第 5 章第 5 章 機率論與機率分配
5-1 機率定義的確立 (1/2) 隨機實驗 1. 每次試驗中可能出現的結果，不止一種情況， 但出現的情況是已知的 2. 一次只會出現其中一種結果，但在未真正試驗 之前，無法確知那種情況會發生 3. 試驗可在相同的情況下，重複進行 出像：係指試驗所有可能出現的情況
5-1 機率定義的確立 (2/2) 樣本點：以座標圖中的一個點來表示出 像的情況 樣本空間：是指所有可能出象 事件：係指樣本空間內的一個部分集合 機率定義：事件 A 之機率、樣本點數 n 與 樣本點數 N 之比 P(A) = n N
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5-2 機率的運算 (1/3) 任何事件 A 發生的機率必大於或等於 0 ， 即 P(A) ≧ 0 設 S 為樣本空間，即 P(S)=1 設 A 1 ， A 2 ，．．．為互斥事件，即 P(A 1 ∪ A 2 ．．． )=P(A 1 )+P(A 2 )+ ．．． 所謂互斥事件即 A 1 ∩A 2 ．．． =ψ
5-2 機率的運算 (2/3) 餘事件的機率：設 A` 為事件 A 之餘事件， 則 P(A`)=1-P(A) 機率的加法定理：若 A ， B 為任意兩事件， 則事件 A 或 B 發生之機率為 P(A ∪ B)=P(A)+P(B)-P(A∩B) 機率的乘法定理：若 P(A)≠0 則 P(A∩B)=P(A) ． P(B|A) 或 P(A∩B)=P(B) ． P(A|B)
5-2 機率的運算 (3/3) 互斥事件：即兩事件不可能同時發生， A∩B=ψ (A 與 B 沒有交集 ) 條件機率： A 事件發生後再發生 B 事件的機率 其中 P(A)≠0 獨立事件： A 事件是否發生對 B 事件毫無影響， 即 P(B|A)=P(B) ， P(A|B)=P(A) 且 P(A∩B)=P(A) ． P(B) P(B|A) = P(A∩B) P(A)
5-3 貝氏定理 了解樣本空間以求算某一事件發生的機 率，這種機率稱為事前機率。獲得一些 與事件有關的資訊，再回過頭來修正事 前機率，稱為事後機率 P(A|B) = P(A∩B) P(B) = P(A) ． P(B|A) P(B) P(B) = Σ P(A i )P(B|A i ) 稱為全機率 S i=1
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5-4 隨機變數與機率分配 隨機變數是函數，其定義域為樣本空間， 值域為實數 所謂隨機，是指隨機實驗 所謂變數，是指樣本出象的一個量的分 類標準，變數可能產生的數值，稱為變 量
若以函數表示即 X(S)=x ，隨機變數 X 即為函數， S 為定義域， x 為值 域
5-4.3 隨機變數的種類 間斷隨機變數：變量是有限個，或是無 限個但可計數著 連續隨機變數：是無限個變量且不可計 數
5-4.4 機率分配 機率分配指隨機變數之各變量發生的機 率。機率分配亦為函數的一種，稱為機 率函數 機率分配的種類 1. 間斷機率分配：將間斷隨機變數 X 其所有變 量 x ，與其變量所對應的機率 f(x) 之關係列表 表示或以函數 f(x)=P(X=x) 表示 連續機率分配：設連續隨機變數 X ，其 f(x) 為 一連續函數且 f(x) 曲線下之面積為 1
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5-5 期望值與變異數 期望值係以機率分配的觀點，來解釋的 平均數 期望值是根據機率分配的機率所計算， 而算術平均數是根據實際次數分配的相 對次數所計算 期望值的性質 設 b 為常數，則 b 之期望值 E(b)=b 設 X 為一隨機變數， a 為常數，則 E(aX)=aE(X) E(aX+b)=aE(x)+b μ =E(X)=Σ x ． F(x)= Σxf(x) x 屬於 X(s)
5-5.2 變異數 Var(x)=E[X-E(X)] V(X)=E(X )-[E(X)] 變異數的性質 設 b 為常數，則 b 之變異數 V(b)=0 設 a 為常數，則 V(ax)=a V(x)
5-6 謝氏定理之重述 P( |X- μ | ≦ Z σ ) ≧ 1- 1 Z 2 Z P( | | ≦ Z ) ≧ X- μ σ σ 其中 Z= 為標準隨機變數，其中 E(Z)=0 ， V(Z)=1
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