Κώστας Κορδάς LHEP, University of Bern Διάλεξη υπό τύπο διδασκαλίας σε προπτυχιακούς φοιτητές Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσσαλονίκης, 16/10/2007 Το Ισοτοπικό σπιν και εφαρμογές του στην Πυρηνική Φυσική και τη Φυσική Στοιχειωδών Σωματιδίων

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Φορμαλισμός του Ισοσπίν Ανάλογος της γωνιακής στροφορμής και της εσωτερικής στροφορμής («σπιν») για σπιν ½ Τι θα συζητήσουμε σήμερα 1. Η ιδέα και ο ορισμός του Ισοτοπικού σπιν («Ισοσπίν») Η αρχική ιδέα του Heisenberg για πρωτόνιο και νετρόνιο 3. Εφαρμογές – Παραδείγματα 1.Χρήσιμο εργαλείο - οι συντελεστές Glebsh-Gordan 2. το δευτέριο 3. σκεδάσεις 3. Η σημασία του για τις ιχρυρές αλληλεπιδράσεις και η επέκταση της ιδέας σε περισσότερα σωματίδια

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/20073 p/n σχεδόν ίδια- δεδομένα (1) A) Το πρωτόνιο (p) και το νετρόνιο (n) έχουν Σχεδόν ιδια μάζα

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/20074 Α) Το πρωτόνιο (p) και το νετρόνιο (n) έχουν: Σχεδόν ιδια μάζα Πειραματικά, έχουν τις ίδιες ισχυρές αλληλεπιδράσεις Π.χ - το ενεργειακό φάσμα κατοπρικών πυρήνων [ N1(p) = N2(n)] είναι σχεδόν το ίδιο Έχουν μόνο διαφορετικό φορτίο Αριθμός πρωτονίων Αριθμός νετρονίων E (MeV) p/n σχεδόν ίδια- δεδομένα (2)

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/20075 Το νουκλεόνιο – μια υπόθεση Heisenberg (1932) – αμέσως μετά την ανακάλυψη του νετρονίου από τον Chadwick:  όσον αφορά στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, πρωτόνιο και νετρόνιο είναι διαφορετικές καταστάσεις του ίδιου σωμάτιου («νουκλεόνιου») Ορίζουμε το νουκλεόνιο (Ν) να έχει δύο καταστάσεις – πρωτόνιο (p) και νετρόνιο (n) Werner Heisenberg James Chadwick | α | 2 = πιθανότητα να δω πρωτόνιο | β | 2 = πιθανότητα να δω νετρόνιο | α | 2 + | β | 2 = 1  σίγουρα, κάποιο απ’τα δύο θα μετρήσω!

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/20076 Το νουκλεόνιο p/n – αναλογία με στροφορμή (1) B=0 Ενεργειακό φάσμα ατόμου

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/20077 B=0 B ≠ 0B ≠ 0 Πολλαπλότητα στο ίδιο ενεργειακό επίπεδο Ύ παρξη μιας ιδιότητας / κβαντικού αριθμού που διαφοροποιεί το ένα μέλος της πολλαπλότητας από το άλλο όταν Β ≠ 0  Προβολή της στροφορμής στην κατεύθυνση του μαγνητικού πεδίου Το νουκλεόνιο p/n – αναλογία με στροφορμή (2) Ενεργειακό φάσμα ατόμου

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/20078 Μόνο Ισχυρές αλληλεπιδράσεις + ΗλεκτροΜαγνητικές αλληλεπιδράσεις p=np=n p≠np≠n Το νουκλεόνιο p/n – αναλογία με στροφορμή (3)

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/20079 Μόνο Ισχυρές αλληλεπιδράσεις + ΗλεκτροΜαγνητικές αλληλεπιδράσεις Α) ύπαρξη μιας ιδιότητας / κβαντικού αριθμού που κάνει το πρωτόνιο ίδιο με το νετρόνιο για τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις  Ισοσπίν Β) αλλά και κάτι που τα διαφοροποιεί στις ηλεκτρομαγνητικές:  Φορτίο; Όχι ακριβώς  μια συνιστώσα του Ισοσπίν p=np=n p≠np≠n Το νουκλεόνιο p/n – αναλογία με στροφορμή (4)

