Ενότητα 8η: Η ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΣΤΑΤΙΚΗ Ι Ενότητα 8η: Η ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΓΡΑΜΜΗ Διάλεξη: Η ελαστική γραμμή – τα ελαστικά φορτία – η ομόλογη δοκός των βυθίσεων. Καθηγητής Ε. Μυστακίδης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Π.Θ.

Η ελαστική γραμμή ΟΡΙΣΜΟΣ: με τον όρο ελαστική γραμμή εννοούμε τη γραμμή του παραμορφωμένου άξονα του φορέα. Ο προσδιορισμός της ελαστικής γραμμής ενός φορέα γίνεται με τη μέθοδο των ελαστικών φορτίων.

Η μέθοδος των ελαστικών φορτίων Η μέθοδος αυτή επιτρέπει τον προσδιορισμό των βυθίσεων um των κόμβων m ενός φορέα, σαν ροπές κάμψης λόγω των μοναχικών φορτίων Wm που ενεργούν στους κόμβους αυτούς. Mέσω των επαγωγικών τύπων της δοκού με μοναχικά φορτία, τα φορτία Wm συνδέονται με τις βυθίσεις ως εξής: 𝑊 𝑚 = − 1 𝜆 𝑚 𝑢 𝑚−1 + 1 𝜆 𝑚 + 1 𝜆 𝑚+1 𝑢 𝑚 + − 1 𝜆 𝑚+1 𝑢 𝑚+1 Εάν θεωρηθεί η βοηθητική φόρτιση του παραπάνω σχήματος, η οποία αποτελείται από τρία αυτοϊσορροπούμενα φορτία, τότε το Wm είναι ίσο με το έργο της βοηθητικής φόρτισης για τη βύθιση um. Συνεπώς το Wm θα είναι ίσο και με το έργο των φορτίων διατομής της βοηθητικής φόρτισης για τις παραμορφώσεις από τις οποίες προήλθαν τα um.

Η μέθοδος των ελαστικών φορτίων (συνέχεια) Δηλαδή θα ισχύει: 𝑊 𝑚,𝛼 = 𝑀 , 𝑚 𝜅, 𝛼 + 𝑄 , 𝑚 𝛾, 𝛼 + 𝑁 , 𝑚 𝜀, 𝛼 𝑑𝑠+ 𝑆 𝑟,𝑚 Δ𝑙 𝑟 , 𝛼 Επομένως, για δεδομένες τις εσωτερικές παραμορφώσεις κ,α, γ,α, ε,α και Δlr,α μπορεί να υπολογιστεί σε κάθε σημείο το ελαστικό φορτίο Wm. Το διάγραμμα των ροπών από το φορτίο αυτό θα ταυτίζεται με τη ζητούμενη ελαστική γραμμή του φορέα για το αίτιο α.

Χρήσιμες σχέσεις για την εύρεση της ελαστικής γραμμής Είναι γνωστό πως για μια δοκό που καταπονείται από κατανεμημένο φορτίο q ισχύει: 𝑑𝑄 𝑑𝑥 =−𝑞 𝑑𝑀 𝑑𝑥 =𝑄 Επίσης, από την αντοχή υλικών, για μια δοκό σε κάμψη ισχύει: 𝑑𝜑 𝑑𝑥 =− 𝑀 𝐸𝐽 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =𝜑 Καθώς η εξίσωση της ελαστικής γραμμής ταυτίζεται με τις βυθίσεις, λύνοντας τις παραπάνω σχέσεις ως προς u προκύπτει η ελαστική γραμμή.

Διαδικασία εύρεσης της ελαστικής γραμμής (1) Αυτό μπορεί να γίνει με διαδοχικές ολοκληρώσεις των παραπάνω σχέσεων, δηλαδή: 𝑄=− 𝑞 𝑥 𝑑𝑥+𝑐1 𝑀= 𝑄 𝑥 𝑑𝑥+𝑐2 𝜑=− 𝑀(𝑥) 𝐸𝐽 𝑑𝑥+𝑐3 𝑢= 𝜑 𝑥 𝑑𝑥+𝑐4 Όμως, με τη βοήθεια των παρακάτω συμβολισμών, μπορεί να προσδιοριστεί η ελαστική γραμμή με πιο πρακτικό τρόπο. Έστω: 𝜑= 𝑄 ∗ 𝑢= 𝑀 ∗ Τότε: 𝑑𝜑 𝑑𝑥 =− 𝑀 𝐸𝐽 ⇒ 𝑑 𝑄 ∗ 𝑑𝑥 =− 𝑀 𝐸𝐽 =−𝑤 𝑑𝑢 𝑑𝑥 =𝜑⇒ 𝑑 Μ ∗ 𝑑𝑥 = 𝑄 ∗

