Βασίλης Νανούρης Χρήστος Πλατιάς. Carl Gustav Hempel  1905- 1997  Γερμανός συγγραφέας και φιλόσοφος  Λογικός εμπειριστής (κι όχι λογικός θετικιστής)

Παρουσίαση με θέμα: "Βασίλης Νανούρης Χρήστος Πλατιάς. Carl Gustav Hempel  1905- 1997  Γερμανός συγγραφέας και φιλόσοφος  Λογικός εμπειριστής (κι όχι λογικός θετικιστής)"— Μεταγράφημα παρουσίασης:

1 Βασίλης Νανούρης Χρήστος Πλατιάς

2 Carl Gustav Hempel  1905- 1997  Γερμανός συγγραφέας και φιλόσοφος  Λογικός εμπειριστής (κι όχι λογικός θετικιστής)  Κάποια περίοδο βοηθός του Carnap στο πανεπιστήμιο του Σικάγο  Η μεταφυσική «ανάθεμα» και μοναδικό αρνητικό στο Wittgenstein  1945

3 « Τα μαθηματικά είναι η πιο ακριβής επιστήμη και τα συμπεράσματά της είναι ικανά για την απόλυτη απόδειξη. Αλλά αυτό συμβαίνει μόνο επειδή τα μαθηματικά δεν επιχειρούν να εξάγουν απόλυτα συμπεράσματα. Όλες οι μαθηματικές αλήθειες είναι σχετικές, υπό όρους.» Charles Proteus Steinmetz (1923)

4 1. Το πρόβλημα  Σε τι συνίσταται στην εμπειρική επιστήμη η αιτιολόγηση για την αποδοχή μιας θεωρίας; Στη συμφωνία των προβλέψεων που βασίζονται στη θεωρία με εμπειρικά αποδεικτικά στοιχεία, που λαμβάνονται είτε από πείραμα είτε από συστηματική παρατήρηση.  Όμως ποια είναι η αιτιολόγηση που επικυρώνει την αποδοχή των μαθηματικών;  «Μαθηματικά»: αριθμητική, άλγεβρα, ανάλυση

5 2. Είναι οι μαθηματικές προτάσεις αυταπόδεικτες αλήθειες; Όχι, γιατί: 1. Πολλά μαθηματικά θεωρήματα  τόσο δύσκολο να αποδειχθούν που, ακόμα και στους ειδικούς ενός τομέα, μόνο ως αυταπόδεικτα δεν εμφανίζονται. 2. Αποτελέσματα αντίθετα στη διαίσθηση (πχ θεωρία συνόλων, τοπολογία) 3. Μαθηματικές εικασίες με στοιχειώδες περιεχόμενο που δεν έχουν αποδειχθεί μέχρι σήμερα 4. Υποκειμενικό το τι θα θεωρηθεί αυταπόδεικτο

6 3. Είναι τα μαθηματικά η πιο γενική εμπειρική επιστήμη;  John Stuart Mill: Οι 2 βασικές διαφορές της εμπειρικής επιστήμης «μαθηματικά» με τις άλλες εμπειρικές επιστήμες: 1. Το αντικείμενο της είναι πιο γενικό από κάθε άλλο τομέα επιστημονικής έρευνας 2. Οι προτάσεις της έχουν ελεγχθεί και επιβεβαιωθεί σε μεγαλύτερο βαθμό  Αντίθετα:  > Από μια υπόθεση εμπειρικού χαρακτήρα  > πιθανώς να προκύψουν συνθήκες σύμφωνα με τις οποίες κάτω από ορισμένες ειδικές συνθήκες  > παρατηρούνται κάποια συγκεκριμένα φαινόμενα (εμφάνιση τους  επιβεβαίωση, ενώ μη εμφάνισή τους  διάψευση)