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν p/n - αναλογία με σπιν ½ (1)  Κατ’αναλογία με το ηλεκτρόνιο (e - ) που έχει σπιν S = ½ και δύο καταστάσεις της προβολής S z [ +½  και - ½  ],  Ορίζουμε το νουκλεόνιο (Ν) να έχει Ισοσπίν I = ½ όπου η προβολή Ι 3 διακρίνει πρωτόνιο - νετρόνιο Γενικά: Ι 3 = -Ι, -Ι+1,... Ι Αριθμός πιθανών καταστάσεων με Ισοπίν Ι = 2 Ι + 1 «πολλαπλότητα» 3-διάστατος χώρος του Ισοσπίν

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/  Κατ’αναλογία με το ηλεκτρόνιο (e - ) που έχει σπιν S = ½ και δύο καταστάσεις της προβολής S z [ +½  και - ½  ],  Ορίζουμε το νουκλεόνιο (Ν) να έχει Ισοσπίν I = ½ όπου η προβολή Ι 3 διακρίνει πρωτόνιο - νετρόνιο Γενικά: Ι 3 = -Ι, -Ι+1,... Ι Αριθμός πιθανών καταστάσεων με Ισοπίν Ι = 2 Ι + 1 «πολλαπλότητα» Πρωτόνιο: I 3 = +½ Νετρόνιο: I 3 = -½ 3 Ι 3 = +½ Ι 3 = -½ Για Ι = ½ : Ι 3 = -½, -½ 3-διάστατος χώρος του Ισοσπίν Ισοσπίν p/n - αναλογία με σπιν ½ (1)

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/  Δύο συμβολισμοί για τη μαθηματική περγραφή των καταστάσεων: 1) ket Ισοσπίν p/n – φορμαλισμός σπιν ½ (1) 2) spinors Νυκλεόνιο = γραμμικός συνδυασμός πρωτονίου και νετρονίου Αλλά όταν παρατηρώ το σύστημα, βλέπω ή πρωτόνιο ή νετρόνιο

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν p/n – φορμαλισμός σπιν ½ (2) Στην περίπτωση των spinors βολεύει να αναπαραστήσουμε τους τελεστές I 1 I 2 και I 3 με τη βοήθεια των πινάκων του Pauli  I i = ½ σ i Wolfgang Pauli σ i σ j =δ ij + iε ijk σ k, [ σ i,σ j ] = 2 iε ijk σ k δ ij = ε ijk = 0, όταν i≠j 1, όταν i=j 1, όταν i,j,k είναι στη σειρά 1,2,3 ή 2,3,1 ή 3,1,2 0, όταν i,j,k είναι ανακατεμένα (π.χ 1,3,2) Μερικές Ιδιότητες των πινάκων αυτών:

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν p/n – φορμαλισμός σπιν ½ (3) Οπότε: 1. I 3 p = ½ p 2. I 3 n = -½ n 3 Ι 3 = +½ Ι 3 = -½

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν p/n – φορμαλισμός σπιν ½ (4) Οπότε: 1. I 3 p = ½ p 2. I 3 n = -½ n 1. I + = I 1 + i I 2 = ½ (σ 1 + i σ 2 )   I + n = p  I + p = 0 2. I - = I 1 - i I 2 = ½ (σ 1 - i σ 2 )   I - p = n  I - n = 0 3 Ι 3 = +½ Ι 3 = -½ Τελεστής ανύψωσης (“raising”) Τελεστής υποβίβασης (“lowering”) Έχουμε τελεστές να μετατρέπουμε το πρωτόνιο σε νετρόνιο και τανάπαλιν  στροφή στο χώρο του ισοσπίν

