ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παραδείγματα Ανοικτών Δικτύων Ουρών Κλειστά Δίκτυα Ουρών Β. Μάγκλαρης <maglaris@netmode.ntua.gr> Σ. Παπαβασιλείου <papavass@mail.ntua.gr> 19-6-2015

ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ: ΠΑΡΑΔΟΧΕΣ ΓΙΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΔΙΚΤΟΥ ΧΩΡΙΣ ΜΝΗΜΗ (Markov) (Επανάληψη) Έξοδος Ουράς Μ/Μ/1 – Θεώρημα Burke Οι αναχωρήσεις πελατών από σύστημα Μ/Μ/1 αποτελούν διαδικασία Poisson Άθροιση – Διάσπαση διαδικασιών Poisson Άθροιση (aggregation) ανεξαρτήτων ροών Poisson λ1, λ2 : Poisson με μέσο ρυθμό λ = λ1 + λ2 Τυχαία Διάσπαση (random split, routing) ροής Poisson μέσου ρυθμού λ με πιθανότητες p, q = 1- p : Παράγει διαδικασίες Poisson με ρυθμούς pλ, (1-p)λ

ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (1/2) (Επανάληψη) Θεώρημα Jackson Παραδοχές Ανοικτό δίκτυο ουρών αναμονής Qi με εκθετικούς ρυθμούς εξυπηρέτησης μi Εξωτερικές αφίξεις σε κόμβους i, ανεξάρτητες Poisson μέσου ρυθμό γi Εσωτερική Δρομολόγηση (routing) με τυχαίο τρόπο και πιθανότητα δρομολόγησης πελάτη από τον κόμβο (ουρά) Qi στον κόμβο Qj : rij Οι χρόνοι εξυπηρετήσεις πελατών όπως διαπερνούν το δίκτυο δεν διατηρούν την τιμή τους (έλλειψη μνήμης) αλλά αποκτούν χρόνο εξυπηρέτησης ανάλόγα με την κατανομή του κάθε εξυπηρετητή (Kleinrock’s Independence Assumption, επαληθευμένη με προσομοιώσεις σε δίκτυα με όχι απλοϊκή τοπολογία)

ΑΝΟΙΚΤΑ ΔΙΚΤΥΑ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ (2/2) Θεώρημα Jackson Αποτέλεσμα Κατάσταση του δικτύου, διάνυσμα αριθμού πελατών στις ουρές Qi, n =(n1, n2, …) Εργοδική Πιθανότητα (αν υπάρχει): P(n) = P(n1) x P(n2) x … μορφή γινομένου (product form) ανεξαρτήτων ουρών Μ/Μ/1 P(ni) = (1 – ρi) ρini ρi = λi/μi όπου λi ο συνολικός ρυθμός Poisson των πελατών που διαπερνούν την ουρά Qi με ρυθμό εκθετικής εξυπηρέτησης μi Ουρά (γραμμή) συμφόρησης: με το μέγιστο ρi Μέσος αριθμός πελατών στο δίκτυο: E(n) = E(n1) + E(n2) + … Μέση καθυστέρηση τυχαίου πακέτου από άκρο σε άκρο: Ε(Τ) = Ε(n)/γ όπου γ = γ1 + γ2 + ... ο συνολικός ρυθμός πελατών που εισέρχονται στο δίκτυο από έξω (network throughput).

ΕΦΑΡΜΟΓΗ: Δίκτυο Μεταγωγής Πακέτων Θεωρήστε ένα δίκτυο μεταγωγής πακέτων. Όλες οι γραμμές (FDX) θεωρούνται χωρητικότητας 10 Kbits/sec. Το μέσο μήκος του πακέτου είναι 1000 bits (θεωρείστε εκθετική κατανομή). Μεταξύ κόμβων θεωρείστε προσφερόμενους ρυθμούς πακέτων Poisson, με ίσους ρυθμούς r packets/sec (από άκρο σε άκρο). Πακέτα από το Α στο C και αντίστροφα δρομολογούνται εξίσου στους δύο ισότιμους δρόμους: (A-B-C) και (A-D-C). Τα πακέτα μεταξύ κόμβων κατευθείαν συνδεδεμένων (A-B), (A-D), (B-D), (B-C), (D-C) δρομολογούνται κατευθείαν. Α) Βρείτε το ρυθμό r, (ώστε η γραμμή συμφόρησης (με τη μέγιστη χρησιμοποίηση) να είναι 50% Β) Με αναφορά στο Α) βρείτε τη μέση καθυστέρηση ενός τυχαίου πακέτου στο δίκτυο (από άκρο σε άκρο) B Α C D Κόμβος Δικτύου (Δρομολογητής - Router ή Μεταγωγέας Πακέτων - Packet Switch) Τερματικό - Η/Υ

