吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时： 64 ( 第三十六讲 ) 离散数学

6.7.2 环 中 合 同 关 系 定义 设 R 是一个环， N 是一理想。对于 a ， b ∈ R ， 如果 a-b=n ∈ N ，或 a=b+n ， n ∈ N ， 则称 a 和 b 模 N 合同，记为 a≡b （ mod N ）。 这不过是加法群 R 中模加法子群 N 的合同关 系。所以可将 R 分为 N 的陪集， N 的一个 陪集叫 N 的一个剩余类。若 a 是 R 的任意 元素，则包含 a 的剩余类可以写成 a+N 的 形式， a 和 b 在同一剩余类，当且仅当 a 和 b 模 N 合同 。

如果 R 是有壹的交换环，而 N 是主理想， N= （ c ），则 a 和 b 模 N 合同也可以说是模 c 合同， 记为 a≡b （ mod c ）。 例 设 R 为整数环 I ， N= （ m ） =mI ，则 a≡b （ mod N ）, 即 a-b ∈ mI 或 m ∣ a-b ，或 a≡b （ mod m ）。 和在整数合同中讨论的一样，我们有

定理 在环 R 中，对于模 N ， 有 （ 1 ） 反身性： a≡a; （ 2 ） 对称性：若 a≡b ， 则 b≡a; （ 3 ） 传递性：若 a≡b ， b≡c ， 则 a≡c; （ 4 ） 加法同态性：若 a≡b ， c≡d ，则 a±c≡b±d 。 （ 5 ） 乘法同态性：若 a≡b ， c≡d ，则 ac≡bd 。

证明：（ 1 ）至（ 4 ）在群的 讨论中已证，这不过是加法 群 R 模加法子群 N 的合同性。 这里（ 4 ）是说, 若 a+N = b+N ， c+N = d+N ，则 a±c+N = b±d+N 。 事实上， a±c+N = a+N± （ c+N ） = b+N± （ d+N ） = b±d+N 。 现证（ 5 ），因为 a ≡ b ， c≡d ，故 a = b+n 1 ， c = d+n 2 ， n 1 ∈ N ， n 2 ∈ N 。于是 ac =bd+ bn 2 + n 1 d + n 1 n 2. 但 N 是一个理想, 故 bn 2 ∈ N ， n 1 d ∈ N ， n 1 n 2 ∈ N ，因而 bn 2 + n 1 d + n 1 n 2 ∈ N ，故 ac≡bd ，于是（ 5 ）得 证，这其实是乘法的同态性。

6.7.3 环 同 态 与 同 构 由于环是有加、乘两种运算 的代数系统，因此定义同态 映射时必须同时保持加、乘 的同态性。 定义 设 R 是一个环， S 是有加法和乘法两种运算的系统，称 R 到 S 中的一个映射 σ 是环 R 到 S 中的一个同 态映射，如果 σ （ a+b ） =σ （ a ） +σ （ b ）， σ （ ab ） =σ （ a ） σ （ b ）。 若 R 到 R′ 上有一个同态映射，则称 R 到 R′ 同 态，记为 R ～ R′ 。

定义 若 σ 是环 R 到系统 R′ 上的一个一对一的同态映射， 则称 σ 是 R 到 R′ 上的一个同构 映射或同构对应。若 R 到 R′ 上 有一个同构映射, 则称 R 与 R′ 同构, 记为 RR′ 。 象群同态一样，我们有以下一些事实。 定理 设 R 是一个环,S 是一个有加法和 乘法的运算系统. 若 σ 是 R 到 S 中的一个同 态映射, 则 R 到映象 R′=σ （ R ）也是一个 环,σ （ 0 ）就是 R′ 的零 0′, σ(-a)=-σ （ a ）。若 R 有壹而 R′ 不只有一个 元素, 则 R′ 有壹而且 σ （ 1 ）就是 R′ 的壹 1′; 若 a ∈ R 有逆, 则 σ （ a ）在 R′ 中有逆而且 σ(a -1 ) 就是 σ(a) -1 。

