ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 5 η : Η ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη: Έργο δυνάμεων – γενικευμένες δυνάμεις και γενικευμένες μετακινήσεις – η αρχή των δυνατων έργων.

Παρουσίαση με θέμα: "ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 5 η : Η ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη: Έργο δυνάμεων – γενικευμένες δυνάμεις και γενικευμένες μετακινήσεις – η αρχή των δυνατων έργων."— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 5 η : Η ΑΡΧΗ ΤΩΝ ΔΥΝΑΤΩΝ ΕΡΓΩΝ Διάλεξη: Έργο δυνάμεων – γενικευμένες δυνάμεις και γενικευμένες μετακινήσεις – η αρχή των δυνατων έργων. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ. ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ

2 Έργο δύναμης δίσκου με μεταφορική κίνηση Έστω δίσκος στον οποίο ασκείται μια δύναμη P και ο οποίος μετακινείται κατά u. Τότε το έργο της δύναμης είναι: ΠΡΟΣΟΧΗ: μεταξύ δύναμης P και μετακίνησης u δεν υπάρχει σχέση αίτιου – αιτιατού. Δηλαδή, η μετακίνηση u δεν είναι μετακίνηση που προκαλείται από την εφαρμογή της P. Για το έργο δύναμης ισχύει: Όταν φ 0. Όταν φ=90° → W=0. Όταν φ>90° → W<0. 2

3 Έργο δύναμης σε υλικό σημείο Έστω υλικό σημείο στο οποίο ασκείται n αριθμός δυνάμεων P. Για μια μετακίνηση u υπολογίζεται το έργο κάθε δύναμης για τη μετακίνηση αυτή. Κάθε δύναμη και η u αναλύονται σε συνιστώσες x και y και υπολογίζεται: ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ: Το έργο των δυνάμεων που δρουν σε ένα υλικό σημείο ισούται με το έργο της συνισταμένης τους. Άρα, οι δυνάμεις που είναι στατικά ισότιμες είναι και εργικά ισότιμες. 3

4 Έργο δύναμης σε δίσκο με περιστροφική κίνηση Έστω δίσκος που εκτελεί μια καθαρή περιστροφική κίνηση με κάποιο τρόπο και στον οποίο επιβάλλεται δύναμη P. Έστω o πόλος περιστροφής Ω. Το σημείο εφαρμογής της P μετακινείται κάθετα στην πολική ακτίνα r. Ισχύει: Εάν φέρουμε μια κάθετη από το Ω στην P, προκύπτει τμήμα με μήκος d και γωνία φ, άρα r*cosφ=d. Επίσης, η ροπή Μ της δύναμης P ως προς τον απόλυτο πόλο περιστροφής Ω είναι Μ Ω =P*d. Με βάση τα παραπάνω: 4

5 Έργο δύναμης σε δίσκο – γενικευμένος τύπος ΣΗΜΕΙΩΣΗ: Όταν ο δίσκος του προηγούμενου σχήματος μετακινείται πρώτα με μεταφορική κίνηση u x και u y και μετά με περιστροφή γύρω από το σχετικό πόλο περιστροφής Ω’ (με Μ Ω’ τη ροπή της P ως προς το σχετικό πόλο περιστροφής), τότε ισχύει ο γενικευμένος τύπος του έργου του δίσκου: 5

6 Γενικευμένη δύναμη Γενικευμένη δύναμη: Ομάδα δυνάμεων που αυξάνονται ή μειώνονται με τον ίδιο τρόπο, δηλαδή σε συνάρτηση με την ίδια παράμετρο: P 1 = KP 10 P 2 = KP 20 : P n = KP n0 6