ΑΣΚΗΣΗ 1 Το παρακάτω σχήμα (δίκτυο ουρών αναμονής) παριστά ένα τηλεπικοινωνιακό δίκτυο. Μια ροή κίνησης έντασης εισέρχεται στον κόμβο 1 και διασπάται τυχαία με πιθανότητα 1/3 προς τον κόμβο 2 και με πιθανότητα 2/3 προς τον κόμβο 3. Βρείτε τις εργοδικές κατανομές πιθανοτήτων του αριθμού πακέτων σε κάθε ουρά αναμονής. Βρείτε το μέσο αριθμό πακέτων σε κάθε ουρά και το μέσο χρόνο συστήματος που ακολουθούν τα πακέτα στις διαδρομές (υποροές) 1-2-4 και 1-3-4. Κάθε σύνδεση μεταξύ διαδοχικών ουρών αναμονής μπορεί να θεωρηθεί ως μια ουρά Μ/Μ/1. Σε κάθε περίπτωση

ΑΣΚΗΣΗ 2 Θεωρήστε το παρακάτω δίκτυο. Υπάρχουν 4 σύνοδοι (ροές πακέτων) ACE, ADE, BCEF, BDEF οι οποίες δημιουργούν κίνηση Poisson με ρυθμούς, 200, 400, 800 και 900 πακέτα ανά δευτερόλεπτο αντίστοιχα. Τα μήκη των πακέτων είναι εκθετικά κατανεμημένα με μέση τιμή 1000bits. Όλες οι γραμμές μετάδοσης έχουν χωρητικότητα 5Μbit/sec. Υποθέστε ότι η κάθε γραμμή μετάδοσης μπορεί να θεωρηθεί ως μια Μ/Μ/1 ουρά. Α) Βρείτε το μέσο αριθμό πακέτων στο σύστημα και τη μέση καθυστέρηση ανά πακέτο (ανεξαρτήτως συνόδου). Β) Βρείτε τη μέση καθυστέρηση πακέτου για κάθε μία σύνοδο.

ΚΛΕΙΣΤΟ ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ Μ = 2, Ν = 3 n1 + n2 = 3 μ1 P(1,2) = μ2 P(0,3) μ1 P(2,1) = μ2 P(1,2) μ1 P(3,0) = μ2 P(2,1) P(0,3) + P(1,2) + P(2,1) + P(3,0) = 1 γ = μ2 [1- P(3,0)]

ΘΕΩΡΗΜΑ Gordon-Newell Κλειστό δίκτυο με Ν πελάτες, Μ εκθετικές ουρές Ανεξάρτητοι εκθετικοί εξυπηρετητές i = 1, 2, …, M με ρυθμό μi Παραδοχή ανεξαρτησίας Kleinrock Τυχαία Δρομολόγηση pij = Probability (i  j)

ΑΝΑΔΡΟΜΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ Αλγόριθμος Buzen - Πολυπλοκότητα O(N2) Υπολογισμός μέσω δισδιάστατου πίνακα g(n,m) Αρχικές συνθήκες αναδρομικού αλγορίθμου:

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ Gordon-Newell Χ1 μ1 = Χ2 μ2 Χ1 = 1, Χ2 = μ1 /μ2 = α P(0,3) = α3/G(3) P(1,2) = α2/G(3) P(2,1) = α/G(3) P(3,0) = 1/G(3) γ = μ2 [1- P(3,0)] = μ2 [1- 1/G(3)] E(T1) = E (n1) / λ1 = E (n1)/γ