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Η φυσική: διατήρηση του ισοσπίν στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις 1.Οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις δεν επηρεάζονται από την ανταλλαγή πρωτονίου – νετρονίου 2.Η ανταλλαγή πρωτονίου – νετρονίου ισοδυναμεί με στροφή στο χώρο του ισοσπίν 3.Οι ισχυρές αλληλεπιδράσεις είναι αναλλοίωτες κατά τις στροφές στο χώρο του ισοσπίν (συμμετρία)  Το ισοσπίν διατηρείται σε όλες τις ισχυρές αλληλεπιδράσεις ! (θεώρημα Noether: κάθε συμμετρία σχετίζεται με μια αρχή διατήρησης ) Amalie (Emmy) Noether

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν p/n – σχέση I 3 με το φορτίο Όσον αφορά στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, το πρωτόνιο ειναι ίδιο με το νετρόνιο Η διαφορά τους είναι η συνιστώσα I 3 του ισοσπίν Αλλά ξέρουμε ότι η διαφορά τους είναι επίσης το φορτίο τους Q  Ποιά η σχέση ανάμεσα στο I 3 και το φορτίο; Πρωτόνιο: Νετρόνιο: Q = I 3 + ½ B Q (φορτίο) Ι3Ι3 Β (Βαρυονικός αρ.) +1+ ½+1 0- ½+1

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν και αδρόνια – βαρυόνια και μεζόνια (1) παραδοξότητα Τα ελαφρύτερα βαρυόνια Αδρόνια: τα σωμάτια που «αισθάνονται» την ισχυρή δύναμη –Βαρυόνια και μεζόνια Πληθώρα αδρονίων, νέοι κβαντικοί αριθμοί για να ερμηνευθούν τα πειραματικά δεδομένα 1961: Ο Gell-Mann τα ταξινομεί - συμμετρίες και πολλαπλότητες

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν και αδρόνια – βαρυόνια και μεζόνια (2) παραδοξότητα Τα ελαφρύτερα βαρυόνια (~940 MeV/c 2 ) Αδρόνια: τα σωμάτια που «αισθάνονται» την ισχυρή δύναμη –Βαρυόνια και μεζόνια Πληθώρα αδρονίων, νέοι κβαντικοί αριθμοί για να ερμηνευθούν τα πειραματικά δεδομένα 1961: Ο Gell-Mann τα ταξινομεί - συμμετρίες και πολλαπλότητες οικογένειες σωματιδίων με την ίδια μαζα, παραδοξότητα, σπιν, κλπ, εκτός απ’το φορτίο

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν και αδρόνια – βαρυόνια και μεζόνια (2) παραδοξότητα Τα ελαφρύτερα βαρυόνια (~1320 MeV/c 2 ) (~1200 MeV/c 2 ) (~940 MeV/c 2 ) (~2300 MeV/c 2 ) Αδρόνια: τα σωμάτια που «αισθάνονται» την ισχυρή δύναμη –Βαρυόνια και μεζόνια Πληθώρα αδρονίων, νέοι κβαντικοί αριθμοί για να ερμηνευθούν τα πειραματικά δεδομένα 1961: Ο Gell-Mann τα ταξινομεί - συμμετρίες και πολλαπλότητες οικογένειες σνματιδίων με την ίδια μαζα, παραδοξότητα, σπιν, κλπ, εκτός απ’το φορτίο

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Q = -1Q = 0Q = +1 (~495 MeV/c 2 ) (~550 MeV/c 2 ) (~140 MeV/c 2 ) Ισοσπίν και αδρόνια – βαρυόνια και μεζόνια (3) Τα ελαφρύτερα μεζόνια παραδοξότητα

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Γενικά: Υ ≡ Baryon number + Strangeness + Charm + Beauty + Truth Q = -1Q = 0Q = +1 (~495 MeV/c 2 ) (~550 MeV/c 2 ) (~140 MeV/c 2 ) Ισοσπίν; Τι κάνει το ισοσπίν εδώ; Αδρόνια: ισχυρές αλληλεπηδράσεις Ισοσπίν και αδρόνια – βαρυόνια και μεζόνια (3) Τα ελαφρύτερα μεζόνια παραδοξότητα Q = I 3 + ½ (B+S) Υπερφορτίο Υ