7 Γενικευμένη μετακίνηση Γενικευμένη μετακίνηση: Είναι εργικά αντίστοιχη της γενικευμένης δύναμης και είναι ομάδα μετακινήσεων που αυξάνονται ή μειώνονται με τον ίδιο τρόπο, δηλαδή σε συνάρτηση με την ίδια παράμετρο: u 1 = δu 10 u 2 = δu 20 : u n = δu n0 Επίσης, η κάθε μια μετακίνηση ξεχωριστά έχει διεύθυνση εκείνη της αντίστοιχης δύναμης P, όπως φαίνεται στο σχήμα. Ακόμη, ισχύει: 7

8 Έργο γενικευμένης δύναμης Το έργο της γενικευμένης δύναμης για την εργικά αντίστοιχη γενικευμένη μετακίνηση είναι ίσο με: 8

9 1 η περίπτωση γενικευμένης δύναμης Η πιο απλή περίπτωση γενικευμένης δύναμης είναι η απλή δύναμη και η εργικά αντίστοιχη γενικευμένη μετακίνηση είναι η προβολή της u στην P, όπως φαίνεται στο σχήμα: Στην περίπτωση της απλής δύναμης ισχύει: K = P W = Kδ 9

10 2 η περίπτωση γενικευμένης δύναμης Η δεύτερη περίπτωση γενικευμένης δύναμης είναι η διπλή δύναμη, που αποτελείται από δύο ίσες, συνευθειακές και αντίθετες δυνάμεις: Εργικά αντίστοιχη είναι η προβολή δ της αμοιβαίας μετακίνησης των σημείων επιβολής των δυνάμεων P πάνω στο φορέα των δυνάμεων. Δu: η αμοιβαία μετακίνηση των σημείων εφαρμογής των P, δηλαδή η μετακίνηση του ενός σημείου εφαρμογής σε σχέση με το άλλο. Στην περίπτωση της διπλής δύναμης ισχύει:K = P W = Kδ W = Pδ 1 + Pδ 2 = P(δ 1 + δ 2 ) = Pδ 10

11 3 η περίπτωση γενικευμένης δύναμης Η τρίτη περίπτωση γενικευμένης δύναμης είναι η απλή ροπή. Ισχύει Κ = Μ. Εργικά αντίστοιχο μέγεθος είναι η γωνία στροφής ω. Χαράζεται μια ευθεία, η οποία μετατοπίζεται μετά τη μετακίνηση και σχηματίζει με την αρχική της θέση γωνία ω. Τότε ισχύει δ = ω. Επομένως, στην περίπτωση αυτή ισχύει: W = Kδ = Μω 11

12 4 η περίπτωση γενικευμένης δύναμης Η τέταρτη περίπτωση γενικευμένης δύναμης είναι η διπλή ροπή, που αποτελεί ένα σύστημα δύο ίσων και αντίθετων ροπών, όπως φαίνεται στο σχήμα: Χαράζονται οι ευθείες, όπως και πριν, και προσδιορίζεται η θέση τους μετά την περιστροφή. Ισχύει: ω = ω 1 + ω 2 Κ = Μ δ = ω Η εργικά αντίστοιχη μετακίνηση είναι η γωνία αμοιβαίας στροφής ω. Ισχύει: W = Mω 1 + Μω 2 = Μ(ω 1 + ω 2 ) = Μω = Κδ 12

13 5 η περίπτωση γενικευμένης δύναμης Η πέμπτη περίπτωση γενικευμένης δύναμης είναι το απλό ζεύγος δυνάμεων και το εργικά αντίστοιχο μέγεθος είναι η γωνία στροφής ω του μοχλοβραχίονα του ζεύγους, όπως φαίνεται στο σχήμα: Χαράζεται η ευθεία που ενώνει τα σημεία εφαρμογής των δυνάμεων (μοχλοβραχίονας). Μετά τη μετακίνηση η ευθεία αυτή έχει περιστραφεί κατά γωνία ω. Ισχύει: Κ =Pd = Μ δ = ω 13

