Γενική εισαγωγή στη φυσικοχημεία Dr. Παρθένα Παναγιωτίδου

Παρουσίαση με θέμα: "Γενική εισαγωγή στη φυσικοχημεία Dr. Παρθένα Παναγιωτίδου"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Γενική εισαγωγή στη φυσικοχημεία Dr. Παρθένα Παναγιωτίδου npanagiotidou@yahoo.gr panagiot@mbg.duth.gr

2 Θεωρία – διαλέξεις- Εργαστήρια (3) – υποχρεωτικά Αναφορές 15% Εξετάσεις85%

3 Τι είναι η φυσικοχημεία; H εφαρμογή της φυσικής σε μακροσκοπικά, μικροσκοπικά, ατομικά και υποατομικά φαινόμενα σε διάφορα χημικά συστήματα Περιλαμβάνει αρχές και νόμους της θερμοδυναμικής, κβαντικής χημείας, χημικής κινητικής και μηχανικής

4 Με τι θα ασχοληθούμε εμείς; Βασικές μαθηματικές γνώσεις Θερμοδυναμική Χημική κινητική και ταχύτητα αντιδράσεων Μοριακή και κυτταρική βιοφυσική

5 Μερικά μαθηματικά Επανάληψη στις βασικές έννοιες Πρωτοβάθμιες και δευτεροβάθμιες εξισώσεις Γραφικές παραστάσεις Ταυτότητες Τριγωνομετρία Λογάριθμοι και ιδιότητες Παράγωγοι Ολοκληρώματα

6 Θερμοδυναμική Συστήματα Νόμοι της θερμοδυναμικής και εφαρμογές τους Ελεύθερη ενέργεια, ενθαλπία, εντροπία, έργο Θερμοχημεία Ισόχωρη-ισοβαρής-ισόθερμη-αδιαβατική μεταβολή Θερμοδυναμική και βιολογικά συστήματα

7 Χημική κινητική Xημική αντίδραση Ταχύτητα αντιδράσεων Τάξη αντιδράσεων Σταθερές αντιδράσεων

8 Μοριακή και κυτταρική βιοφυσική Στερεοχημεία Μοριακές αλληλεπιδράσεις Βιολογικά μακρομόρια και πρόβλεψη δομών Υγροί κρύσταλλοι Μεθοδολογίες (χρωματογραφία, υπερφυγοκέντρηση, CD, NMR…)

9 Μερικά βασικά μαθηματικά

10 Τα φυσικά μεγέθη και πώς τα εκφράζουμε Χρόνος: Σε ώρες; Σε λεπτά; Σε δευτερόλεπτα; Σε χρόνια; Απόσταση: Σε μέτρα; Σε πόδια; Σε έτη φωτός; Πίεση: σε ατμόσφαιρες; Σε N/m 2 ; Σε mm Hg; Ενέργεια: σε Joule; Σε cal; Σε kWh; P = 12 kN/m 2 Μεταβλητή Φυσικό μέγεθος Αριθμός Πρόθεμα Μονάδες P = 12 kN/m 2 Όχι 12 σκέτο!

11 Μερικά βασικά μαθηματικά – μετρικά προθέματα μονάδων 10 0 =11m 10 3 k kilo1kcal 10 6 M mega1Ms 10 9 G giga GHz 10 12 T teraTbyte 10 15 P peta1Pm 10 18 Eexa1Es 10 -18 a atto1as 10 -15 f femto1fm 10 -12 p pico1pmol 10 -9 n nano1nl 10 -6 μ micro1μg 10 -3 m milli1ms 10 -2 c centi1cm 10 -1 d deci1dl Υποδιαιρέσεις Πολλαπλάσια

12 Διεθνές σύστημα μονάδων SI Βασικά μεγέθησύμβολομονάδα SI μήκοςlμέτρο (m) μάζαmκιλό (kg) χρόνοςtδευτερόλεπτο (sec s) ένταση ρεύματοςIΑμπέρ (Amp A) θερμοκρασίαT o βαθμοί Κέλβιν (K) ποσότητα χημικής ουσίαςnμολ (mol) ένταση φωτόςI v καντέλα (cd)