Διαδικασία εύρεσης της ελαστικής γραμμής (2) Ο όρος w=M/EJ ονομάζεται ελαστικό φορτίο. Δηλαδή το ελαστικό φορτίο είναι ουσιαστικά το διάγραμμα ροπών μιας δοκού, διαιρεμένο με EJ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, η διαδικασία εύρεσης της ελαστικής γραμμής συνοψίζεται στα εξής: Υπολογίζεται το διάγραμμα ροπών της δοκού. Προσδιορίζεται το ελαστικό φορτίο w=M/EJ αυτής. Φορτίζεται η ομόλογη δοκός (βλ. παρακάτω) με το φορτίο αυτό. Το διάγραμμα ροπών της ομόλογης αυτής δοκού είναι η ζητούμενη ελαστική γραμμή της αρχικής δοκού.

Το ελαστικό φορτίο ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ: ο γενικός τύπος του ελαστικού φορτίου (στην περίπτωση που συνυπάρχουν κάμψη, αξονική παραμόρφωση και διάτμηση) είναι: 𝑤= 𝜅 cos 𝜓 − 𝑑𝛾 𝑑𝑥 + 𝑑(𝜀 tan 𝜓) 𝑑𝑥 όπου ψ η γωνία που σχηματίζει ο φορέας με την οριζόντια. Για οριζόντιους φορείς (δηλαδή για ψ=0ο) και εάν ληφθεί υπόψη μόνο η καμπυλότητα, ο τύπος του ελαστικού φορτίου γίνεται: 𝑤=𝜅= 𝑀 𝐸𝐽

Παράδειγμα 1ο – υπολογισμός ελαστικού φορτίου Να υπολογιστεί η ελαστική γραμμή της αμφιέρειστης δοκού του σχήματος. Υπολογίζεται το διάγραμμα ροπών της δοκού για το κατακόρυφο φορτίο P. Διαιρώντας τα Μ με το ΕJ υπολογίζεται το ελαστικό φορτίο w. Η μέγιστη τιμή του ελαστικού φορτίου θα είναι: wmax=Pl/4EJ. Ακολούθως, θα πρέπει να φορτιστεί με το ελαστικό φορτίο η ομόλογη δοκός. Σημειώνεται ότι η ομόλογη δοκός της αμφιέρειστης δοκού είναι η ίδια αμφιέρειστη δοκός. Τα μεγέθη που θα αναφέρονται στην ομόλογη δοκό θα συμβολίζονται με αστερίσκο.

Παράδειγμα 1ο – υπολογισμός διαγράμματος ροπής ομόλογης δοκού Παράδειγμα 1ο – υπολογισμός διαγράμματος ροπής ομόλογης δοκού Στη συνέχεια, πρέπει να υπολογιστούν τα διαγράμματα τεμνουσών και ροπών της ομόλογης δοκού. Υπολογίζονται οι αντιδράσεις: 𝐴 ∗ 𝑦 = 𝐵 ∗ 𝑦 = 1 2 𝑃𝑙 4𝐸𝐽 𝑙 2 = 𝑃 𝑙 2 16𝐸𝐽 Καθώς το φορτίο είναι τριγωνικό, η συνάρτηση των Q* θα είναι 2ου βαθμού και των Μ* θα είναι 3ου βαθμού. Η συνάρτηση Μ*(x) προκύπτει από τομή στην ομόλογη δοκό που φορτίζεται με το ελαστικό φορτίο: 𝑀 ∗ 𝑥 = 𝑃 𝑙 2 16𝐸𝐽 𝑥− 1 2 𝑃𝑙 4𝐸𝐽 2𝑥 𝑙 𝑥 𝑥 3 = 𝑃 𝑙 2 16𝐸𝐽 𝑥− 𝑃 𝑥 3 12𝐸𝐽 𝑀 ∗ 𝑙 2 = 𝑃 𝑙 2 16𝐸𝐽 𝑙 2 − 𝑃 𝑙 3 12𝐸𝐽∗8 = 𝑃 𝑙 2 32𝐸𝐽 − 𝑃 𝑙 3 96𝐸𝐽 = 𝑃 𝑙 3 48𝐸𝐽 = 𝑢 𝑚𝑎𝑥

