερών.

5 Κατανομή κανονικού πληθυσμού, δειγματικής κατανομής αριθμητικού μέσου και τυποποιημένης κανονικής κατανομής

6 Έχουμε ότι Ζητάμε την πιθανότητα

7 Κεντρικό οριακό θεώρημα Θεωρούμε έναν πληθυσμό που αντιστοιχεί στις τιμές της τυχαίας μεταβλητής Χ, με μέση τιμή μ και πεπερασμένη διασπορά σ 2. Από τον πληθυσμό επιλέγουμε τυχαία δείγματα μεγέθους n και έστω η τυχαία μεταβλητή των αριθμητικών μέσων των δειγμάτων. Τότε η δειγματική κατανομή του τείνει προς την κανονική κατανομή με μέση τιμή καθώς το μεγεθός του n αυξάνεται. Στην οριακή περίπτωση έχουμε:

8 Η δειγματική κατανομή του αριθμητικού μέσου όταν ο πληθυσμός ακολουθεί την κανονική κατανομή και έχει άγνωστη διασπορά(η t κατανομή) Η κατανομή πιθανότητας μιας τυχαίας μεταβλητής αυτής είναι: βαθμούς ελευθερίας Το S αντιστοιχεί στην τιμή της τυπικής απόκλισης δείγματος Εξαρτάται από τους βαθμούς ελευθερίας δηλαδή από το μέγεθος του δείγματος

9 Παράδειγμα Εστω ότι οι τιμές του δείκτη της ανθρώπινης νοημοσύνης ακολουθούν την κανονική κατανομή με μέση τιμή 110 μονάδες νοημοσύνης. 96125105130927685124128 9510110011211513088 Ζητάμε την πιθανότητα η μέση τιμή του δείκτη νοημοσύνης στο δείγμα να διαφέρει το πολύ 10 μονάδες από την μέση τιμή του πληθυσμού

10 Λύση(1) Χ, μ μέση τιμή του πληθυσμού και την μέση τιμή στο δείγμα των n=16 ατόμων Η μεταβλητή Χ ακολουθεί κανονική κατανομή η οποία έχει μέση τιμή μ=110 και άγνωστη διασπορά Η ζητούμενη πιθανότητα είναι:

11 Λύση(2) Το δείγμα ακολουθεί την t-κατανομή με ν=n-1=16- 1=15 βαθμούς ελευθερίας Υπολογίζουμε την τιμή S : Αρα η στατιστική

12 Λύση (3) Οπότε η πιθανότητα είναι μετατρέποντας τις τιμές σε τιμές t-κατανομής: Από τον πίνακα της t-κατανομής υπολογίζεται η ζητούμενη πιθανότητα που είναι :

13 Σύγκριση μέσων όρων z-κατανομή(όταν ξέρω την τυπική απόκλιση του πληθυσμού) H κάθε κανονική κατανομή ανάγεται στην τυπική κανονική κατανομή με την μετατροπή:  t-κατανομή( όταν δεν ξέρω την τυπική απόκλιση του πληθυσμού) H t κατανομή μοιάζει με την κανονική και το σχήμα της από τους β.ε.(το μέγεθος του δείγματος):

14 Παράδειγμα(1) Θέλουμε να εξετάσουμε την κατανομή του ύψους των ανδρών με ύψος 159 έως 184 που περιγράφεται από την κανονική κατανομή με μ=171,5 και σ=6,5. Λύση: Μετατρέπω τις τιμές σε z τιμές z=(159-171.5)/6.5=-1.96 και z=(184-171.5)/6.5=1.96 Δηλαδή το 95% του πληθυσμού έχει ύψος μεταξύ: 171.5-1.96*6.5=159 και 171.5+1.96*6.5=184.

15 Παράδειγμα(2) Η μέση τιμή του πραγματικού χρόνου ανακούφισης ενός συγκεκριμένου φαρμάκου δίνεται ότι είναι 2,5 ώρες. Σε ένα δείγμα η διάρκεια ανακούφισης 6 ασθενών μετά την χορήγηση φαρμάκου είναι : 2.2, 2.4, 4.9, 2.5, 3.7, 4.3 Άρα η Οπότε το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο χρόνο ανακούφισης ασθενών είναι (3.3-2.57*0.46, 3.3+2.57*0.46) ή (2.1, 4.5hrs) Ή υπάρχει 95% πιθανότητα η μέση τιμή του πραγματικού χρόνου ανακούφισης να βρίσκεται στο διάστημα αυτό.

16 H δειγματική κατανομή της διασποράς-Η x 2 κατανομή Ο πληθυσμός που επιλέγουμε τα δείγματα ακολουθεί την κανονική κατανομή Υποθέτουμε ότι η διασπορά που τους αντιστοιχεί είναι η Οπότε η δειγματική κατανομή της τ.μ. S 2 μελετάται μέσω της δειγματικής κατανομής μιας άλλης τ.μ. με x 2 και ορίζεται :

17 Παράδειγμα Εστω οι τιμές IQ μικρών παιδιών ηλικίας 5-10 ετών μιας χώρας ακολουθούν την κανονική κατανομή με τυπική απόκλιση σ=7 μονάδες IQ.Επιλέγουμε ένα τυχαίο δείγμα 41 παιδιών. Θέλω να υπολογίσω την πιθανότητα: «οι τιμές του IQ στο δείγμα να έχουν τυπική απόκλιση μεγαλύτερη από οκτώ μονάδες IQ.»

18 Λύση Εστω S IQ η τυπική απόκλιση των τιμών του δείγματος Ζητάω την πιθανότητα P(S IQ >8) Επομένως η ζητούμενη πιθανότητα μπορεί να προσδιοριστεί : Από τον πίνακα βρίσκουμε