吉林大学远程教育课件 主讲人 : 杨凤杰学 时： 64 ( 第二十八讲 ) 离散数学

定理 设 M 的元数为 n, 若 n>1 ， 则奇置换的个数和偶置换的个数相 等，因而都等于 n!/2 。 证明：命 τ 1,τ 2, …,τ m （ 5 ） 为 M 的所有偶置换, 由于 n>1, 故我们 可以取一个对换 ρ ，而作下列乘积： ρτ 1 ， ρτ 2 ， … ， ρτ m （ 6 ） 显然 ρτ i 是奇置换, 而且诸 ρτ i 互不相同, 即 (6) 中无重 复元素。事实上, 当 i≠j 时 τ i ≠τ j, 故倘若 ρτ i =ρτ j, 则 以 ρ -1 左乘得 τ i =τ j 将导出矛盾, 这说明 M 的奇置换 不少于偶置换. 反之, 若 σ 为 M 的任意奇置换, 则 ρ - 1 σ 为偶置换, 故必等于某一个 τ i,ρ -1 σ=τ i ，因而 σ=ρτ i, 这说明 M 的任意奇置换必在 (6) 中, (6) 就是 M 的所有奇置换,M 的奇置换不多于偶置 换. 于是奇置换的个数和偶置换的个数相等, 各 占置换总数 n! 的一半, 这就证明了定理 。

§6.4 子 群 及 其 陪 集 子 群 的 定 义 定义 设 (G ， · ) 是一个群， H 是 G 的一个子集，如果按照 G 中 的乘法运算 · ， H 仍是一个群，则 （ H ， · ）叫做（ G ， · ）的子群。 如果 G 的一个子群 H 不等于 G ，即 H  G ， 则（ H ， · ）叫做（ G ， · ）的真子群。 例 所有整数按照加法作成一个群。对 于任意整数 m ， m 的所有倍数在加法下 作成整数加法群的一个子群。 例 复数加群以实数加群、有理数加 群以及整数加群为其真子群。

例 所有非零复数作成的乘法 群以所有非零实数作成的乘法群、 所有非零有理数作成的乘法群为其 真子群。 例 行列式等于 1 的所有 n 阶 矩阵作成所有 n 阶非奇异矩阵的乘 法群的一个子群。 例 n 次交代群是 n 次对称群的 一个真子群。 例 任一群 G 都有两个明显的子群，一个是 由其单位元素组成的子群 {1} ，称为 G 的单位子 群；还有一个就是 G 本身。这两个子群称为 G 的平凡子群，其余的子群（如果有的话）称为 非平凡子群。 注意： G 的子群 H 不只是一个包含在 G 中的群, 而 且 H 的运算必须与 G 的运算一样, 比如 m, 非零实 数作成的乘法群不是所有实数作成的加法群的 子群。

6.4.2 子群的判别条件 定理 （判别条件一） 群 G 的一个子集 H 是 G 的一个子群 的充分必要条件是： (1) 若 a ∈ H ， b ∈ H ，则 ab ∈ H ； (2) 若 a ∈ H ，则 a -1 ∈ H ； (3) H 非空。 证明： 必要性。 设 H 是 G 的子群，于是按 照 G 中的乘法， H 是一个群, 由群的定义 ， H 中的两个元素 a ， b 应该可以按照 G 中 的乘法在 H 内相乘, 故 ab ∈ H, 即 (1) 成立。 由群的定义要求，（ 3 ）也必然成立。

现要证（ 2 ），先证 G 中的单位元 就是 H 中的单位元，设 1 是 G 中的 单位元， 1 ˊ是 H 中的单位元。 取任意 a ∈ H ，则 1 ˊ a=a ，此式在 H 中成立，故在 G 中也成立。以 a -1 右乘得 1 ˊ（ aa -1 ） = aa -1 即 1 ˊ =1 ， 故 G 中的单位元就是 H 的单位元，由群的 定义，对于 H 中的 a ，应有 b ∈ H 使 ab=1 ， 此式在 G 中亦成立，以 a -1 左乘得 b=a -1 ， 因而 a -1 ∈ H ，即（ 2 ）成立。