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Γενικά: Υ ≡ Baryon number + Strangeness + Charm + Beauty + Truth Q = -1Q = 0Q = +1 (~495 MeV/c 2 ) (~550 MeV/c 2 ) (~140 MeV/c 2 ) Ισοσπίν; Τι κάνει το ισοσπίν εδώ; Αδρόνια: ισχυρές αλληλεπηδράσεις Ισοσπίν και αδρόνια – βαρυόνια και μεζόνια (3) Τα ελαφρύτερα μεζόνια παραδοξότητα Q = I 3 + ½ (B+S) Υπερφορτίο Υ Το ισοσπίν I 3 ταυτοποιεί το κάθε σωματίδιο μέσα σε καθε πολλαπλότητα/οικογένεια

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – εφαρμογές γενικά Έχουμε δει ότι η χρήση του δεν περιορίζεται μόνο στο πρωτόνιο και το νετρόνιο πιά: –δεν έχουμε κατ’ανάγκη Ι = ½ Το ισοσπίν δεν είναι μόνο για ταξινόμηση: –αφού διατηρείται στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις, μπορεί να χρησιμοποιηθεί σαν «καλός κβαντικός αριθμός» όπως π.χ. η διατήρηση του φορτίου Μόνο που είναι διάνυσμα, σαν τη στροφορμή

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – Δευτέριο, d (1) Έχουμε σύστημα 2 νουκλεονίων (Ν-Ν). Προσθέτουμε τα ισοσπίν τους για να δούμε τι μπορεί να προκύψει ως σύστημα Ν-Ν. Χρησιμοποιούμε τους συντελεστές Clebsch-Gordon (σε πίνακες)

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Συντελεστές Glebsch-Gordon (1) Χρήση συντελεστών Clebsch-Gordon – υπενθύμιση: –Πρόσθεση στροφορμών συντελεστές Clebsch-Gordan και |j 1 – j 2 |  j  |j 1 + j 2 |

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Συντελεστές Glebsch-Gordon (2)

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – Δευτέριο, d (2) Έχουμε σύστημα 2 νουκλεονίων (Ν-Ν). Προσθέτουμε τα ισοσπίν τους για να δούμε τι μπορεί να προκύψει ως σύστημα Ν-Ν. Χρησιμοποιούμε τους συντελεστές Clebsch-Gordon Οι συνδυασμοί

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – Δευτέριο, d (3) Κανουμε τις πράξεις, ή... Χρησιμοποιούμε τους συντελεστές Clebsch- Gordon Και βλέπουμε από ποιούς αρχικούς συνδυασμούς μπορεί να προκύψει κάθε τελική κατάσταση

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – Δευτέριο, d (3) Κανουμε τις πράξεις, ή... Χρησιμοποιούμε τους συντελεστές Clebsch- Gordon Και βλέπουμε από ποιούς αρχικούς συνδυασμούς μπορεί να προκύψει κάθε τελική κατάσταση Τριπλέτα με Ι = 1 Μονήρης με Ι = 0

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – Δευτέριο, d (4) Πειραματικά, έχουμε μόνο μία κατάσταση αν Ι = 1, θα είχαμε και τις αλλες δύο καταστάσεις  άρα, το δευτέριο είναι η μονήρης κατάσταση του ισοσπίν (isosinglet)  το δευτέριο έχει | Ι Ι 3 > = |0 0> Τριπλέτα με Ι = 1 Μονήρης με Ι = 0 Συμμετρικές καταστάσεις σε ανταλλαγή p-n Αντισυμμετρική κατάσταση σε ανταλλαγή p-n

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – σκέδαση νουκλεονίων (1) a) p + p  d + π + b) p + n  d + π 0 c) n + n  d + π - το δευτέριο είναι | Ι,Ι 3 > = |00> Ι=0 + Ι=1 τα πιόνια είναι Ι = 1, με Ι 3 = +1, -, -1 για τα π +,, π 0 και π -, αντίστοιχα |1 1> |1 -1> |1 0>

