Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός

2 Εισαγωγή (1) Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών. Χρωματική τάξη (color class): σύνολο κορυφών με το ίδιο χρώμα.

3 Εισαγωγή (2) Γράφημα k-χρωματίσιμο (k-colorable): οι κορυφές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα. Γράφημα k-χρωματικό (k-chromatic): οι κορυφές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1. Χρωματικός αριθμός (chromatic number): χ(G)=k. X(G)≥W(G) X(G) W(G) L(G) K(G)

4 Εισαγωγή (3) Χρωματικός αριθμός (chromatic number): χ(G)=k. Αν ένας γράφος G είναι p-χρωματίσιμος (όπου p>χ(G)), τότε ο γράφος G είναι και r-χρωματίσιμος (όπου p>r>χ(G)). Γράφος χρωματίσιμος κατά μοναδικό τρόπο (uniquely colorable) V1 V2 V3 V4 V5 3 χρωματικές {v 1 } {v 2,v 5 } {v 3,v 4 } Γενική περίπτωση για k> χ(G), το G μπορεί να χρωματιστεί με πολλούς διαφορετικούς τρόπους χρησιμοποιώντας k χρώματα Ωστόσο, υπάρχουν ειδικές περιπτώσεις για k= χ(G) οι χρωματικές κλήσεις είναι σταθερές.

5 Εισαγωγή (4) Κρίσιμος (critical): χ(Η) < χ(G), για κάθε Η υποσύνολο του γραφήματος G. k-κρίσιμος (k-critical): o G είναι κρίσιμος και k-χρωματικός. k≥2 Εαν χ(G)=k και χ(G-r)=k-1 για κάθε ν που ανήκει V(G) Θεώρημα: Αν ο G είναι k-κρίσιμος, τότε d(G) >= k-1. χ(G) = 3 χ(Η) < 3 W6W6 χ(W 6 )=4 => κρίσιμος 4-χρωματικός => 4-κρίσιμος

6 Θεώρημα: G k-κρίσιμος =>d(G) >= k-1

7 Εισαγωγή (5) Τέλειο γράφημα (perfect graph): αριθμός κλίκας ω(Η)=χ(Η) χρωματικό αριθμό, για κάθε επαγόμενο υπογράφημα Η του γραφήματος G. Holes Antiholes Όχι Perfect

8 Εισαγωγή (6) Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς ακμές (k-edge colorable): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα. Γράφος k-χρωματικός ως προς ακμές (k-edge chromatic): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1. Χρωματικός αριθμός ακμών ή κατάλογος (chromatic index): χ’(G)=k. Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς περιοχές (k-region colorable): οι περιοχές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα Χ’(G) Χάρτες

9 Χρωματισμός Κορυφών (1) χ(K n ) = n χ(Ν n ) = 1 χ(K m,n ) = 2, για m, n >= 1 χ(G) = 2, αν δεν υπάρχει κύκλος περιττού μήκους => ΌΧΙ χ(Τ) = 2, αν το δένδρο έχει n>2 κορυφές χ(C 2n ) = 2 χ(C 2n+1 ) = 3 χ(W 2n ) = 3 χ(W 2n+1 ) = 4

10 Χρωματισμός Κορυφών (2) Ερώτημα: ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός ενός γράφου; Απάντηση: r <= χ(G) <= n, αν υπάρχει υπογράφος K r. Θεώρημα: Κάθε γράφος μη πλήρης με D(G) είναι (D+1)-χρωματίσιμος. Θεώρημα (Brookes 1941): Κάθε γράφος μη πλήρης με D(G)>=3 είναι D-χρωματίσιμος.

Εάν G έχει n=D+1 κόμβους => η αλήθεια του Θεωρήματος είναι προφανής Υποθέτουμε ότι ισχύει για n=k-1=> Θα αποδείξουμε ότι ισχύει όταν G έχει k κόμβους. Αν από G διαγράψουμε ν : d(v) =D => G-v είναι βαθμού το πολύ D και έχει n-1 κόμβους. Άρα G-v είναι (D+1)-χρωματίσιμος => ν χρωματίσιμοι με ένα χρώμα που δεν υπάρχει στους γείτονές του. v 11 Χρωματισμός Κορυφών (2) – Απόδειξη θεωρήματος Δ(G)=4

12 Χρωματισμός Κορυφών (3) Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 6-χρωματίσιμος. Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 5-χρωματίσιμος. Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 4-χρωματίσιμος. Η απόδειξη δεν δίνεται σε κανένα δικτυακό βιβλίο

13 Κάθε επίπεδο γράφημα είναι G - χρωματίσιμο

14 Χρωματισμός Κορυφών (3) Εικασία των 4 χρωμάτων (4 color conjecture): Guthrie 1850 (παρατήρηση) DeMorgan 1852 Hamilton 1852 Cayley 1878 (δεν βρήκε λύση) Kempe 1880 (βρήκε λάθος λύση) Heawood 1890 (βρήκε το λάθος της λύσης) Franklin 1920 (για n<=25) Reynolds 1926 (για n<=27) Franklin 1931 (για n<=31) Winn 1943 (για n<=35) Ore-Stemple 1968 (για n<=40) Appel-Haken-Koch 1977

15 Χρωματισμός Χαρτών Θεώρημα: Ένας επίπεδος απλός γράφος G είναι k-χρωματίσιμος (ως προς τις κορυφές), αν και μόνον αν ο G* είναι k-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές. Θεώρημα: Ένας χάρτης G είναι 2-χρωματίσιμος αν και μόνον αν είναι Eulerian. Θεώρημα: Ένας κυβικός χάρτης είναι 3-χρωματίσιμος αν και μόνον αν κάθε περιοχή περικλείεται από άρτιο αριθμό ακμών.

