最新計算機概論 第4章　數位邏輯設計

4-1 邏輯電路 邏輯電路是由可以完成某些功能的邏輯閘所組成，至於邏輯電路的分析與設計則是透過布林代數。 4-1　邏輯電路 邏輯電路是由可以完成某些功能的邏輯閘所組成，至於邏輯電路的分析與設計則是透過布林代數。 例如下表是兩個二元變數X、Y進行相加的結果，SUM代表和，CARRY代表進位。

AND運算子 OR運算子 NOT運算子

SUM = ((NOT X) AND Y) OR (X AND (NOT Y)) = (X’ * Y) + (X * Y’) CARRY = X AND Y = X * Y

4-2 布林代數 值為0或1的二元變數 (binary variable) 值為0或1的常數 (constant) 4-2　布林代數 值為0或1的二元變數 (binary variable) 值為0或1的常數 (constant) AND、OR、NOT運算子 (operator) (、)、[、]、{、} 等括號 = 等號

XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z)，且X = 1、Y = 1、Z = 0，則運算過程如下： 舉例來說，假設布林函數F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z)，且X = 1、Y = 1、Z = 0，則運算過程如下： F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z) = X * Y * Z’ + (X’ * Z’) * (Y + Z) = 1 * 1 * 0’ + (1’ * 0’) * (1 + 0) = 1 * 1 * 1 + (0 * 1) * (1 + 0) = 1 + 0 * 1 = 1 + 0 = 1

4-2-1　真值表 F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z) 的真值表如下：

4-2-2　文氏圖

以文氏圖表示F(X, Y, Z) = X’Z’ + XY

4-2-3　布林代數恆等式

4-3　邏輯閘 4-3-1　AND閘

4-3-2　OR閘

4-3-3　NOT閘

4-3-4　XOR閘

4-3-5　NAND閘

使用NAND閘來模擬AND閘 使用NAND閘來模擬OR閘 使用NAND閘來模擬NOT閘

NAND閘亦可以表示成如下的邏輯符號

4-3-6　NOR閘

使用NOR閘來模擬AND閘 使用NOR閘來模擬OR閘 使用NOR閘來模擬NOT閘

NOR閘亦可以表示成如下的邏輯符號

4-3-7　XNOR閘

4-3-8　多重輸入邏輯閘

4-4 邏輯簡化: 簡少電路邏輯閘之使用數目 之一種處理程序 4-4　邏輯簡化: 簡少電路邏輯閘之使用數目 之一種處理程序 4-4-1　標準形式 積項 (product terms) 和項 (sum terms) 最小項 (miniterms) 最大項 (maxiterms) 積項之和 (SOP) 和項之積 (POS) 最小項之和 (sum of miniterms) 最大項之積 (product of maxterms)

積項 (product terms) 和項 (sum terms) 最小項 (miniterms) 最大項 (maxiterms) 兩個或以上二元變數以AND運算子連接在一起，例如XY, X’Y’Z’, Y’Z’均屬之，而X+Y, X(Y+Z)則不是 和項 (sum terms) 兩個或以上二元變數以OR運算子連接在一起，例如X+Y, X’+Y’, Y’+Z’均屬之，而XY, X(Y+Z)則不是 最小項 (miniterms) 積項中每個二元變數都要出現一次，不論是變數本身或補數形式，例如XYZ, X’Y’Z屬之，XY, XZ’則不是 最大項 (maxiterms) 和項中每個二元變數都要出現一次，不論是變數本身或補數形式，例如X+Y+Z, X’+Y’+Z屬之，X+Y, X+Z’則不是

最小項之和 (sum of miniterms) 積項之和 (SOP) 以OR運算子連接各個積項，例如XY+ X’Y’Z’+ Y’Z’均屬之，而(X+Y)( X+Y+Z)則不是 和項之積 (POS) 以AND運算子連接各個和項，例如(X+Y)(X’+Y’+Z’)屬之，而XY+ XYZ+Y’Z’則不是 最小項之和 (sum of miniterms) 與積項之和類似，但以OR運算子連接各個最小項，例如XYZ+X’Y’Z+XYZ’屬之，XY+ XZ’則不是 最大項 之積((product of maxterms) 與和項之積類似，但以AND運算子連接各個最小項，例如(X+Y+Z)( X’+Y’+Z)(X+Y+Z’)屬之，(X+Y)( X+Z’)則不是

