ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ 11/06/08 Ανάλυση Ουρών Markov

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (1) Διαδικασίες Γεννήσεων–Θανάτων (Birth-Death Processes) Παραδοχές: –Ανεξαρτησία γεννήσεων-θανάτων –Εξέλιξη βασισμένη στο παρόν (Markov) Σύστημα Διαφορικών εξισώσεων Διαφορών P n (t) = λ n-1 ΔΤ P n-1 (t-ΔΤ) + μ n+1 ΔΤ P n+1 (t-ΔΤ) + [1- (λ n +μ n )ΔΤ] P n (t-ΔΤ) dP n (t)/dt = λ n-1 P n-1 (t) + μ n+1 P n+1 (t) – (λ n +μ n )P n (t) Αν ισχύει η εργοδικότητα της κατάστασης Markov n(t) για t  ∞ dP n (t)/dt = 0, P n (t) = P n Εργοδικές Πιθανότητες P n >0 για όλες τις απείρως επισκέψιμες καταστάσεις n (positive recurrent states) P 0 >0 για διασφάλιση σταθερής κατάστασης (steady state)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (2) Εξισώσεις Ισορροπίας: #{μεταβάσεων προς την κατάσταση s} = #{μεταβάσεων εκτός της s} (σφαιρική ισορροπία – global balance equations) #{μεταβάσεων s 1  s 2 } = #{μεταβάσεων s 2  s 1 } (τοπική ισορροπία – local balance equations) Λόγω εργοδικότητας : σε μεγάλο χρονικό διάστημα παρατήρησης Τ, με Τ 1 και Τ 2 τους συνολικούς χρόνους παραμονής στις s 1, s 2 : (1)#{μεταβάσεων s 1  s 2 } = T 1 x r 1,,2 (2) #{μεταβάσεων s 2  s 1 } = T 2 x r 2,,1 Όπου r 1,2, r 2,1 οι μέσοι ρυθμοί μετάβασης από 1  2 και 2  1 Λόγω ισορροπίας: (1) = (2), r 1,2 x {T 1 /Τ} = r 2,1 x {T 2 /Τ}, ή r 1,2 x P 1 = r 2,1 x P 2

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Επανάληψη (3) Η ουρά Μ/Μ/1 (άπειρου μεγέθους) Σταθεροί μέσοι ρυθμοί αφίξεων (γεννήσεων) λ n = λ, Poisson Σταθεροί μέσοι ρυθμοί εξυπηρέτησης (θανάτων) μ n = μ Εκθετικοί χρόνοι εξυπηρέτησης s, E(s) = 1/μ Εργοδικές πιθανότητες καταστάσεων P n Μέσος όρος πληθυσμού - κατάστασης Ε(n)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Συστήματα Μ/Μ/1 με ρυθμούς άφιξης και ρυθμούς εξυπηρέτησης εξαρτώμενους από τον αριθμό των πελατών στο σύστημα (από την κατάσταση του συστήματος) (State Dependent M/M/1 Queues) λ(n) μ(n) λ(0)λ(1)λ(n-1) μ(1) μ(2) λ(n) μ(n) μ(n+1) 0 12 n-1 n n+1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η ουρά Μ/Μ/1 P n = (1-ρ) ρ n, n = 0,1,2,…, ρ = λ/μ < 1 E(n) = ρ/(1-ρ) Νόμος του Little: E(T) = E(n)/γ = E(n)/λ E(T) = (1/μ) / (1-ρ)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράδειγμα Ανάλυσης Ουρών Markov: M/M/1/K (ουρά με μέγιστη χωρητικότητα Κ, συμπεριλαμβανομένου του εξυπηρετουμένου) Πιθανότητα απώλειας, P{blocking} P bl = P Κ = P ο ρ Κ, P 0 = (1-ρ)/(1-ρ Κ+1 ) Ρυθμαπόδοση (Throughput) γ = λ (1- P Κ ) Μέση Καθυστέρηση Ε(Τ) = Ε(n)/γ

Παράδειγμα ανάλυσης ουράς Markov με m εξυπηρετητές M/M/m [Erlang –C] Infinite buffer Finite # of servers (m) Prob. All servers are busy

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Άλλα Παραδείγματα Ουρών Markov –Μ/Μ/Ν/Κ (Ν εξυπηρετητές, χωρητικότητα Κ, N ≤ K) P n = [λ/(nμ)] P n-1, n=1, 2, …, N-1 P n = [λ/(Nμ)] P n-1, n=N, N+1, …, K P 0 + P 1 +…+ P K-1 + P K = 1

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ –M/M/m/m (m εξυπηρετητές, χωρητικότητα m) Erlang – B Μοντέλο τηλεφωνικού κέντρου με μέσο ρυθμό κλήσεων λ (Poisson), εκθετική διάρκεια τηλεφωνήματος, μέσος χρόνος 1/μ, m γραμμές και απώλειες χωρίς επανάκληση (redial) ρ = λ/μ (Erlangs) P bl = P m = (ρ m /m!) / (1 + ρ + ρ 2 /2+ ρ 3 /3! ρ m /m!)