13 Διεθνές σύστημα μονάδων SI Σύνθετα μεγέθησύμβολομονάδα SI ΕπιφάνειαΑ=S x *S y m 2 ΌγκοςV=S x *S y *S z m 3 Ταχύτηταυ=S/tm/sec Επιτάχυνση γ=υ/tm/sec 2 Πυκνότητα d ή ρ = m/Vkg/m 3 ΔύναμηF=mγkg*m/sec 2 ΠίεσηP=F/Akg/m/sec 2

14 Άλλες μονάδες Μέγεθοςμονάδα SI μονάδα μη-SI Ενέργεια ΕJoule Jcal = 4,184 J Μήκος Smetre mÅ angstrom = 10 -10 m Όγκος Vm 3 litre = (dm) 3 = 10 -3 m 3 Πίεση PN/m 2 (Pa)atm = 101325 Pa

15 Φυσικοί – οι θετικοί ακέραιοι Ν={0,1,2,3...} Ακέραιοι – οι ακέραιοι Ζ={...-3,-2,-1,0,1,2,3...} Ρητοί – οι αριθμοί που μπορούν να γραφούν ως κλάσμα Q={κ/λ, κ  Ζ, λ  Ζ} Άρρητοι – οι αριθμοί που δεν μπορούν να γραφούν ως κλάσμα ακεραίων (π, e,  5) Πραγματικοί R – το σύνολο των ρητών και των άρρητων Φανταστικοί I – πολλαπλάσια της φανταστικής μονάδας ί =  -1 Μιγαδικοί – Αριθμοί με πραγματικό και φανταστικό σκέλος (a+ib)(a,b   ) Βασικά σύνολα αριθμών

16 Πρωτοβάθμιες και δευτεροβάθμιες εξισώσεις Πρωτοβάθμιες εξισώσεις (x + k = n) x+3=5  x = 5 – 3  x = 2 5x = 30  x = 30/5  x = 6 5x – 12 = 23  5x = 23 + 12  5x = 35  x = 35/5  x = 7 Δευτεροβάθμιες εξισώσεις (αx 2 + βx =  γ  αx 2 + βx  γ = 0) Το x βρίσκεται από την εξίσωση x = (-β   Δ)/2α Δ = β 2 – 4αγ 3x 2 + 2x = 1  3x 2 + 2x – 1 = 0 Δ = 2 2 – 4*3*(-1) = 4 – (-12) = 4 + 12 = 16  16 =  4 x α,β = (-2   16)/2*3 = (-2  4)/6 x α = (-2 – 4)/6 = -6/6  x = -1 x β = (-2 + 4)/6 = 2/6  x = 1/3

17 Ταυτότητες ( α + β ) 2 = α 2 + 2αβ + β 2 ( α − β ) 2 = α 2 − 2αβ + β 2 ( α + β + γ ) 2 = α 2 + β 2 + γ 2 + 2αβ + 2βγ + 2γα ( α + β ) 3 = α 3 + 3α 2 β + 3αβ 2 + β 3 ( α − β ) 3 = α 3 − 3α 2 β + 3αβ 2 − β 3 α 2 − β 2 = ( α − β )( α + β ) α 3 − β 3 = (α − β)(α 2 + αβ + β 2 ) α 3 + β 3 = (α + β)(α 2 − αβ + β 2 ) ( x + α )(x + β) = x 2 + (α + β)x + αβ ( x − α )(x − β) = x 2 − (α + β)x + αβ

18 Ιδιότητες δυνάμεων α x α y = α x+y (αβ) x = α x.β x α x :α y = α x–y (α x ) y = α xy α -x = 1/α x α¹ = α αν α x = 1  x = 0 αν α x = α y  x = y

19 Λογάριθμοι και ιδιότητες Ο λογάριθμος με βάση α του x είναι log α (x) = y όπου α y = x Αν α= 10, log x Αν α= e, ln x Ιδιότητες log x x α = α log α x c = c log x log α xy = log α x + log α y log α x/y = log α x - log α y log α α = 1, log α 1 = 0 log b x = (log a x)/(log a b)