包含2個及3個二元變數之布林函數的最小項定義：

包含2個及3個二元變數之布林函數的最大項定義：

4-4-2　卡諾圖 包含2個二元變數的卡諾圖

將F(X, Y) = XY + XY’ 簡化為積項之和： F(X, Y) = m3 + m2 = Σm(2, 3)。 XY’ + XY = (X)(Y’ + Y) = X。

包含3個二元變數的卡諾圖

X’YZ + X’YZ’+ XY’Z + XYZ = (X’Y)(Z + Z’) + XZ(Y’ + Y) = X’Y + XZ。 將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z簡化為積項之和： F(X, Y, Z) = m2 + m3 + m5 + m7 = Σm(2, 3, 5, 7)。 X’YZ + X’YZ’+ XY’Z + XYZ = (X’Y)(Z + Z’) + XZ(Y’ + Y) = X’Y + XZ。

包含4個二元變數的卡諾圖

將F(W, X, Y, Z) = Σm(0, 2, 4, 6, 8, 10, 13, 15) 簡化為積項之和： W’Z’ + WXZ + X’Z’。

以卡諾圖將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z簡化為和項之積： F(X, Y, Z) = Σm(2, 3, 5, 7)。 X’Y’ + XZ‘。 由於這個布林函數的補數為X’Y’ + XZ’，故F(X, Y, Z) = (X’Y’ + XZ’)’ = (X + Y)(X’ + Z)。

將F(W, X, Y, Z) = Σm(0, 1, 5, 10, 14) + d(4, 7, 11, 15) 簡化為積項之和： W’Y’ + WY。

4-5　組合電路

4-5-1 分析組合電路 將各個邏輯閘的輸出一一表示成變數。 4-5-1　分析組合電路 將各個邏輯閘的輸出一一表示成變數。 由前往後推算各個變數的布林函數，直到求出最後一個變數的布林函數，即為整個邏輯電路的布林函數。

根據前一個範例的組合電路，推算真值表： 將各個邏輯閘的輸出一一表示成變數F1、F2、F3、F。

4-5-2 設計組合電路 根據題意決定輸入、輸出變數的個數。 推算出真值表。 以卡諾圖從真值表求出簡化的布林函數。 4-5-2　設計組合電路 根據題意決定輸入、輸出變數的個數。 推算出真值表。 以卡諾圖從真值表求出簡化的布林函數。 將布林函數繪製成邏輯電路。 邏輯電路又分成AND-OR、NAND-NAND、OR-AND、NOR-NOR等四種較受歡迎的形式 。

將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z繪製成AND-OR電路： F(X, Y, Z) = X’Y + XZ。

將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z繪製成OR-AND電路： F’(X, Y, Z) = X’Y’ + XZ’，故F(X, Y, Z) = (X’Y’ + XZ’)’ = (X’Y’)’(XZ’)’ = (X + Y)(X’ + Z)。

將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z繪製成NAND-NAND電路：

將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z繪製成NOR-NOR電路：

4-6　常見的組合電路 4-6-1　半加法器

SUM = X’Y + XY’，CARRY = XY，其邏輯電路如下： 或SUM = X’Y + XY’ = X⊕Y，CARRY = XY，其邏輯電路如下：

4-6-2　全加法器

SUM = Cin’X’Y + Cin’XY’ + CinX’Y’ + CinXY，CARRY-OUT = Cin’XY + CinX’Y + CinXY’ + CinXY = XY + CinY + CinX，其邏輯電路如下：

或SUM = Cin’X’Y + Cin’XY’ + CinX’Y’ + CinXY = (Cin⊕X)Y’ + (Cin⊕X)’Y = Cin⊕X⊕Y，CARRY-OUT = Cin’XY + CinX’Y + CinXY’ + CinXY = (Cin⊕X)Y + CinX，其邏輯電路如下：

4-6-4　乘法器 2 x 2乘法器

4 x 3乘法器

4-6-5 解碼器 將n bits輸入信號轉換成2n個輸出

4-6-6 編碼器將2n 個 bits輸入信號轉換成n個輸出

4-6-7　多工器

習題 : 寫出真值表 1 2 3. 將F(X,Y,Z)=XY+X’Y+Y’Z 繪製成 AND-OR電路 X Y’ A X’ B Y X Y