ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 27/06/07 Ουρές Markov Μ/Μ/Ν/Κ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (1) Διαδικασίες Γεννήσεων–Θανάτων (Birth-Death Processes) Παραδοχές: Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών Pn(t) = λn-1ΔΤ Pn-1(t-ΔΤ) + μn+1ΔΤ Pn+1(t-ΔΤ) + [1- (λn+μn)ΔΤ] Pn(t-ΔΤ) dPn(t)/dt = λn-1Pn-1(t) + μn+1Pn+1(t) – (λn+μn)Pn(t) Αν ισχύει η εργοδικότητα της κατάστασης Markov n(t) για t∞ dPn(t)/dt = 0, Pn(t) = Pn Εργοδικές Πιθανότητες Pn >0 για όλες τις απείρως επισκέψιμες καταστάσεις n (positive recurrent states) P0 >0 για διασφάλιση σταθερής κατάστασης (steady state)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (2) Εξισώσεις Ισορροπίας: #{μεταβάσεων προς την κατάσταση s} = #{μεταβάσεων εκτός της s} (σφαιρική ισορροπία – global balance equations) #{μεταβάσεων s1  s2} = #{μεταβάσεων s2  s1} (τοπική ισορροπία – local balance equations) Λόγω εργοδικότητας: σε μεγάλο χρονικό διάστημα παρατήρησης Τ, με Τ1 και Τ2 τους συνολικούς χρόνους παραμονής στις s1, s2: (1) #{μεταβάσεων s1  s2} = T1 x r1,,2 (2) #{μεταβάσεων s2  s1} = T2 x r2,,1 Όπου r1,2, r2,1 οι μέσοι ρυθμοί μετάβασης από 1 2 και 21 Λόγω ισορροπίας: (1) = (2), r1,2 x {T1 /Τ} = r2,1 x {T2 /Τ}, ή r1,2 x P1 = r2,1 x P2

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (3) Η ουρά Μ/Μ/1 (άπειρου μεγέθους) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λn = λ, Poisson Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μn = μ Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων Pn Μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης Ε(n)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (4) Συστήματα Μ/Μ/1 με ρυθμούς άφιξης και ρυθμούς εξυπηρέτησης εξαρτώμενους από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα (από την κατάσταση του συστήματος) (State Dependent M/M/1 Queues) μ(n) λ(n) λ(0) λ(1) λ(n-1) λ(n) 1 2 n-1 n n+1 μ(1) μ(2) μ(n) μ(n+1)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (5) Η ουρά Μ/Μ/1 Pn = (1-ρ) ρn, n = 0,1,2,…, ρ = λ/μ < 1 E(n) = ρ/(1-ρ) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/λ E(T) = (1/μ) / (1-ρ)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (6) Άλλες Ουρές Markov M/M/1/K (ουρά με μέγιστη χωρητικότητα Κ, συμπεριλαμβανομένου του εξυπηρετουμένου) Πιθανότητα απώλειας, P{blocking} Pbl = PΚ = Pο ρΚ , P0 = (1-ρ)/(1-ρΚ+1) Ρυθμαπόδοση (Throughput) γ = λ (1- PΚ ) Μέση Καθυστέρηση Ε(Τ) = Ε(n)/γ Μ/Μ/Ν/Κ (ουρά με Ν εξυπηρετητές, χωρητικότητα K) Pn = λ/(nμ) Pn-1 , n=0,1,2,…,K, P0 + P1 +…+ PK-1 + PK = 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράδειγμα ανάλυσης ουράς Markov με m εξυπηρετητές M/M/m [Erlang –C] Infinite buffer Finite # of servers (m) Prob. All servers are busy

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ M/M/N/K Pn = [λ/(nμ)] Pn-1 , n=1, 2, … , N-1 Pn = [λ/(Nμ)] Pn-1 , n=N, N+1, … , K P0 + P1 +…+ PK-1 + PK = 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ M/M/N/N [Erlang-B] Μοντέλο τηλεφωνικού κέντρου με μέσο ρυθμό κλήσεων λ (Poisson), εκθετική διάρκεια τηλεφωνήματος, μέσος χρόνος 1/μ, Ν γραμμές και απώλειες χωρίς επανάκληση (redial) Μέση προσφερόμενη ένταση φορτίου (offered traffic intensity) ρ = λ/μ (Erlangs) Pbl = PN = (ρN/N!) / (1 + ρ + ρ2/2+ ρ3/3! + ... + ρN/N!) (Τύπος Erlang – B)