7 3. Είναι τα μαθηματικά η πιο γενική εμπειρική επιστήμη; (2)  Άρα: εμπειρική υπόθεση  θεωρητικά διαψεύσιμη  Δηλ: είναι πιθανό να εντοπιστεί τι είδους ενδεικτικά στοιχεία (αν αντιμετωπιζόταν πραγματικά) θα διέψευδαν την υπόθεση.  Πχ: « 3+2=5 »  μικρόβια σε διαφάνεια  «3+2=6» ;  όχι γιατί είναι ανεξάρτητη από την συμπεριφορά των μικροβίων

8 4. Ο αναλυτικός χαρακτήρας των μαθηματικών προτάσεων  «3+2=5» & «ένας πάνω από 60 ετών δεν μπορεί να είναι 45» : αληθείς για τον ίδιο λόγο  Αναλυτικές ή αληθείς a priori:  Η αλήθεια τους λογικά ανεξάρτητη ή προηγείται λογικά από οποιαδήποτε εμπειρική απόδειξη  VS προτάσεις εμπειρικών επιστημών: συνθετικές και a posteriori  Η αλήθεια τους μπορεί να αποδειχθεί οριστικά, μια φορά και για πάντα  Δεν εκφράζει πραγματική πληροφορία (πληρώνοντας ακριβά το τίμημα της «θεωρητικής βεβαιότητας»)  Πχ: «μεταβατικότητα της ταυτότητας»  α, β, γ αποχρώσεις του πράσινου  α όχι γ  κάτι δεν λαμβάνει υπ’ όψη

9 5. Τα μαθηματικά ως ένα αξιωματικό παραγωγικό σύστημα  Αξιώματα:  διαμορφώνονται βάσει βασικών εννοιών για τις οποίες δεν παρέχονται οι ορισμοί εντός της θεωρίας (εννοεί τους απροσδιόριστους όρους)  Μερικές φορές υποστηρίζεται ότι αποτελούν «υπόρρητους ορισμούς» των απροσδιόριστων όρων  παρανοήσεις (αφού οι απροσδιόριστοι όροι  πολλές ερμηνείες, ενώ οι ορισμοί  αυστηρά καθορισμένοι)  Γιατί ο καθορισμός απροσδιόριστων όρων και αξιωμάτων είναι και το καθοριστικό βήμα;  Κάθε όρος της θεωρίας  απροσδιόριστοι όροι  Κάθε θεώρημα  αξιώματα  Αρχές της λογικής: θα χρησιμοποιηθούν για την απόδειξη των θεωρημάτων

10 6. Το αξιωματικό σύστημα του Peano ως βάση για τα Μαθηματικά  Απροσδιόριστοι όροι (primitives):  « 0 »,  «αριθμός» (φυσικός),  «διάδοχος»(n’)  Αξιώματα:  Ρ1: ο 0 είναι αριθμός  Ρ2: ο επόμενος από κάθε αριθμό είναι αριθμός  Ρ3: δεν υπάρχουν 2 αριθμοί να έχουν τον ίδιο διάδοχο  Ρ4: ο 0 δεν είναι διάδοχος κανενός αριθμού  Ρ5: η πραγμάτωση της μαθηματικής επαγωγής

11 6. Το αξιωματικό σύστημα του Peano ως βάση για τα Μαθηματικά (2)  Η κατασκευή της στοιχειώδους αριθμητικής: Ορισμοί: 1  ο διάδοχος του 0  0 ’ 2  1’ 3  2’ Ρ2  η διαδικασία συνεχίζεται επ’ άπειρον Ρ3 (και Ρ5)  ποτέ δεν οδηγείται σε έναν από τους αριθμούς που ορίστηκαν προηγουμένως Ρ4  ποτέ δεν οδηγείται στο 0 Πρόσθεση (επαναλαμβανόμενη πρόσθεση του 1) D1. (a) n+0=n (b) n+k’=(n+k)’

12 6. Το αξιωματικό σύστημα του Peano ως βάση για τα Μαθηματικά (3)  3+2= (ορσ 2)  3+1’= (ορσ 1)  3+( 0 ’)’= (D1b)  (3+ 0 ’)’= (D1b)  ((3+ 0 )’)’= (D1a)  (3’)’= (ορσ4)  (4)’= (ορσ5)  5  Η αλήθεια που απορρέει μέσω των ορισμών και των αξιωμάτων  Η απόδειξη του «3+2=5» κάνει συνεχώς χρήση της μεταφοράς της ταυτότητας (δηλ. της μεταβατικής ιδιότητας)