设 σ 是 R 到 R′ 上的同态映射， R′ 的零 0′ 的逆映象 σ -1 (0′) 叫 σ 的核。 定理 同态映射 σ 的核 N 是 R 的一个理想. 设 a′ 是 R′ 的任意元素, 则 a′ 的逆映象 σ -1 (a′)={a ∈ R ∣ σ(a)=a′} 是 N 的一个剩余类。 证明： 因为 σ 是 R 的加法群到 R′ 的加法群上面 的一个同态映射, 所以 σ 的核 N=σ -1 (0′) 是 R 的 一个子群, 且 a′ 的逆映象 σ -1 （ a′ ）是模 N 的一 个剩余类。现在再证 N 做成理想，即证：若 a ∈ N,х ∈ R, 则 aх ∈ N,χa ∈ N, 事实上 σ(aχ)=σ(a)σ(χ)=0′σ(χ)=0′, 故 aχ ∈ N, 同样可证 χa ∈ N 。

同样，我们要问：对于 R 的任 意理想 N ，是否有一个环 R′ 而且有 R 到 R′ 的一个同态映 射 σ 使 N 刚好就是 σ 的核呢？ 答案也是肯定的。 由群中已证的结果，模 N 的所 有剩余类按照剩余类的加法作成一个加法 群，就是 R 对于 N 的商群 R∕N ， 规定 σ （ a ） =a+N ，即 σ ： a → a+N ， 这样规定的 σ 便是群 R 到群 R∕N 上的一个同 态映射，其核为 N 。

为了回答上面的问题，我们规定剩 余类的一种乘法，以使 σ 成为环 R 到系统 R∕N 上的同态映射。设 A ， B 是 N 的两个剩余类，任取 a ∈ A ， b ∈ B ，规定包含 ab 的剩余类 C = ab+N 为 A ， B 的积： C=AB ， ab+N= （ a+N ）（ b+N ）。由定理 之（ 5 ），若另取 a′ ∈ A ， b′ ∈ B ， 则包含 a′b′ 的剩余类和包含 ab 的剩余类是一样的 ，可见上面的乘法规定由 A ， B 完全确定，与 a ， b 的选择无关。由 σ 的定义,σ （ a ） =a+N ， σ （ b ） =b+N ， σ （ ab ） = ab+N ，但由上面的剩 余类乘法的定义， ab+N = （ a+N ）（ b+N ）， 故 σ （ ab ） =σ （ a ） σ （ b ）。所以， σ 是环 R 到 运算系统 R∕N 上的一个同态映射。由定理 ， R∕N 是一个环，这样，我们便得到：

定理 按照剩余类的加 法和乘法， R 对于理想 N 的所 有剩余类的集合 R∕N 是一个环， 规定 σ （ a ） = a+N ，则 σ 是 R 到 R∕N 上的一个同态映射， 其核为 N 。 R∕N 叫做 R 对于 N 的剩余环，前面定理 中（ 4 ），（ 5 ）所说的加法和乘法的同 态性，其实是说剩余环 R∕N 中的加法和乘 法运算可由剩余类中的任意元素来确定 ，剩余类的运算与其中元素的特殊选择 无关。剩余环 R∕N 有了这加法和乘法两种 运算，就与环 R 同态。

定理 若 σ 是环 R 到 R′ 上的一个同态映射，其核为 N ， 则 R′ 与 R∕N 同构： R′  R∕N 。 证明：设 a′ 是 R′ 的任意元 素，则 σ -1 （ a′ ）是 N 的一个 剩余类 A 。规定 R′ 的 a′ 和这个 R∕N 的 A 对应。这样，我们规 定了 R′ 到 R∕N 上的一个一对一映射 τ ， τ ： a′  A 我们证明 τ 是一个同构对应，即证明：若 a′ ， b′ ∈ R′ ，则 τ （ a′+b′ ） =τ （ a′ ） +τ （ b′ ）， τ （ a′b′ ） =τ （ a′ ） τ （ b′ ）。

事实上, 若 τ(a′)=A, τ(b′)=B, 即 σ -1 (a′)=A =a+N,σ -1 (b′)=B=b+N ， 其中 a ∈ A ， b ∈ B ，则因 σ(a+b)=a′+ b′,σ （ ab ） = a′b′, 故 σ -1 （ a′+b′ ） = a+b+N ， σ -1 （ a′b′ ） = ab+N ， 即 σ -1 （ a′+b′ ） = A+B ， σ -1 （ a′b′ ） = AB 。 于是 τ(a′+b′)=A+B=τ(a′)+τ(b′) ， τ(a′b′ ） =AB=τ （ a′ ） τ （ b′ ）。 故 τ 是 R′ 到 R∕N 上的一个同构对应。