20 Τριγωνομετρία Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ημ θ = y/r, συν θ = x/r εφ θ = y/x, σφ θ = x/y ημ 2 θ + συν 2 θ = 1 Νόμος ημιτόνων α/ημΑ = b/ημΒ = c/ημC Νόμος συνημιτόνων a2 = b2 + c2. 2bc cos A b2 = a2 + c2. 2ac cos B c2 = a2 + b2. 2ab cos C

21 Γραφικές παραστάσεις και διαγράμματα Ένας εύκολος τρόπος για να απεικονιστεί η σχέση μεταξύ των διαφόρων μεγεθών είναι η γραφική παράσταση. άξονας xx’  ελεγχόμενη μεταβλητή άξονας yy’  εξαρτημένη μεταβλητή Οι άξονες αναπαριστούν μεγέθη ΑΡΑ έχουν τίτλο και μονάδες Τύπος εξάρτησης (γραμμική, εκθετική, πολυωνυμική κλπ) Γραφική παράσταση – πως κατασκευάζεται Πίνακας τιμών

22 Γραφικές παραστάσεις και διαγράμματα Απορρόφηση στα 280nm Συγκέντρωση πρωτεΐνης (mg/ml)

23 Διαγράμματα Γραμμική εξάρτηση y από χ y=αx+β Μη γραμμική εξάρτηση y από χ y=αx 2 y ανεξάρτητο από χ y=5 (σταθερό) y ανεξάρτητο από χ αλλά μεταβαλλόμενο y=5κ

24 Παράγωγοι Η εξάρτηση του y από το x σημαίνει ότι το y είναι συνάρτηση του x y=f(x) Παράγωγος μέτρο για το πώς αλλάζει μια συνάρτηση όταν αλλάζουν οι τιμές της εισόδου της μέθοδος για τον υπολογισμό του βαθμού με τον οποίο αλλάζει μια ποσότητα y όταν αλλάζει μια άλλη ποσότητα, x, από την οποία εξαρτάται Αυτός ο βαθμός αλλαγής ονομάζεται παράγωγος Αν x και y είναι πραγματικοί αριθμοί και αν σχεδιαστεί η γραφική παράσταση του y συναρτήσει του x, τότε η παράγωγος δίνει την κλίση αυτής της γραφικής παράστασης σε κάθε σημείο.

25 Παράγωγοι

26 Ευθύγραμμη ομαλή κίνηση t = 0 s x = 0 m,t = 1 s x = 2 m,t = 2 s x = 4 m κ.ο.κ. ίσα χρονικά διαστήματα = ίσες αποστάσεις u = 2 m/s Το διάγραμμα x-t είναι μια ευθεία γραμμή Ποια είναι η ταχύτητα όταν t = 4 s; x/t (εφόσον έχουμε ξεκινήσει από x, t = 0, 0) x/t = 8m / 4s = 2 m/s Κλίση ευθείας διαγράμματος Παράδειγμα 1

27 Παράδειγμα 2 Τι γίνεται στην περίπτωση ενός οδηγού που αυξομειώνει την ταχύτητά του; Μη ομαλά μεταβαλλόμενη κίνηση Πώς μπορούμε να βρούμε την ταχύτητα σε διαφορετικά σημεία της καμπύλης; Ο τύπος x/t θα μας δώσει λάθος αποτελέσματα στο σημείο Β δίνει x/t = 80m / 4s = 20m/s Κλίση της ευθείας ΟΒ αλλά δεν έχει σχέση με την ταχύτητα Μεγάλη κλίση  μεγάλη ταχύτητα

28 Η κλίση ευθείας μεταξύ δύο σημείων Α(tA, xA) και Β(tΒ, xΒ) ορίζεται ως λ = (xΒ - xA) / (tΒ - tA) Ας κοιτάξουμε μια καμπύλη “σε μικροσκόπιο” Για μικρά διαστήματα η καμπύλη δεν αλλάζει απότομα και μπορούμε να την θεωρήσουμε ως σύνολο πολύ μικρών ευθύγραμμων τμημάτων. Παράδειγμα 2 Η κλίση της καμπύλης σε ένα σημείο είναι κατά προσέγγιση ίση με την κλίση του αντίστοιχου ευθύγραμμου τμήματος Π.χ. στο τμήμα Α-Β η κλίση είναι λ = (49-36 μm)/(7-6 μs)=13 m/s