14 6 η περίπτωση γενικευμένης δύναμης Η έκτη και τελευταία περίπτωση γενικευμένης δύναμης είναι το διπλό ζεύγος δυνάμεων που αποτελεί ένα σύστημα ίσων και αντίθετων ζευγών, όπως φαίνεται στο σχήμα: Εργικά αντίστοιχο μέγεθος είναι η γωνία αμοιβαίας στροφής ω. Χαράζονται οι μοχλοβραχίονες όπως και πρίν και προσδιορίζεται η θέση τους μετά τη μετακίνηση. Ισχύει: Κ =Pd = Μ δ = ω = ω 1 + ω 2 ΣΥΝΟΨΗ: παραπάνω περιγράφηκαν έξι θεμελιώδεις γενικευμένες δυνάμεις και οι εργικά αντίστοιχες γενικευμένες μετακινήσεις. Παρατηρείται ότι σε όλες τις περιπτώσεις W = Kδ. 14

15 Δυνατές μετακινήσεις Δυνατές μετακινήσεις: οι μετακινήσεις που είναι δυνατό να πραγματοποιηθούν. Έχουν τα εξής χαρακτηριστικά: 1.Είναι μικρές. 2.Είναι ανεξάρτητες από το χρονο. 3.Είναι συμβιβαστές με τους συνδέσμους. 15

16 Αρχή Δυνατών Έργων Αρχή Δυνατών Έργων ή Α.Δ.Ε. : αποτελεί κριτήριο ισορροπίας. Σε ένα φορέα που ασκούνται δυνάμεις, ισορροπία υφίσταται εάν το δυνατό έργο W v των δυνάμεων, για κάθε δυνατή μετακίνηση δ v, είναι μικρότερο ή ίσο του μηδενός. Δηλαδή: Η Α.Δ.Ε. με την παρούσα μορφή μπορεί να εφαρμοστεί: Μόνο σε κινητούς φορείς. Σε φορείς με κάθε είδος συνδέσμου, είτε αμφίπλευρους, είτε μονόπλευρους. Αμφίπλευροι σύνδεσμοι: όταν απαγορεύουν μια μετακίνηση και αποκλείουν συγχρόνως και την ακριβώς αντίθετή της (π.χ. δεσμική ράβδος). Μονόπλευροι σύνδεσμοι: αποκλείουν τη μετακίνηση μόνο κατά τη μία φορά (π.χ. νήμα). 16

17 Παράδειγμα με μονόπλευρο σύνδεσμο Έστω ο φορέας του σχήματος με μονόπλευρο σύνδεσμο το νήμα. Ποιά κίνηση μπορεί να κάνει ο δίσκος? Το νήμα αντιστέκεται μόνο στην άυξηση του μήκους του. Επομένως, το σχήμα απεικονίζει μια δυνατή μετακίνηση του δίσκου (η αντίθετη δεν είναι δυνατή γιατί δεν είναι συμβιβαστή με τον σύνδεσμο νημα). Εφαρμόζοντας την Α.Δ.Ε. για τη συγκεκριμένη μετακίνηση έχουμε: Το δυνατό έργο για τη συγκεκριμένη δύναμη προκύπτει αρνητικό και άρα το σύστημα ισορροπεί, διότι P και u είναι αντίθετες. Εάν η P του παραδείγματος είχε αντίθετη φορά, τότε το δυνατό έργο W v θα προέκυπτε θετικό και δεν θα ισορροπούσε το σύστημα. 17

18 Η αρχή των δυνατών έργων για φορείς με αμφίπλευρους συνδέσμους Εφόσον ο φορέας περιέχει μόνον αμφίπλευρους συνδέσμους (κλασική περίπτωση), τότε η αρχή των δυνατών έργων παίρνει την απλούστερη μορφή. 18 Δηλαδή, σε ένα κινητό φορέα στον οποίο ασκούνται δυνάμεις, ισορροπία υφίσταται εάν το δυνατό έργο W v των δυνάμεων, για κάθε δυνατή μετακίνηση δ v, είναι ίσο του μηδενός.