13 6. Το αξιωματικό σύστημα του Peano ως βάση για τα Μαθηματικά (4)  Όμοια μετά ορίζει τον πολ/μο  Αποδεικνύει γενικούς νόμους που διέπουν πρόσθεση και πολ/μο (αντιμεταθετική, προσεταιριστική, επιμεριστική)  Ορσ: αντίστροφων πράξεων (αφαίρεσης, διαίρεσης)  Όμως η διαφορά και το πηλίκο δεν ορίζονται για κάθε ζευγάρι αριθμών  Έτσι διεύρυνση του αριθμητικού συστήματος (αρνητικοί, ρητοί)  Όμως για να την πετύχουμε θα πρέπει να «υποθέσουμε» ή αλλιώς να «αξιωματικοποιήσουμε» τα πρόσθετα είδη αριθμών με τις ιδιότητες τους ώστε να καλύψουμε τα κενά της αφαίρεσης και της διαίρεσης  Rusell: «κλοπή έναντι έντιμου μόχθου»

14 6. Το αξιωματικό σύστημα του Peano ως βάση για τα Μαθηματικά (5)  Όμως στο αξιωματικό σύστημα Peano: οι αρνητικοί και οι ρητοί αριθμοί μπορούν να ληφθούν από τους απροσδιόριστους όρους μέσα απ’τον «έντιμο μόχθο» της κατασκευής ορισμών γι’ αυτούς [χωρίς την εισαγωγή νέων αξιωμάτων]  +2: το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (μ,ν) με μ=ν+2  -2: ομοίως με ν=μ+2  Οι ρητοί: ομοίως ως κλάσεις διατεταγμένων ζευγών ακεραίων  Όμως δεν έχει κάθε αριθμός τετραγωνική ρίζα  Δεν έχει κάθε αλγεβρική εξίσωση με συντελεστές αριθμούς του συστήματος λύση στο σύστημα

15 6. Το αξιωματικό σύστημα του Peano ως βάση για τα Μαθηματικά (6)  Ανάγκη για νέα επέκταση (πραγματικοί, μιγαδικοί)  πάλι χωρίς εισαγωγή νέων αξιωμάτων  Εισάγονται όριο, παράγωγος, ολοκλήρωμα  απόδειξη βασικών θεωρημάτων που τα περισσότερα δεν θέλουν τίποτα περισσότερο από τις αρχές της τυπικής λογικής  Όμως η απόδειξη ορισμένων θεωρημάτων απαιτεί  το αξίωμα της επιλογής (Λαμβάνοντας υπόψη οποιοδήποτε σύνολο X των αλληλοαποκλειόμενων μη κενών συνόλων, υπάρχει τουλάχιστον ένα σύνολο C που περιέχει ακριβώς ένα στοιχείο κοινό με κάθε ένα από τα σύνολα στο Χ)

16 7. Ερμηνείες των απροσδιόριστων όρων Peano  «Αλήθεια των μαθηματικών, αν τα 5 αξιώματα αληθή»  Δεν μπορούμε να το πούμε γιατί βασίζονται στους απροσδιόριστους όρους που δεν τους έχει αποδοθεί κάποια σημασία  Το μόνο που μπορούμε να ισχυριστούμε μέχρι στιγμής είναι μια ειδική ερμηνεία των απροσδιόριστων όρων που να ικανοποιεί τα αξιώματα  όμως για το σύστημα Peano υπάρχουν απείρως πολλές ερμηνείες που θα το κάνουν αυτό