29 Όσο μικρότερο το ευθύγραμμο τμήμα τόσο το καλύτερο Μαθηματικώς όταν κάτι γίνεται μικρότερο και μικρότερο λέμε ότι παίρνουμε το όριο του στο μηδέν. Έτσι η πιο ακριβής γραφή της εξίσωσης λ = (xΒ - xA) / (tΒ - tA) θα ήταν Αν tA μια τυχαία χρονική στιγμή t τότε tΒ = tA + Δt. Εάν το x είναι μια συνεχής συνάρτηση του t, δηλαδή x(t), τότε η κλίση την χρονική στιγμή t δίνεται από την Παράδειγμα 2

30 Παράγωγοι Ο γενικός κανόνας είναι f’(ax n ) = anx n-1 f’(3) = 0 f’(x 3 ) = 3x 2 f’(4x 5 ) = 20x 4 f’(4x 5 + 9) = 20x 4

31 Παράγωγοι

32 Μερικές παράγωγοι Έστω f μια συνάρτηση που εξαρτάται από παραπάνω από μία μεταβλητές. Πχ Η f μπορεί να θεωρηθεί ως μια οικογένεια συναρτήσεων μιας μεταβλητής με δείκτες τις άλλες μεταβλητές Θέτουμε δηλαδή μια σταθερή τιμή στη μια μεταβλητή – για κάθε τιμή του x υπάρχει μια f x (y) Aν x=α, τότε η f x (y) = f α (y) = α 2 +αy+y 2 Συνάρτηση μιας μεταβλητής ∂ είναι το σύμβολο της μερικής παραγώγου

33 Aόριστα ολοκληρώματα Tο αόριστο ολοκλήρωμα είναι απλά το αντίθετο της παραγώγου. Έτσι εάν π.χ. η f(x) είναι η παράγωγος της F(x) (δηλαδή F = df / dt) τότε η f(t) είναι το αόριστο ολοκλήρωμα της F(t). ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: F(x)= ∫ f (x)dx = ∫ df (x) Ο όρος "ολοκλήρωμα" μπορεί επίσης να αναφέρεται στην έννοια της αντιπαραγώγου ή παράγουσας συνάρτησης, η οποία είναι μια συνάρτηση F της οποίας η παράγωγος είναι η αρχική f. Αθροίσματα απειροελάχιστων μεταβολών Το αόριστο ολοκλήρωμα είναι μια οικογένεια συναρτήσεων, οι οποίες για κάθε x έχουν ίσες παραγώγους, άρα ίσες κλίσεις.

34 Η εύρεση της θέσης S(t) ενός σώματος τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστή η ταχύτητά του υ(t) που, όπως γνωρίζουμε, είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x = S(t) ή Η εύρεση του πληθυσμού N(t) μιας κοινωνίας βακτηριδίων τη χρονική στιγμή t, αν είναι γνωστός ο ρυθμός αύξησης N′(t) του πληθυσμού. Εφαρμογές ολοκληρωμάτων

35 Aόριστα ολοκληρώματα Γενικά ισχύει f(x)=ax n ⇔ F(x)= a[x n+1 /(n+1)]+c, n≠-1 Δηλαδή F 3dx = 3x + c F x 3 dx = x 4 /4 + c F 4x 5 dx = 4x 6 /6 + c

36 Oρισμένα ολοκληρώματα Δεδομένης μιας συνάρτησης f(x), μιας πραγματικής μεταβλητής x και ένα διάστημα [a,b] της γραμμής των πραγματικών αριθμών, το ολοκλήρωμα αντιστοιχεί στο εμβαδό της περιοχής του επιπέδου xy που περικλείεται από το γράφημα της f, τον άξονα x και τις κάθετες γραμμές x=a και x=b, μείον την επιφάνεια που βρίσκεται κάτω από τον άξονα x.

37 Oρισμένα ολοκληρώματα Έστω η συνάρτηση f(x) = 5x 2 Nα βρεθεί το ολοκλήρωμα στο διάστημα [3,8] 3  8 5x 2 dx = 5 3  8 x 2 dx !x 2 dx = x 3 /3 5 3  8 x 2 dx = 5(8 3 /3-3 3 /3) = 808