Παράδειγμα 1ο – εύρεση της ελαστικής γραμμής Τα διαγράμματα τεμνουσών και ροπών που προκύπτουν για την ομόλογη δοκό παρουσιάζονται παρακάτω. Το διάγραμμα των Q* της ομόλογης δοκού δίνει τη συνάρτηση των στροφών φ του αρχικού φορέα. Αντίστοιχα, η συνάρτηση Μ*(x) της ομόλογης δοκού ταυτίζεται με τη συνάρτηση της ελαστικής γραμμής u(x) της αρχικής δοκού.

Παράδειγμα 2ο – υπολογισμός ελαστικού φορτίου Να υπολογιστεί η ελαστική γραμμή του προβόλου του σχήματος. Υπολογίζεται το διάγραμμα ροπών του προβόλου για το κατακόρυφο φορτίο P. Διαιρώντας τα Μ με το ΕJ υπολογίζεται το ελαστικό φορτίο w. Η μέγιστη τιμή του ελαστικού φορτίου θα είναι: wmax=-Pl/EJ. Ακολούθως, θα πρέπει να φορτιστεί με το ελαστικό φορτίο η ομόλογη δοκός. Σημειώνεται ότι για την ομόλογη δοκό ισχύει ο κανόνας: όπου υπάρχει πάκτωση στην αρχική δοκό μετατρέπεται σε ελεύθερο άκρο στην ομόλογη και αντίστροφα. Το ελαστικό φορτίο προκύπτει αρνητικό, άρα η ομόλογη δοκός φορτίζεται από κάτω προς τα πάνω.

Παράδειγμα 2ο – υπολογισμός διαγράμματος ροπής ομόλογης δοκού και εύρεση ελαστικής γραμμής Στη συνέχεια, πρέπει να υπολογιστούν τα διαγράμματα τεμνουσών και ροπών της ομόλογης δοκού. Υπολογίζεται η αντίδραση: 𝐵 ∗ 𝑦 = 1 2 𝑃 𝑙 2 𝐸𝐽 Καθώς το φορτίο είναι τριγωνικό, η συνάρτηση των Q* θα είναι 2ου βαθμού και των Μ* θα είναι 3ου βαθμού. Το διάγραμμα Μ* της ομόλογης δοκού ταυτίζεται με την ελαστική γραμμή u του αρχικού φορέα. 𝑀 ∗ 𝐵 = 𝑃 𝑙 2 2𝐸𝐽 2𝑙 3 = 𝑃 𝑙 3 3𝐸𝐽 = 𝑢 𝑚𝑎𝑥

Κανόνας εύρεσης ομόλογης δοκού για συνεχείς δοκούς Για την εύρεση της ομόλογης δοκού στην περίπτωση μιας συνεχούς δοκού, πρέπει να ακολουθηθεί ο παρακάτω κανόνας: Όπου υπάρχει πάκτωση στον αρχικό φορέα, στην ομόλογη δοκό υπάρχει ελεύθερο άκρο. Αντίστοιχα, στη θέση του ελέυθερου άκρου του αρχικού φορέα τοποθετείται πάκτωση στην ομόλογη δοκό. Στο εσωτερικό της αρχικής δοκού: όπου υπάρχει απλή στήριξη (άρθρωση ή κύλιση), τοποθετείται εσωτερική άρθρωση στην ομόλογη δοκό. Αντίστοιχα, όπου υπάρχει εσωτερική άρθρωση στον αρχικό φορέα, τοποθετείται απλή στήριξη στην ομόλογη δοκό. Στα άκρα της αρχικής δοκού: όπου υπάρχει απλή στήριξη (άρθρωση ή κύλιση), παραμένει απλή στήριξη και στην ομόλογη δοκό. Το αν θα τοποθετηθεί άρθρωση ή κύλιση δεν έχει σημασία, καθώς υπάρχουν μόνο κατακόρυφα φορτία στο φορέα.

Η ομόλογη δοκός διάφορων τύπων αρχικών φορέων Για αμφιέρειστη δοκό: Για πρόβολο: Για συνεχή δοκό: