1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κατανομή Poisson, Διαδικασίες Γεννήσεων- Θανάτων (Birth-Death Processes) Β. Μάγκλαρης Β. Μάγκλαρης Σ. Παπαβασιλείου Σ. Παπαβασιλείου

Επανάληψη (1): Παράμετροι συστημάτων αναμονής –Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series) –Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} –Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

Επανάληψη (2): Παράμετροι συστημάτων αναμονής – Τύπος Little –n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής –n q (t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή –n s (t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση –n(t) = n q (t) + n s (t) –E{n(t)} = E{n q (t)} + E{n s (t)} –Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s Ε(Τ) = E(W) + E(s) –Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little)

Επανάληψη (3): Η εκθετική κατανομή (exponential distribution) Μια τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) - random variable Χ ακολουθεί εκθετική κατανομή με παράμετρο λ όταν: F χ (t) = P[X ≤ t] = 1-exp(-λt), f Χ (t) = λ exp(-λt) για t ≥ 0 F χ (t) = f Χ (t) = 0 για t < 0 E(Χ) = 1/λ, var(Χ) = 1/λ 2 Ιδιότητα έλλειψης μνήμης P[X>t+s/X>t] = P[X>s] Κατανομή ελαχίστου μεταξύ ανεξάρτητων τ.μ. εκθετικά κατανεμημένων Χ 1 : με παράμετρο λ 1 Χ 2 : με παράμετρο λ 2 Χ = min{Χ 1,Χ 1 } είναι εκθετικά κατανεμημένη με παράμετρο λ = λ 1 +λ 2

Επανάληψη (4): Στοχαστικές διαδικασίες (Stochastic Processes – Time Series) Στάσιμες διαδικασίες (stationary stochastic processes) Διαδικασίες Markov, ιδιότητα έλλειψης μνήμης P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n, X(t n-1 )=x n-1,…,X(t 1 )=x 1 ] = P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n ] Εργοδικότητα (ergodicity) ως προς τον μέσο όρο Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων (birth – death processes): αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων (counter processes) P[N(t) = k]: Πιθανότητα k γεγονότων στο διάστημα (0, t) Στάσιμες αυξήσεις (stationary increments): Ανεξάρτητα του χρόνου αναφοράς t P[N(t + Δt) - N(t) = k] = P[N(τ + Δt) - N(τ) = k] = P[N(Δt) = k]

Η κατανομή Poisson k αφίξεις σε διάστημα t με πιθανότητα P[n(t) = k] = P k (t) = e –λt (λt) k / k ! k = 0,1,2,… E t (n) = λt Var t (n) = λt Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec ανεξάρτητα από χρόνο αναφοράς (στάσιμες αυξήσεις)

Η κατανομή Poisson σαν όριο Διωνυμικής Κατανομής (Poisson as a limit of Binomial Distribution)

Ιδιότητες διαδικασίας Poisson Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ. εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson λ 1, λ 2  διαδικασία Poisson λ = λ 1 + λ 2 Διάσπαση διαδικασίας Poisson λ με πείραμα Bernoulli p, q = 1-p  ανεξάρτητες διαδικασίες Poisson λ 1 = pλ λ 2 = qλ

Διαδικασία Γεννήσεων – Θανάτων (Birth-Death Process,1/2) Παραδοχές: –Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων –Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών –Κατάσταση ισορροπίας (steady state) –Την χρονική στιγμή t όταν το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n > 0 μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-Δt, Δt  0: Μία άφιξη στο διάστημα Δt, με πιθανότητα λ n-1 Δt Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μ n+1 Δt Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1 - (λ n +μ n )Δt –Η εξίσωση μετάβασης (Chapman - Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: P n (t) = λ n-1 Δt P n-1 (t-Δt) + μ n+1 Δt P n+1 (t-Δt) + [1- (λ n +μ n )Δt] P n (t-Δt)

Διαδικασία Γεννήσεων – Θανάτων (Birth-Death Process, 2/2) Στο όριο, Δt  dt: [P n (t) - P n (t-dt)]/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) ή dP n (t)/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) και σε σταθερή κατάσταση t  ∞ (αν υπάρχει) : P n (t) = P n : Εργοδικές Πιθανότητες (λ n +μ n )P n = λ n-1 P n-1 + μ n+1 P n+1 (εξισώσεις ισορροπίας)

Εξισώσεις Ισορροπίας (Balance Equations) Απείρως επισκέψιμες καταστάσεις n - positive recurrent states: Με μη μηδενικές εργοδικές πιθανότητες P n (t) = P n > 0, n = 0,1, … Ερμηνεία Εξισώσεων Ισορροπίας: #{μεταβάσεων προς την κατάσταση s} = #{μεταβάσεων εκτός της s} (σφαιρική ισορροπία – global balance equations) #{μεταβάσεων s 1  s 2 } = #{μεταβάσεων s 2  s 1 } (τοπική ισορροπία – local balance equations) Λόγω εργοδικότητας : σε μεγάλο χρονικό διάστημα παρατήρησης Τ, με Τ 1 και Τ 2 τους συνολικούς χρόνους παραμονής στις s 1, s 2 : (1)#{μεταβάσεων s 1  s 2 } = T 1 x r 1,,2 (2) #{μεταβάσεων s 2  s 1 } = T 2 x r 2,,1 Όπου r 1,2, r 2,1 οι μέσοι ρυθμοί μετάβασης από 1  2 και 2  1 Λόγω ισορροπίας: (1) = (2), r 1,2 x {T 1 /Τ} = r 2,1 x {T 2 /Τ}, ή r 1,2 x P 1 = r 2,1 x P 2