17 Το λεξιλόγιο της Λογικής στον ορισμό των πρωταρχικών εννοιών της Αριθμητικής  Δυσκολία σχετικά με τον ορισμό των διαφόρων εννοιών των σχετικών με την αριθμητική χωρίς τη χρήση- αναφορά σε υπάρχουσες έννοιες της ίδιας της αριθμητικής.  Η αναφορά σε αυτές τις έννοιες οδηγεί σε κυκλικότητα.  Είναι ορθός ένας ορισμός ο οποίος ‘’χρησιμοποιεί ορισμούς για να οριστεί;’’  Για παράδειγμα, πως μπορούμε να ορίσουμε τους αριθμούς χωρίς να γίνει αναφορά σε αυτούς;  Η κυκλικότητα αυτή μπορεί να αποφευχθεί αν κατασκευάσουμε τις έννοιες χρησιμοποιώντας τη γλώσσα της μαθηματικής λογικής.  Αληθείς- ψευδείς προτάσεις.  Λογικά σύμβολα.  Μεγάλη συνεισφορά στην προσέγγιση αυτή οι απόψεις των Frege, Russell και Whitehead

18 Το λεξιλόγιο της Λογικής στον ορισμό των πρωταρχικών εννοιών της Αριθμητικής  Οι (φυσικοί) αριθμοί (Peano) μπορούν να οριστούν ως οι ‘’αντιπρόσωποι’’ κλάσεων αντικειμένων.  Κλάση των ‘’αποστόλων’’ Ο αριθμός 12.  Κλάση ‘’πεντάδυμα των Dionne’’ Ο αριθμός 5.  Κλάση ‘’ζευγάρια’’ Ο αριθμός 2.  Οι κλάσεις των αριθμών ( πληθαρίθμου) με το λεξιλόγιο της λογικής.  Κλάση του αριθμού 2 : Υπάρχει ένα στοιχείο x ανήκει στο σύνολο C και ένα στοιχείο y που ανήκει στο σύνολο C, με x διαφορετικό από το y, ώστε αν το z ανήκει στο C τότε z=x ή z=y.  Κλάση του αριθμού 1 : Υπάρχει ένα στοιχείο x ανήκει στο σύνολο C και έστω y ένα στοιχείο του C. Τότε y=x.  Κλάση του αριθμού 0: Δεν υπάρχει στοιχείο x που να ανήκει στο σύνολο C.  Δεν υπάρχει κανένα αριθμητικό σύμβολο- δεν υπάρχουν αριθμοί στον ορισμό.  Εκφράσεις από το λεξιλόγιο της λογικής και μόνο.  Δεν υπάρχει κυκλικότητα αφού δεν χρησιμοποιούνται αριθμοί για να οριστούν αριθμοί.

19 Το λεξιλόγιο της Λογικής στον ορισμό των πρωταρχικών εννοιών της Αριθμητικής  Ορίστηκε χωρίς πρόβλημα ο πληθάριθμος. Πως μπορεί να οριστεί όμως ο αριθμός;  Ο αριθμός 2 είναι η κλάση όλων των ζευγαριών. Άρα ο αριθμός 2 είναι η κλάση όλων των κλάσεων που εκφράζουν τον πληθάριθμο 2.  Ομοίως για το 0, το 1 κτλ.  Μπορούμε να ορίσουμε με τον τρόπο αυτό τους φυσικούς αριθμούς ως σύνολο και όχι ως μεμονωμένους αριθμούς;  Διάδοχος (επόμενος) αριθμός ενός αριθμού.  Αρκεί τότε μόνο ‘’ο λογικός’’ ορισμός του μηδενός για την λογική κατασκευή του συνόλου των φυσικών αριθμών.  Διάδοχος:  Πχ ο διάδοχος του 5: Διαλέγω αυθαίρετα ένα από τα πεντάδυμα και προσθέτω σε αυτά ένα στοιχείο που δεν είναι κάποιο από αυτά. Το σύνολο που θα έχω θα είναι ο διάδοχος του 5.  Πληθαριθμική έννοια.  Ορισμός ως κλάση όλων των κλάσεων με τον συνήθη πλέον λογικό τρόπο.  Δεν υπάρχει αναφορά σε αριθμό άρα δεν υπάρχει κυκλικότητα. Ορισμός του συνόλου των φυσικών αριθμών: Ο αριθμός 0, ο διάδοχός του, ο διάδοχος του διαδόχου του κλπ.