16 Χρωματισμός Ακμών (1) χ’(C 2n ) = 2 χ’(C 2n+1 ) = 3 χ’(W n ) = n-1, αν n >= 4 Θεώρημα (Vizing 1964): Για κάθε απλό γράφο G ισχύει D(G) <= χ’(G) <= D(G)+1 Θεώρημα: Για κάθε πλήρη διμερή γράφο ισχύει χ’(K m,n ) = D(K m,n ) = max(m,n) n=6 X’=5

17 Χρωματισμός Ακμών (2) Θεώρημα: Για κάθε πλήρη γράφο ισχύει χ’(K n ) = n (n περιττό) = n-1 (n άρτιο)

18 Χρωματικά Πολυώνυμα (1) Ερώτηση: Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε τις κορυφές ενός γράφου με k χρώματα; Απάντηση: Χρωματικό πολυώνυμο P G (k) (Birkhoff 1912) P Nn (k) = k n P T (k) = k(k-1) n P Kn (k) = k(k-1)…(k-n+1) P G (k) = 0, αν k<χ(G) P G (k) > 0, αν k>=χ(G) P G (k) > 0, αν G απλός επίπεδος γράφος Ο αριθμός των τρόπων που μπορούν να χρωματιστούν οι κόμβοι ενός G με k χρώματα G P G (k) = k(k-1) 2

19 Χρωματικά Πολυώνυμα (2) Θεώρημα: Έστω γράφος G και δύο μη γειτονικές κορυφές u, w. Τότε ισχύει P G (k)=P G1 (k)+ P G2 (k), όπου G 1 =G+(u,w) και G 2 =G/(u,w). Θεώρημα: Το χρωματικό πολυώνυμο γράφου G με n κόμβους είναι πολυώνυμο ως προς k βαθμού n. Το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές με εναλλασσόμενα πρόσημα, μεγαλύτερο όρο το k n και σταθερό όρο ίσο με 0. Κ 5 + 3Κ 4 + 2Κ 3 K(k-1) 3

20 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (1) Ο προσδιορισμός του χρωματικού αριθμού είναι δυσχείριστο πρόβλημα Σειριακός αλγόριθμος (άπληστος): Πολυπλοκότητα Ο(n*m) Τι γίνεται σε διμερή γράφο; Πρώτα η μεγαλύτερη (largest first): Ταξινόμηση κορυφών ως προς αύξοντα βαθμό. Μετά σειριακός d(vi) ≥ d(vi+1) για i=1,2,3,..,k-1 Welsh+Powell,1967: X(G)≤max {min (i, d(vi)+1)} i

21 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (2) Τελευταία η μικρότερη (smallest last): Matula-Marble-Issacson 1972 Ταξινόμηση κορυφών ως προς φθίνοντα βαθμό. Μία- μία διαγράφονται οι κορυφές, ώστε να προκύψει μια νέα διάταξη των κορυφών. Μετά σειριακός. Μέθοδος βαθμού-χρώματος (color-degree): Brelaz 1979 Βαθμός χρώματος κορυφής: αριθμός χρωμάτων που χρησιμοποιήθηκαν σε γειτονικές κορυφές. V με max degree color(v)  1; =>μετά max color-degree 1 Max degree Color degree 1 => max degree Color degree 2 => max degree 1 2 Μετά από κάθε διαγραφή =>νέα degrees + sorty

22 Ωρολόγιο Πρόγραμμα Ο Χ i (1 <= i <= m) διδάσκει το Υ j (1<= j <= n) για P ij ώρες/εβδομάδα. Κανείς Χ i δεν διδάσκει περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα, αλλά και κανένα Υ j δεν διδάσκεται περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα. Λύση: Διμερής γράφος K m,n. Η κορυφή Χ ι ενώνεται με την κορυφή Υ j με P ij ακμές Χ’(Km,n)=P Χρωματισμός ακμών

23 Παράδειγμα Εφαρμογής Αλγορίθμων Χρωματισμού -1- 1) Σειριακή μέθοδος : 2) Πρώτα ή Μεγαλύτερη : 3) Τελευταία ή Μικρότερη:

24 Παράδειγμα Εφαρμογής Αλγορίθμων Χρωματισμού -2- 4) Μέθοδος του βαθμού χρώματος

25 ΆΣΚΗΣΗ 20