Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα: Μαθηματικό Μάθημα: Πρακτική Άσκηση στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση Καθηγήτρια: Δέσποινα Πόταρη Ονοματεπώνυμο:

Παρουσίαση με θέμα: "Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα: Μαθηματικό Μάθημα: Πρακτική Άσκηση στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση Καθηγήτρια: Δέσποινα Πόταρη Ονοματεπώνυμο:"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα: Μαθηματικό Μάθημα: Πρακτική Άσκηση στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση Καθηγήτρια: Δέσποινα Πόταρη Ονοματεπώνυμο: Καταγής Νικόλαος Α.Μ.: 1112201000085

2 Σχολείο: Ζάννειο Πρότυπο Λύκειο Τάξη παρακολούθησης: Α' Λυκείου Μάθημα: Άλγεβρα Διδάσκουσα Καθηγήτρια: Μπίρμπα-Παππά Σοφία

3 Θεματική ενότητα: 2.3 Απόλυτη Τιμή Πραγματικών Αριθμών Εργασία στη Τάξη: Επίλυση ασκήσεων από φυλλάδιο εργασίαςφυλλάδιο εργασίας

4 Πώς εντάσσεται το μάθημα στο αναλυτικό πρόγραμμα  Σύνδεση με προϋπάρχουσες γνώσεις ▪ Οι πραγματικοί αριθμοί έχουν εισαχθεί πρώτη φόρα στην ύλη της Α’ γυμνασίου, στο κεφάλαιο 7.2 απόλυτη τιμή ρητού-αντίθετοι ρητοί-σύγκριση ρητών. ▪ Οι μαθητές έχουν αντιμετωπίσει στο γυμνάσιο την απόλυτη τιμή ως την απόσταση του άξονα από το μηδέν

5 Σύνδεση με άλλες περιοχές  Διάταξη πραγματικών αριθμών (κεφάλαιο 2.2)  Αναλυτική γεωμετρία (κατεύθυνση Β’ Λυκείου), απόσταση ευθειών, απόσταση σημείου από ευθεία

6 Τι ακολουθεί;  Ρίζες πραγματικών αριθμών(κεφάλαιο 2.4)  Εξισώσεις πρώτου βαθμού, η εξίσωση x ν =α  και εξισώσεις δεύτερου βαθμού(κεφάλαιο 3)  Ανισώσεις πρώτου βαθμού, ανισώσεις δεύτερου βαθμού και ανισώσεις γινόμενο και πηλίκο (κεφάλαιο 4)

7 Ενδιαφέρον διδακτικό φαινόμενο  Άσκηση φύλλου εργασίας 11δ : Δίνεται ένας πραγματικός αριθμός χ που ικανοποιεί τη σχέση : d(x,5)≤9. Αφού παραστήσετε σε μορφή διαστήματος το σύνολο των δυνατών τιμών του χ, δείξτε ότι: │x+4│+│x-14│=18 Ο μαθητής γενίκευσε μόνο με την χρήση παραδειγμάτων

8 Απομαγνητοφώνηση του διδακτικού φαινομένου Μαθ: Επειδή το χ+4 μπορεί να πάρει μικρότερη τιμή το -4,οπότε και να είναι το -4,θα βγει μηδέν, άρα το χ+4≥0 Καθ: Ωραία. Επειδή το χ μπορεί να πάρει την τιμή -4,το αυτό εδώ θα βγει μηδέν. Μαθ: Δεν υπάρχει περίπτωση να βγει αρνητικός, άρα θα πάρουμε το χ+4≥0 Καθ: Γιατί τελικά δεν υπάρχει περίπτωση να βγει αρνητικό,δεν έχω καταλάβει… Μαθ: Γιατί άμα για παράδειγμα πάρω για χ το -3 Καθ: Αν πάρω για χ το -3,ναι. Μαθ: Θα μου βγει εδώ 1. Καθ: Δηλαδή ποιους αριθμούς παίρνεις,όλους τους αριθμούς;

9 Συνέχεια απομαγνητοφώνησης Μαθ: Παίρνω όλες τις συγκεκριμένες αρνητικές για να δω εάν θα μου βγάζει αρνητικό, δεν μου βγάζει αρνητικό, μου βγάζει μόνο μηδέν. Καθ: Μπορείς να το ελέγξεις με παράδειγμα. Είσαι σίγουρος ότι αυτό μπορεί να ελεγχθεί; Μαθ: Πήρα τους αρνητικούς αριθμούς… Καθ: Και μάλιστα ποιους αρνητικούς, ακέραιοι είναι όλοι. Είσαι σίγουρος ότι δοκιμάζοντας έναν για παράδειγμα ότι αυτό ισχύει και για κάθε; Μαθ: Για κάθε παράδειγμα ή για κάθε αριθμό; Μαθ2: Παίρνουμε τη σχέση -4 ≤ χ, και φέρνουμε το 4 από μπροστά και έχουμε χ+4 ≥0 Καθ: Εσύ όμως πώς πήγες να το δείς; Λιγάκι με παραδείγματα. Είναι όμως η μέθοδος ασφαλής για να ελέγξουμε κάτι; Θέλω την άποψη σας λιγάκι… Ναι; Μαθ3: Όχι πάντα!

