ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ SYLVESTER - Η ΕΞΙΣΩΣΗ SYLVESTER ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΄΄ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΚΑΙ ΘΕΩΡΙΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΕΛΕΓΧΟΥ΄΄ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ SYLVESTER - Η ΕΞΙΣΩΣΗ SYLVESTER ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟY - ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ MATLAB ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Δημήτριος Χ. Κατωτοικίδης Επιβλέπουσα: Μαρία Γουσίδου-Κουτίτα Αναπλ. Καθηγήτρια Α.Π.Θ Θεσσαλονίκη, Ιούνιος 2007

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ SYLVESTER Η ΕΞΙΣΩΣΗ SYLVESTER ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟY ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕ MATLAB

Αριθμητική επίλυση του γραμμικού συστήματος Αx=b oχι π.χ προτείνεται απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση κάτω τριγωνικός άνω τριγωνικός

προς τα εμπρός αντικατάσταση Κάτω τριγωνικό σύστημα προς τα εμπρός αντικατάσταση άνω τριγωνικό σύστημα πίσω αντικατάσταση mygaussel

Στοιχειώδεις ορθογώνιοι μετασχηματισμοί Επίπεδες περιστροφές (plane rotations) Στοιχειώδεις αντανακλάσεις (elementary reflections) Επίπεδες περιστροφές (Givens) επίπεδο i , j θέσεις Κυρίως σκοπός της επίπεδης περιστροφής είναι να παρουσιάσει μηδενικό σε ένα μονάχα στοιχείο ενός διανύσματος ή ενός πίνακα.

δοσμένο διάνυσμα Θέλουμε να μηδενίσουμε το στοιχείο του που βρίσκεται στην θέση j επίπεδο θα άλλαζε μονάχα τις και γραμμές του πίνακα

Στοιχειώδης αντανάκλαση ( Householder) συμμετρικός και ορθογώνιος μπορούμε να εισαγάγουμε ταυτόχρονα πολλά μηδενικά Για ένα διάνυσμα

Εφαρμογή σε

Η QR παραγοντοποίηση στοιχειώδεις αντανακλάσεις

Hessenberg , Schur αναγωγή πινάκων

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ SYLVESTER μοναδική λύση Χ αν-ν ή όχι ίδιες ιδιοτιμές

όπου Ιδιοτιμές του πίνακα Ανάλυση διαταραχής της εξίσωσης Sylvester

Παράδειγμα

Αριθμός κατάστασης

Η εξίσωση Sylvester είναι σε αρρωστημένη κατάσταση αν και οι δυο πίνακες και είναι σε αρρωστημένη κατάσταση όσον αφορά την αντιστροφή τους. Παράδειγμα

Αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση της εξίσωσης Sylvester Το αντίστροφο του θεωρήματος γενικά δεν ισχύει, πχ στο προηγούμενο παράδειγμα Αριθμητικές μέθοδοι για την επίλυση της εξίσωσης Sylvester απαλοιφή Gauss με μερική οδήγηση υπολογισμού αποθήκευσης Nonsingular πίνακες και σε πιο απλές μορφές

Αλγόριθμος Βήμα 1. σε πιο απλές μορφές Βήμα 2. Βήμα 3. Βήμα 4.

Αριθμητική αστάθεια της διαγωνιοποίησης, της Jordan κανονικής μορφής, και των τεχνικών σχηματισμού συνοδεύων πινάκων Jordan πίνακες Συνοδεύων πίνακες Διαγώνιους πίνακες Αναγωγή σε Ανακριβή αποτελέσματα Παράδειγμα Διαγώνιοι πίνακες

Η εξίσωση Sylvester είναι σε καλή κατάσταση Η μέθοδος είναι ασταθής

(πραγματικές) Schur μορφή αναγωγή Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί Hessenberg μορφή (πραγματικές) Schur μορφή αναγωγή Ορθογώνιοι μετασχηματισμοί Τέλεια καλή κατάσταση Λύνοντας την εξίσωση Sylvester με την μέθοδο Schur (Bartels-Stewart) κάτω μορφή Schur άνω μορφή Schur τάξης 1 ή 2 τάξης 1 ή 2

Blocks σύμμορφα ( conformal )

Αλγόριθμος Bartels-Stewart κάτω μορφή Schur άνω μορφή Schur Υπολόγισε for for λύσε για

flops υπολογισμού συνάρτηση SchrblockSchr για τον αλγόριθμο Bartels-Stewart Παράδειγμα Block τάξης 1