20 Η αλήθεια των αξιωμάτων του Peano μέσα από τη λογική  Η μαθηματική λογική φαντάζει ιδανικός τρόπος κατασκευής των ορισμών της αριθμητικής και της θεωρίας των αριθμών.  Σημαντικό όμως για την εγκυρότητα της παραπάνω προσέγγισης θα ήταν να μπορούσαμε να δεχτούμε ως αληθή τα αξιώματα του Peano χρησιμοποιώντας το λεξιλόγιο της λογικής και την προσέγγιση των αριθμών ως κλάσεις κλάσεων αντιπροσώπων.  Αξίωμα P1: Ο 0 είναι αριθμός.  Αληθής, αφού το σύνολο των φυσικών ορίστηκε ως ‘’το Ο και οι διάδοχοί του.’’  Αξίωμα P2: Ο διάδοχος κάθε αριθμού είναι αριθμός.  Αληθής, ως η κλάση των κλάσεων με αντιπρόσωπο τον διάδοχο.  Αξίωμα P4: Το Ο δεν είναι διάδοχος κανενός.  Αληθής. Από τον ορισμό του διαδόχου, έχουμε ότι ο διάδοχος αφορά κλάσεις αντικειμένων στα οποία υπάρχει τουλάχιστον ένα αντικείμενο. Όμως ο αριθμός μηδέν είναι η μοναδική κλάση των κλάσεων αντικειμένων που δεν περιέχει αντικείμενα.  Αξίωμα P5: Αρχή της μαθηματικής επαγωγής.  Αληθής αν και χρειαζόμαστε τον ακριβή ορισμό του ακεραίου.

21 Η αλήθεια των αξιωμάτων του Peano μέσα από τη λογική  Η αλήθεια των αξιωμάτων P1, P2, P3, P4 προκύπτει εύκολα από τους ορισμούς της αριθμητικής με τη χρήση των κανόνων της μαθηματικής λογικής.  Η απόδειξη της αλήθειας του αξιώματος Ρ3 (δεν υπάρχουν δύο αριθμοί με τον ίδιο διάδοχο) παρουσιάζει μία ιδιαίτερη δυσκολία.  Ο ορισμός του διαδόχου ενός αριθμού βασίζεται στη διαδικασία πρόσθεσης στην κλάση του αριθμού ενός στοιχείου που δεν είναι στοιχείο της κλάσης. Θεωρώντας ότι υπάρχει πεπερασμένο πλήθος αντικειμένων που μπορούν να προστεθούν στα αντικείμενα μίας κλάσης, τότε το άπειρο των ακεραίων αριθμών έρχεται σε λογική σύγκρουση με το πεπερασμένο αυτών των αντικειμένων.  Λύση στο παραπάνω δίνει η εισαγωγή ενός συμπληρωματικού αξιώματος, του αξιώματος του απείρου που προυποθέτει την ύπαρξει άπειρου και όχι πεπερασμένου πλήθους αντικειμένων.  Έτσι και το αξίωμα P3 αποδεικνύεται ως αληθές χρησιμοποιώντας μόνο τους ορισμούς της αριθμητικής όπως αυτοί ‘’κατασκευάστηκαν’’ μέσα από το λεξιλόγιο της λογικής.

22 Τα μαθηματικά ως κλάδος της λογικής  Όλα τα θεωρήματα της αριθμητικής, της άλγεβρας και της ανάλυσης μπορούν να προκύψουν παραγωγικά από τα αξιώματα του Peano και τους ορισμούς της αριθμητικής μέσα από την μαθηματική προτασιακή λογική.  Η παραγωγική αυτή κατασκευαστική μαθηματική διαδικασία έγκειται καθαρά και αποκλειστικά στις αρχές της μαθηματικής λογικής και στο αξίωμα της πληρότητας.  Ποια είναι τελικά η θέση της λογικής στη φύση της μαθηματικής επιστήμης;  Τα μαθηματικά αποτελούν κλάδο της λογικής υπό την έννοια:  Όλες οι μαθηματικές έννοιες (ορισμοί) μπορούν να οριστούν πλήρως με την χρήση αποκλειστικά κανόνων λογικής.  Όλα τα θεωρήματα μπορούν να παραχθούν παραγωγικά μέσω των αρχών της λογικής και των αξιωμάτων του απείρου και της επιλογής.