10 Ιδιαίτερες δυσκολίες των μαθητών Η έννοια της απόλυτης τιμής, το οποίο φάνηκε στα εξής παραδείγματα:  1 ο : δίνεται η σχέση: d(x,5)≤9. Δώστε την παράσταση σε μορφή διαστήματος στον άξονα των πραγματικών αριθμών, το σύνολο των δυνατών τιμών του χ. (Απ.: ___-4______5____________14__) Α) Δεν γνώριζε να πει εάν το χ είναι πριν ή μετά το 5 Β) Δεν συνέδεε την έννοια της απόστασης με αυτή της απόλυτης τιμής  2 ο : στην ίδια άσκηση άλλος μαθητής που ρωτήθηκε δεν ήξερε να παραστήσει το διάστημα που ανήκει το χ (π.χ. [-4,14],κλπ.)

11 Ερευνητικά ευρήματα για την ευθεία των πραγματικών Αποτελέσματα ερευνών πάνω στην κατανόηση του άξονα των πραγματικών αριθμών από μαθητές της Δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης δείχνουν ότι:  α) Οι μαθητές δείχνουν εξοικειωμένοι με την θέση των ακέραιων στον άξονα των πραγματικών  β) Οι μαθητές δείχνουν να αντιμετωπίζουν αρκετές δυσκολίες στην επίλυση ανισώσεων με απόλυτες τιμές

12 Απόλυτη τιμή, δυσκολίες και ευρήματα έρευνας  Δυσκολίες στην κατανόηση της έννοιας της απόλυτης τιμής, όχι μόνο από μαθητές, αλλά ακόμα και από φοιτητές!  Επιστημολογικά εμπόδια πού συνίστανται σε: α) Εμπόδιο της αντίληψης του αριθμού ως μέτρο. β) Εμπόδιο που συνίσταται στην αντίληψη του αρνητικού αριθμού σαν ένα μέσο διευκόλυνσης των πράξεων.

13 Αντίδραση του εκπαιδευτικού στο κρίσιμο συμβάν  Η εκπαιδευτικός εξήγησε ότι κοιτάμε ΟΛΑ τα δεδομένα της άσκησης, σύνδεση με πρότερες γνώσεις, ιδιότητες.  Αποσαφήνιση της καθηγήτριας για το ότι δεν μιλάμε μόνο για ακέραιους, αλλά για πραγματικούς (όπου περιέχονται και ρητοί).  Η παρανόηση του μαθητή για το παράδειγμα σαν αποδεικτική διαδικασία συνδέθηκε από την καθηγήτρια με μια πολύ σημαντική μέθοδο απόδειξης (μέθοδος αντιπαραδείγματος).

14 Συζήτηση με την εκπαιδευτικό μετά το μάθημα  Επισημάνθηκε η δυσκολία κατανόησης των πραγματικών αριθμών.  Κατανοεί ότι υπάρχει ανάγκη σύνδεσης με πρότερες έννοιες (σύνδεση με ρητούς, συσχέτιση της απόλυτης τιμής με την απόσταση)  Αναφέρθηκε επίσης ότι δεν υπάρχει άλλος τρόπος για την κατανόηση της έννοιας, όπως χρήση ψηφιακών μέσων.

15 Μελέτη σχολικού βιβλίου  Με βάση το βιβλίο δίνονται οι εξής ορισμοί για την απολυτή τιμή: Α) Η απόλυτη τιμή θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός Β) Η απόλυτη τιμή αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του Γ) Ορισμός της απόστασης δύο σημείων ορίζεται η απόλυτη τιμή της διαφοράς των αριθμών δηλαδή: d(α,β)=│α-β│

16 Διδακτική αντιμετώπιση του αντικειμένου στο σχολικό βιβλίο Οι μαθητές στη Δευτεροβάθμια εκπαίδευση ανακαλύπτουν το αντικείμενο της απόλυτης τιμής στο σχολικό βιβλίο μέσα από την απόδοση: –των ορισμών, –των ιδιοτήτων, –των παραδειγμάτων, –των ασκήσεων.

17 Βιβλιογραφία Γαγάτσης, Α. & Θωμαΐδης, Γ. (1991). Λάθη των υποψηφίων καθηγητών των Μαθηματικών σε ασκήσεις μαθητών στην απόλυτη τιμή. Παιδαγωγική Eπιθεώρηση, 14-15, 87-106. Palla, M., Potari, D. & Spyrou, P. (2012). SECONDARY SCHOOL STUDENTS’ UNDERSTANDING OF MATHEMATICAL INDUCTION: STRUCTURAL CHARACTERISTICS AND THE PROCESS OF PROOF CONSTRUCTION, International Journal of Science and Mathematics Education, vol. 10 pp.1023-1045 Pantsidis, C., Zoulinaki, F., Spyrou, P., Gagatsis, A. & Elia, I. (2005). Understanding of the ordering of numbers and the use of absolute value on the axis of real numbers, Proceedings of the 4th Mediterranean Conference on thematic Education, Palermo, Italy Polya, G. (1998). Πώς να το λύσω, Επιμ. ελληνικής έκδοσης Τάσος Πατρώνης, Μετφρ. Ξανθή Ψυακκή. Εκδ. Καρδαμίτσα