ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 23/04/12 Διάγραμμα Μετάβασης Καταστάσεων, Εξισώσεις Ισορροπίας, Συστήματα Αναμονής Μ/Μ/1.

Slides:



Advertisements
Παρόμοιες παρουσιάσεις
Διαδικασίες Markov, Εκθετική Κατανομή, Κατανομή Poisson
Advertisements

Δίκτυα Ουρών - Παραδείγματα
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων (Birth-Death), Εξισώσεις Ισορροπίας, Συστήματα Αναμονής Μ/Μ/1 Β. Μάγκλαρης
Ανάλυση – Προσομοίωση Ουρών Markov
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασίες Γεννήσεων – Θανάτων (Birth-Death Processes)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 18/04/13 Συστήματα Αναμονής: M/M/1/K, M/M/m (Erlang-C), M/M/N/K, M/M/m/m (Erlang-B)
Moντέλα Καθυστέρησης και Ουρές
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κατανομή Poisson, Διαδικασίες Markov, Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων (Birth-Death) Β. Μάγκλαρης
Το Μ/Μ/1 Σύστημα Ουράς Μ (η διαδικασία αφίξεων είναι Poisson) /
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Αναμονής Μ/Μ/1, M/M/1/K, M/M/m (Erlang-C), M/M/N/K, M/M/m/m (Erlang-B) Β. Μάγκλαρης
1 Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/1 συστήματος : Αφίξεις κατανεμημένες κατά Poisson Εκθετικά κατανεμημένοι χρόνοι εξυπηρέτησης Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι αμοιβαία.
Slide 1 Δίκτυα Τηλεπικοινωνιών ENOTHTA 8 η ΔΙΑΚΙΝΗΣΗ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΩΝ ΚΛΗΣΕΩΝ (ΜΕΡΟΣ B’) 1. ΔΙΑΚΡΙΣΗ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ  Για την ταξινόμηση.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 16/05/13 Δίκτυα Ουρών. ΔΙΚΤΥΟ ΔΥΟ ΕΚΘΕΤΙΚΩΝ ΟΥΡΩΝ ΕΝ ΣΕΙΡΑ Θεώρημα Burke: Η έξοδος πελατών από ουρά Μ/Μ/1 ακολουθεί κατανομή Poisson.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 11/04/13 Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων (Birth- Death), Εξισώσεις Ισορροπίας, Συστήματα Αναμονής Μ/Μ/1.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Προσομοιώσεις Συστημάτων Αναμονής Markov (M/M/…)
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 25/06/08 Ασκήσεις Επανάληψης.
Ασκήσεις - Παραδείγματα
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 25/04/13 Παραδείγματα χρήσης ουρών Μ/Μ/c/K.
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή Β. Μάγκλαρης Β. Μάγκλαρης Σ. Παπαβασιλείου Σ. Παπαβασιλείου
Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/1 συστήματος :
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 20/06/08 Παραδείγματα Μοντελοποίησης και Αξιολόγησης Επίδοσης Υπολογιστικών και Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών - Παραδείγματα
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών Β. Μάγκλαρης Β. Μάγκλαρης Σ. Παπαβασιλείου Σ. Παπαβασιλείου
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Προσομοιώσεις Συστημάτων Αναμονής Markov (M/M/…) Β. Μάγκλαρης Β. Μάγκλαρης Σ. Παπαβασιλείου.
ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ MARKOV ΓΙΑ ΠΡΟΩΘΗΣΗ ΚΙΝΗΣΗΣ STREAMING (VIDEO) Άσκηση Προσομοίωσης 28/5/2012.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 07/05/09 Εκθετική Κατανομή, Διαδικασίες Birth-Death.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (1): Παράμετροι αξιολόγησης συστημάτων αναμονής –Μέσος ρυθμός απωλειών λ – γ.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 01/06/05 Παραδείγματα Μοντελοποίησης και Αξιολόγησης Επίδοσης Δικτύων και Υπολογιστικών Συστημάτων.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 2/03/05. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Μοντέλα συμφόρησης (congestion) –Κυκλοφορία (οδική, σταθερής τροχιάς) –Ουρές σε καταστήματα, ταχυδρομεία,
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (1) –Πελάτης (όχημα, πελάτης καταστήματος, τηλεφωνική κλήση, πακέτο.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 27/05/10 Ανάλυση Ουρών Markov.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 04/07/07 Παραδείγματα Μοντελοποίησης και Αξιολόγησης Επίδοσης Υπολογιστικών και Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων.