23 Τα μαθηματικά ως κλάδος της λογικής  Υπό αυτή την έννοια, οι μαθηματικές προτάσεις είναι εν δυνάμει αληθείς ως συμπεράσματα των λογικών αρχών που αυτές περιλαμβάνουν.  Ποια η ισχύς όμως των λογικών αυτών αρχών;  Τι σημαίνει βεβαιότητα ή αλήθεια μίας μαθηματικής πρότασης και εν συνεχεία της ίδιας της μαθηματικής ύπαρξης;  Το πρόβλημα που φαίνεται να υπάρχει έγκειται στο γεγονός ότι οι μαθηματικές προτάσεις είναι μεν χωρίς αμφιβολία βέβαιες και αληθείς αλλά η βεβαιότητα τους στερείται πρακτικής- εμπειρικής επιβεβαίωσης.  Η πληροφορία που περιέχουν είναι ανεξάρτητη της επιβεβαίωσης της ύπαρξης της.

24 Η εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών στις εμπειρικές επιστήμες  Φαίνεται ασυμβίβαστο το γεγονός ότι τα μαθηματικά χρησιμοποιούνται κατεξοχήν ως εργαλεία σε εμπειρικές διαδικασίες-θέματα και ότι το σύνολο των σύγχρονων επιστημών εξαρτάται από την εφαρμογή ή όχι των διαφόρων μαθηματικών προτάσεων.  Κοινώς:  Μαθηματική Αλήθεια: Μέσω της λογικής και των αξιωμάτων.  Αλήθεια φυσικών επιστημών: Μέσω της Μαθηματικής Αλήθειας. ‘’Και αν δεν ισχύουν τα Μαθηματικά;’’  Μπορούμε να απορρίψουμε την φυσική επιστήμη αν ‘’απορριφθούν’’ τα μαθηματικά τα οποία την επιβεβαιώνουν;  Απορρίπτονται τα μαθηματικά;  Ποιος είναι ο ρόλος τους στη διαμόρφωση και στη δομή μίας εμπειρικής- πειραματικής επιστήμης;

25 Η εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών στις εμπειρικές επιστήμες  Παράδειγμα: Έστω ένα αέριο όγκου V=9 κυβικά εκατοστά και πίεσης p=4 atm. Από τον νόμο του Boyle έχουμε ότι σε συγκεκριμένη θερμοκρασία, το γινόμενο V ∙ p είναι σταθερό. Άρα αφού 9∙4=36 τότε αν p=6, ο νόμος του Boyle δίνει V=6.  Το αποτέλεσμα V=6 μπορεί να επιβεβαιωθεί πειραματικά με δοκιμή.  Μπορούμε να ισχυριστούμε ότι η αριθμητική έχει από μόνη της δύναμη ‘’πρόγνωσης’’- ‘’πρόβλεψης’’ αποτελεσμάτων πειραματικών διαδικασιών;  Προφανώς και όχι. Μοιάζει στον απαίδευτο νου ως προφητική η δύναμη της αριθμητικής αλλά σε καμία περίπτωση δεν είναι.  Η όποια ‘’προφητική της δύναμη’’ πηγάζει από τα δεδομένα και τον νόμο ο οποίος επιβεβαιώνει το πείραμα.