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – σκέδαση νουκλεονίων (2) a) p + p  d + π + b) p + n  d + π 0 c) n + n  d + π - το δευτέριο είναι | Ι,Ι 3 > = |00> Ι=0 + Ι=1 τα πιόνια είναι Ι = 1, με Ι 3 = +1, -, -1 για τα π +,, π 0 και π -, αντίστοιχα Αφού το ισοσπίν διατηρείται: |1 1> |1 -1> |1 0>

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – σκέδαση νουκλεονίων (3) a) p + p  d + π + b) p + n  d + π 0 c) n + n  d + π - το δευτέριο είναι | Ι,Ι 3 > = |00> Ι=0 + Ι=1 τα πιόνια είναι Ι = 1, με Ι 3 = +1, -, -1 για τα π +,, π 0 και π -, αντίστοιχα Αφού το ισοσπίν διατηρείται: |1 1> |1 -1> |1 0>  Τα πλάτη σκέδασης (scattering amplitudes)  και οι ενεργές διατομές είναι: Συμφωνία με πείραμα

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – σκέδασεις π-Ν (1) a) π + + p  π + + p b) π 0 + p  π 0 + p c) π - + p  π - + p d) π + + n  π + + n e) π 0 + n  π 0 + n f) π - + n  π - + n g) π + + n  π 0 + p h) π 0 + p  π + + n i) π 0 + n  π - + p j) π - + p  π 0 + n Ι π =1 Ι Ν =½ ελαστικές ανταλλαγή φορτίου

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – σκέδασεις π-Ν (2) a) π + + p  π + + p b) π 0 + p  π 0 + p c) π - + p  π - + p d) π + + n  π + + n e) π 0 + n  π 0 + n f) π - + n  π - + n g) π + + n  π 0 + p h) π 0 + p  π + + n i) π 0 + n  π - + p j) π - + p  π 0 + n Ι π =1 Ι Ν =½ ελαστικές ανταλλαγή φορτίου Ισχυρές σκεδάσεις με ίδιο ισοσπίν = όμοιες

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – σκέδασεις π-Ν (3) a) π + + p  π + + p c) π - + p  π - + p j) π - + p  π 0 + n π - + p στην τελική φάση από Μ 3 π - + p στην τελική φάση από Μ 1 Παρόμοια:

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν – σκέδασεις π-Ν (4) a) π + + p  π + + p c) π - + p  π - + p j) π - + p  π 0 + n Συντονισμός με Ι = 3/2 Μ 3 >> Μ 1 Οπότε:

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Ισοσπίν και κουάρκς Με την καθιέρωση των κουάρκ, στο στανταρντ μοντέλο η συμμετρία ισοσπίν χαρακτηρίζει τα «πάνω» και «κάτω» κουάρκς (αντί για το πρωτόνιο και το νετρόνιο όπου πρωτοχρησιμοποιήθηκε) Στην πυρινική φυσική χρησιμοποιείται στο επίπεδο των πρωτονίων και νετρονίων.

Αριστοτέλειο Παν. ΘεσσαλονίκηςΙσοσπίν - Κ Κορδάς - 16/10/ Φορμαλισμός του Ισοσπίν Ανάλογος της γωνιακής στροφορμής και της εσωτερικής στροφορμής («σπιν») για σπιν ½ Τι συζητήσαμε σήμερα 1. Η ιδέα και ο ορισμός του Ισοτοπικού σπιν («Ισοσπίν») Η αρχική ιδέα του Heisenberg για πρωτόνιο και νετρόνιο 3. Εφαρμογές – Παραδείγματα 1.Χρήσιμο εργαλείο - οι συντελεστές Glebsh-Gordan 2. το δευτέριο 3. σκεδάσεις 3. Η σημασία του για τις ιχρυρές αλληλεπιδράσεις και η επέκταση της ιδέας σε περισσότερα σωματίδια