ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εργοδικές Πιθανότητες, Ισορροπία Μεταβάσεων - Ουρές Μ/Μ/1 Β. Μάγκλαρης Β. Μάγκλαρης Σ. Παπαβασιλείου Σ. Παπαβασιλείου

Διαδικασία Γεννήσεων – Θανάτων (Επανάληψη: Birth-Death Process,1/2) Παραδοχές: –Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων –Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών –Κατάσταση ισορροπίας (steady state) –Την χρονική στιγμή t όταν το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n > 0 μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-Δt, Δt  0: Μία άφιξη στο διάστημα Δt, με πιθανότητα λ n-1 Δt Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μ n+1 Δt Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1 - (λ n +μ n )Δt –Η εξίσωση μετάβασης (Chapman - Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: P n (t) = λ n-1 Δt P n-1 (t-Δt) + μ n+1 Δt P n+1 (t-Δt) + [1- (λ n +μ n )Δt] P n (t-Δt)

Διαδικασία Γεννήσεων – Θανάτων (Επανάληψη: Birth-Death Process, 2/2) Στο όριο, Δt  dt: [P n (t) - P n (t-dt)]/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) ή dP n (t)/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) και σε σταθερή κατάσταση t  ∞ (αν υπάρχει) : P n (t) = P n : Εργοδικές Πιθανότητες (λ n +μ n )P n = λ n-1 P n-1 + μ n+1 P n+1 (εξισώσεις ισορροπίας)

Εξισώσεις Ισορροπίας Μεταβάσεων (State Transition Balance Equations) Απείρως επισκέψιμες καταστάσεις n - positive recurrent states: Με μη μηδενικές εργοδικές πιθανότητες P n (t) = P n > 0, n = 0,1, … Ερμηνεία Εξισώσεων Ισορροπίας: #{μεταβάσεων προς την κατάσταση s} = #{μεταβάσεων εκτός της s} (σφαιρική ισορροπία – global balance equations) #{μεταβάσεων s 1  s 2 } = #{μεταβάσεων s 2  s 1 } (τοπική ισορροπία – local balance equations) Λόγω εργοδικότητας : σε μεγάλο χρονικό διάστημα παρατήρησης Τ, με Τ 1 και Τ 2 τους συνολικούς χρόνους παραμονής στις s 1, s 2 : (1)#{μεταβάσεων s 1  s 2 } = T 1 x r 1,,2 (2) #{μεταβάσεων s 2  s 1 } = T 2 x r 2,,1 Όπου r 1,2, r 2,1 οι μέσοι ρυθμοί μετάβασης από 1  2 και 2  1 Λόγω ισορροπίας: (1) = (2), r 1,2 x {T 1 /Τ} = r 2,1 x {T 2 /Τ}, ή r 1,2 x P 1 = r 2,1 x P 2

Ουρά Μ/Μ/1 (άπειρου μεγέθους) (1/2) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λ n = λ, Poisson Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μ n = μ Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων P n Μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης Ε(n)

Ουρά Μ/Μ/1 (άπειρου μεγέθους) (2/2) Η ουρά Μ/Μ/1 P n = (1-ρ)ρ n, n = 0,1,2,…, ρ = λ/μ < 1 E(n) = ρ/(1-ρ) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/λ E(T) = (1/μ) / (1-ρ)

Ουρές M/M/1 – Ρυθμοί εξαρτώμενοι από παρούσα κατάσταση Συστήματα Μ/Μ/1 με ρυθμούς άφιξης και ρυθμούς εξυπηρέτησης εξαρτώμενους από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα (από την παρούσα κατάσταση του συστήματος) (State Dependent M/M/1 Queues) λnλn μnμn Local Balance Equation λ 0 P 0 = μ 1 P 1 λ i-1 P i-1 = μ i P i, i = 1, 2, …N Global Balance Equation (λ i +μ i )P i = λ i-1 P i-1 + μ i+1 P i+1, i = 0, 1,…, N Κανονικοποίηση Εργοδικών Πιθανοτήτων P 0 +…+ P Ν = 1