充分性 今设 (1),(2),(3) 成立，由 (3)H 非空。由 (1),H 中的两个元素 a ， b 可以在 H 内相乘。设 a,b,c 是 H 的任意 三个元素, 在 G 中有 (ab)c = a(bc) ， 此式在 H 中自然也对, 即结合律成立。 今证 H 中有单位元。取任意 a ∈ H, 由 (2) a -1 ∈ H, 由 (1),aa -1 ∈ H, 即 1 ∈ H ； 1 在 G 中适合 1a=a, 故在 H 中亦有此性质。最后,H 中任 意 a 有逆，因由（ 2 ）， a -1 ∈ H ，但是 G 中， a - 1 a=1 ，此式在 H 中亦应成立，故 a -1 即 a 在 H 中 之逆，群的条件已经全部适合，故按照 G 中的 乘法， H 是一个群，它是 G 的一个子群。 由该定理的证明可推出子群 H 与大群 G 的关系： H 的单位元素就是 G 的单位元素， H 中任一元 素 a 在 H 中的逆元素也就是 a 在 G 中的逆元素。

定理 （判别条件二） 定理 中的两个条件 (1), (2) 可以换成下面一个条件 (*) 若 a ∈ H,b ∈ H, 则 ab -1 ∈ H 。 证明：设 (1),(2) 成立，往证 (*) 成立。设 a ∈ H,b ∈ H, 由 (2),b -1 ∈ H, 故由 (1), ab -1 ∈ H ，因而（ * ）成立。 设（ * ）成立，往证（ 1 ），（ 2 ）成立。 设 a ∈ H ，由（ * ）可推得,a ∈ H,a ∈ H ，故 aa -1 ∈ H, 即 1 ∈ H 。又由（ * ）可推得， 1 ∈ H ， a ∈ H ，故 1a -1 ∈ H ，即 a -1 ∈ H ，因而（ 2 ）成立。设 a ∈ H ， b ∈ H ，因为（ 2 ）已证 ，故 b -1 ∈ H 。再由（ * ）推知， a ∈ H ， b - 1 ∈ H ，故 a （ b -1 ） -1 ∈ H ，即 ab ∈ H ，故（ 1 ）成立。

定理 （判别条件三） 群 G 的一个有限非空子集 H 是 G 的一个子群的充分必要条件是 H 对 G 的运算是封闭的，即若 a ∈ H ， b ∈ H ，则 ab ∈ H 。 该定理的证明作为习题留给读者。 如果 G 是有限群，那么 G 的子集都是有限 集，因此总可以应用判别条件三来判断 G 的非空子集是否是一个子群。

6.4.3 循 环 群 定理 设 a 是群 G 的一个元 素。于是 a 的所有幂的集合 a n ， n=0 ， ±1 ， ±2 ， … 做成 G 的一个子群，记为（ a ）。 此群称为由 a 生成的子群。 证明： (1)(a) 非空，例如 a 0 =1 ∈（ a ）。 (2) 任取（ a ）中二元素 a m ， a n ， 有 a m （ a n ） -1 =a m a -n =a m-n ∈（ a ）。故由定 理 ，（ a ）做成 G 的一个子群。 定义 群 G 叫做一个循环群，或巡回 群，如果 G 可以由它的某元素 a 生成，即 有 a ∈ G 使 G= （ a ）。于是定理 中的 子群（ a ）可称为由 a 生成的循环子群。

例 整数加法群（ Z ， + ） 是由 1 生成的循环群。（ nZ ， + ） 是由 n 生成的循环群。 兹试看群 G 的一个元素 a 所生成 的循环群（ a ）： …,a -2,a -1,a 0,a,a 2, … 其中 a 0 =1 (1) 有两种情形： 情形 1 0 如果（ 1 ）中所有元素都彼此不同 ，则称 a 的周期为无穷大或 0 。此时，对 任意两个不同的整数 s 与 t ， a s ≠a t 。 情形 2 0 如果（ 1 ）中出现重复的元素，即 有整数 s≠t 使 a s =a t 。不妨设 s>t ，于是 s- t>0 而 a s-t =1, 即有正整数 m 使 a m =1 。若 n 为适合 a n =1 的最小正整数，则称 a 的周期 为 n 。