26 Η εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών στις εμπειρικές επιστήμες  Τα μαθηματικά δεν προβλέπουν.  Λειτουργούν αναλυτικά και επεξηγηματικά.  Καθιστούν σαφείς τις όποιες παραδοχές και υποθέσεις σχετικές με το αντικείμενο μελέτης (πχ όγκος V).  Ομοίως τους ισχυρισμούς που ‘’γεννιούνται’’ μέσα από το περιεχόμενο της επιχειρηματολογίας.  Επιβεβαιώνουν την αλήθεια αυτού του περιεχομένου.  Τα μαθηματικά- όπως και η λογική- είναι μία εννοιολογική τεχνική μέσω της οποίας επεξηγείται ό,τι υπονοείται από ένα σύνολο παραδοχών.

27 Η εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών στις εμπειρικές επιστήμες  Και αν το αποτέλεσμα μιας εμπειρικής δοκιμής βγει λάθος;  Αν δεν επιβεβαιώνονται τα μαθηματικά;  Ένδειξη περί ανακρίβειας των υποθέσεων, όχι κατάρρευσης των μαθηματικών.  Νευτώνεια Μηχανική vs Κβαντομηχανική.  Οι πληροφορίες που μας δίνουν τα μαθηματικά και η αλήθεια αυτών είναι καθολική και αδιαπραγμάτευτη.  Το πλαίσιο στο οποίο εφαρμόζονται τα μαθηματικά καθορίζει αν είναι αποδεκτά ή όχι μέσα στο πλαίσιο αυτό.  Άρα τα μαθηματικά ‘’πάντα ισχύουν και ποτέ δεν καταρρέουν.’’ Απλά αλλάζει το πλαίσιο μελέτης άρα και τα αντίστοιχα μαθηματικά που επεξηγούσαν το παλιό- λανθασμένο πλαίσιο, δίνουν τη θέση τους στα μαθηματικά που αναλύουν το καινούργιο.

28 Η εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών στις εμπειρικές επιστήμες  Έστω P ένα πόρισμα (συνδυασμός αξιωμάτων) που προκύπτει από ένα σύνολο αξιωμάτων μιάς θεωρίας και Τα μία πρόταση αυτής.  Η απόδειξη της Τ μέσω του πορίσματος P δεν συνεπάγεται την καθολική της αλήθεια αλλά το γεγονός ότι η Τ είναι αληθής στο πλαίσιο αξιωμάτων του P. Ορθότερα: ‘’Αν μία πρόταση Τ προκύπτει παραγωγικά από οποιαδήποτε πρωταρχική λογική διαδικασία που καθιστά τα αξιώματα του P αληθή, τότε μπορεί να προκύψει και από οποιαδήποτε άλλη λογική διαδικασία που η αλήθεια της προκύπτει από τα αξιώματα αυτά.’’

29 Η εφαρμοσιμότητα των μαθηματικών στις εμπειρικές επιστήμες  Για να μπορέσουμε να χρησιμοποιήσουμε την λογική ως εργαλείο απόδειξης και κατασκευής εννοιών άρα και ως τρόπο επιβεβαίωσης της αλήθειας των μαθηματικών, πρέπει πρώτα να ‘’ορίσουμε λογικά’’ τους απροσδιόριστους όρους τους σχετικούς με τις διάφορες έννοιες.  Τότε οι μαθηματικές προτάσεις θα είναι αληθείς ως συνέπειες της μαθηματικής λογικής και όχι άλλων προτάσεων που προκύπτουν από άλλες προτάσεις (κυκλικότητα).  Τα θεωρήματα θα είναι αληθή αφού έτσι θα ξεχωρίζουν από τα αξιώματα. Θα στηρίζονται μεν σε αυτά, τα τελευταία όμως θα έχουν οριστεί λογικά, άρα η αλήθεια τους θα είναι αναμφισβήτητη. ‘’Τα μαθηματικά είναι μία εννοιολογική δομή εξαιρετικά ευφυής αλλά χωρίς εμπειρικό περιεχόμενο και ένα απαραίτητο και ισχυρό θεωρητικό εργαλείο για την επιστημονική κατανόηση και γνώση του κόσμου της εμπειρίας μας.’’

30  Ευχαριστούμε πολύ!