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Περιεχόμενα (1/3) 1.Εισαγωγή Περιεχόμενα Γενική Περιγραφή Συστημάτων Αναμονής Τεχνικές.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 20/06/07 Ανάλυση Ουρών Markov.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 21/05/09 Διαδικασίες Birth-Death, Εξισώσεις Ισορροπίας.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 11/04/11 Ανάλυση Ουρών Markov.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 11/06/08 Ανάλυση Ουρών Markov.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 27/06/07 Ουρές Markov Μ/Μ/Ν/Κ.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 28/05/08 Διαδικασίες Γεννήσεων Θανάτου Εξισώσεις Ισορροπίας.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 5/07/06 Παραδείγματα Ανάλυσης Ουρών Markov και Μοντελοποίησης Συστημάτων.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 12/07/06 Ανάλυση Ουρών Markov Μ/Μ/Ν/Κ Παραδείγματα Μοντελοποίησης και Αξιολόγησης Επίδοσης Υπολογιστικών και Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 13/06/07 Διαδικασίες Γεννήσεων Θανάτου Εξισώσεις Ισορροπίας.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 06/05/10 Ανάλυση Ουρών Markov.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εργοδικές Πιθανότητες, Ισορροπία Μεταβάσεων - Ουρές Μ/Μ/1 Β. Μάγκλαρης Β. Μάγκλαρης Σ. Παπαβασιλείου Σ. Παπαβασιλείου.
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κατανομή Poisson, Διαδικασίες Γεννήσεων- Θανάτων (Birth-Death Processes) Β. Μάγκλαρης Β. Μάγκλαρης Σ. Παπαβασιλείου.
Ουρές Αναμονής.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παραδείγματα Ανοικτών Δικτύων Ουρών Κλειστά Δίκτυα Ουρών Β. Μάγκλαρης Σ. Παπαβασιλείου.
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Συστήματα Αναμονής Μ/Μ/1, M/M/1/K, M/M/m (Erlang-C), M/M/N/K, M/M/m/m (Erlang-B)
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Διαδικασίες Γεννήσεων - Θανάτων Εξισώσεις Ισορροπίας - Ουρές Μ/Μ/1, M/M/1/N Προσομοίωση Ουράς Μ/Μ/1/Ν Βασίλης Μάγκλαρης.
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ουρές Markov (birth-death processes) Ουρές Μ/Μ/N/K - Erlang C Ουρές M/M/c/c - Erlang B Παραδείγματα Εφαρμογής Βασίλης.
Σήματα και Συστήματα ΙΙ Διάλεξη: Εβδομάδα Καθηγητής Πέτρος Γρουμπός Επιμέλεια παρουσίασης: Βασιλική Μπουγά 1.
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Παραδείγματα Εφαρμογής Άσκηση Προσομοίωσης Βασίλης Μάγκλαρης 6/4/2016.
Λήψη σύνθετων αποφάσεων. Ακολουθιακά προβλήματα αποφάσεων Η χρησιμότητα του αποτελέσματος κάθε ενέργειας, που μπορεί να επιλέξει σε μια χρονική στιγμή.
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εκθετική Κατανομή, Στοχαστικές Ανελίξεις Διαδικασίες Απαρίθμησης, Κατανομή Poisson Βασίλης Μάγκλαρης
1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Κλειστά Δίκτυα Ουρών Markov Θεώρημα Gordon – Newell Αλγόριθμος Buzen Βασίλης Μάγκλαρης 11/5/2016.
Ανάλυση Εισόδου και Εξόδου Προσομοίωσης
Θεωρία Γραμμών Αναμονής ή ΟΥΡΕΣ (QUEUE)
Εισαγωγή στην Στατιστική
Μοντέλα Συστημάτων Αναμονής σε Δίκτυα Επικοινωνιών
Ανάπτυξη Μοντέλων Διακριτών Συστημάτων Μέρος Β
Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ II
Βασίλης Μάγκλαρης 13/4/2016 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ανοικτά Δίκτυα Ουρών Markov Θεωρήματα Burke & Jackson Βασίλης Μάγκλαρης.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Δίκτυα Ουρών
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Εισαγωγή
Βασίλης Μάγκλαρης 16/3/2016 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Ιδιότητες Κατανομής Poisson & Εκθετικής Κατανομής Διαδικασίες Γεννήσεων.
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
Πως λειτουργεί ο αισθητήρας απόστασης;
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
Μεταγράφημα παρουσίασης:

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 23/04/12 Διάγραμμα Μετάβασης Καταστάσεων, Εξισώσεις Ισορροπίας, Συστήματα Αναμονής Μ/Μ/1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ: Στοχαστικές διαδικασίες Στοχαστικές διαδικασίες Ανεξάρτητες διαδικασίες Στάσιμες διαδικασίες Διαδικασίες Markov P[X(t n+1 )=x n+1 /X(t n )=x n,X(t n-1 )=x n-1,…,X(t 1 )=X 1 ]= =P[X(t n+1 )=X n+1 /X(t n )=x n ] Εργοδικότητα Διαδικασίες Γεννήσεων-Θανάτων: αποτελούν μια κλάση των διαδικασιών Markov, με την επιπλέον ιδιαίτερη συνθήκη ότι μεταβάσεις επιτρέπονται μόνο ανάμεσα σε γειτονικές καταστάσεις Διαδικασία απαρίθμησης γεγονότων Ανεξάρτητες αυξήσεις – Στάσιμες αυξήσεις

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Συστήματα και Αλυσίδες Markov διακριτού και συνεχούς χρόνου Πιθανότητες και γράφοι / διαγράμματα μετάβασης Στατικές κατανομές και πιθανότητες καταστάσεων Birth-Death Processes Παραδοχές: –Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων –Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών –Κατάσταση ισορροπίας (steady state)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Διαδικασία Γεννήσεων – Θανάτων: –Την χρονική στιγμή t όταν το σύστημα καταλήγει σε πληθυσμό n > 0 μπορεί να έχουν προηγηθεί οι ακόλουθες μεταβάσεις από την χρονική στιγμή t-ΔΤ, ΔΤ  0: Μία άφιξη στο διάστημα ΔΤ, με πιθανότητα λ n-1 ΔΤ Μια αναχώρηση, με πιθανότητα μ n+1 ΔΤ Τίποτα από τα δύο, με πιθανότητα 1- (λ n +μ n )ΔΤ –Η εξίσωση μετάβασης (Kolmogorov) προκύπτει από τον τύπο συνολικής πιθανότητας: P n (t) = λ n-1 ΔΤ P n-1 (t-ΔΤ) + μ n+1 ΔΤ P n+1 (t-ΔΤ) + [1- (λ n +μ n )ΔΤ] P n (t-ΔΤ)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Στο όριο, ΔΤ  dt: [P n (t) - P n (t-dt)]/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) ή d P n (t)/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) και σε σταθερή κατάσταση t  οο (αν υπάρχει) : P n (t) = P n : Εργοδικές Πιθανότητες (λ n +μ n )P n = λ n-1 P n-1 + μ n+1 P n+1 (εξισώσεις ισορροπίας)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Εργοδικές Πιθανότητες P n (t) = P n > 0, n = 0,1, … Απείρως επισκέψιμες καταστάσεις (positive recurrent) Ερμηνεία Εξισώσεων Ισορροπίας: #{μεταβάσεων προς την κατάσταση s} = #{μεταβάσεων εκτός της s} (σφαιρική ισορροπία – global balance equations) #{μεταβάσεων s 1  s 2 } = #{μεταβάσεων s 2  s 1 } (τοπική ισορροπία – local balance equations) Λόγω εργοδικότητας : σε μεγάλο χρονικό διάστημα παρατήρησης Τ, με Τ 1 και Τ 2 τους συνολικούς χρόνους παραμονής στις s 1, s 2 : (1)#{μεταβάσεων s 1  s 2 } = T 1 x r 1,,2 (2) #{μεταβάσεων s 2  s 1 } = T 2 x r 2,,1 Όπου r 1,2, r 2,1 οι μέσοι ρυθμοί μετάβασης από 1  2 και 2  1 Λόγω ισορροπίας: (1) = (2), r 1,2 x {T 1 /Τ} = r 2,1 x {T 2 /Τ}, ή r 1,2 x P 1 = r 2,1 x P 2

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η ουρά Μ/Μ/1 (άπειρου μεγέθους) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λ n = λ, Poisson Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μ n = μ Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων P n Μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης Ε(n)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η ουρά Μ/Μ/1 P n = (1-ρ) ρ n, n = 0,1,2,…, ρ = λ/μ < 1 E(n) = ρ/(1-ρ) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/λ E(T) = (1/μ) / (1-ρ)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Συστήματα Μ/Μ/1 με ρυθμούς άφιξης και ρυθμούς εξυπηρέτησης εξαρτώμενους από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα (από την κατάσταση του συστήματος) (State Dependent M/M/1 Queues) λ(n) μ(n) λ(0)λ(1)λ(n-1) μ(1) μ(2) λ(n) μ(n) μ(n+1) 0 12 n-1 n n+1