Ακρίβεια 13 δεκαδικών ψηφίων Block τάξης 2

Η Hessenberg-Schur μέθοδος για την εξίσωση Sylvester Είσοδος: Έξοδος: μεγαλύτερος σε διάσταση πίνακας από ότι ο Α Βήμα 1. άνω Hessenberg μορφή άνω πραγμ. Schur μορφή

σχημάτισε Βήμα 2. λύσε βρες

Βήμα 3. υπολογισμού Παράδειγμα Αν n > m τότε συνάρτηση HessSch για Hessenberg-Schur μέθοδο Παράδειγμα

Επίλυση της εξίσωσης Sylvester όταν οι πίνακες Α και Β είναι άνω τριγωνικοί πίνακες uptrig

Παράδειγμα

Η Hessenberg-Schur μέθοδος για την διακριτή εξίσωση Sylvester Είσοδος: Έξοδος: μεγαλύτερος σε διάσταση πίνακας από ότι ο Α Βήμα 1. άνω Hessenberg μορφή άνω πραγμ. Schur μορφή σχημάτισε Βήμα 2. λύσε

βρες βρες Βήμα 3. συνάρτηση discreteHessSch για Hessenberg-Schur μέθοδο Παρόμοια ακρίβεια με προηγούμενες μεθόδους , δεν υπάρχει παρόμοια συνάρτηση στην Matlab

Η γενικευμένη εξίσωση Sylvester μοναδική λύση αν-ν και ιδιοτιμές - ( ιδιοτιμές ) Προσπαθώντας να επιλύσουμε την γενικευμένη εξίσωση Sylvester

Αλγόριθμος Ο Bartels-Stewart αλγόριθμος γιa την να είναι nonsingular Η μέθοδος Bartels-Stewart για την επίλυση της γενικευμένης εξίσωσης Sylvester Αλγόριθμος Ο Bartels-Stewart αλγόριθμος γιa την Είσοδος: Έξοδος: Βήμα 1. άνω πραγμ. Schur μορφή άνω τριγωνική μορφή Σχημάτισε

Βήμα 2. Λύσε βρες βρες Βήμα 3.

συνάρτηση genSchSch για γενικευμένη εξίσωση Sylvester με αλγόριθμο Bartels-Stewart Παράδειγμα

Αναγωγή σε Hessenberg-τριγωνική μορφή Βήμα 1. άνω τριγωνικός , QR παραγοντοποίηση Βήμα 2. Hessenberg μορφή Παραμείνει σε τριγωνική μορφή

myqzpart1

Αλγόριθμος Ο Hessenberg - Schur αλγόριθμος γιa την Η μέθοδος Hessenberg-Schur για την επίλυση της γενικευμένης εξίσωσης Sylvester Αλγόριθμος Ο Hessenberg - Schur αλγόριθμος γιa την Είσοδος: Έξοδος: Βήμα 1. άνω Hessenberg μορφή άνω τριγωνική μορφή άνω πραγμ. Schur μορφή άνω τριγωνική μορφή Σχημάτισε

Βήμα 2. Λύσε βρες βρες Βήμα 3.

συνάρτηση genHessSch για γενικευμένη εξίσωση Sylvester με αλγόριθμο Hessenberg-Schur Παράδειγμα

Εκτίμηση κατάστασης μέσω της εξίσωσης Sylvester- παρατηρητής Ξέρουμε : κατασκευάζουμε : έτσι ώστε nonsingular Παρατηρητής Luenberger Για να είναι παρατηρητής θα πρέπει

Εξίσωση Sylvester-παρατηρητής είναι ευσταθής πίνακας. Αλγόριθμος Σχεδιασμός παρατηρητή πλήρης τάξης μέσω της εξίσωσης Sylvester παρατηρητή. Είσοδοι. Έξοδος. Μια εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης Υποθέσεις. παρατηρήσιμο Βήμα 1. Βρες μια nonsingular λύση διαλέγοντας να είναι ευσταθής πίνακας, τέτοιο ώστε nonsingular

Βήμα 2. Βήμα 3. Βήμα 4. παρατηρήσιμο non-singular λύση ελέγξιμο Βήμα 2. Βήμα 3. Λύση του Βήμα 4. παρατηρήσιμο non-singular λύση ελέγξιμο

Παράδειγμα παρατηρήσιμο Βήμα 1. ελέγξιμο Βήμα 2 Βήμα 3

Βήμα 4

Εκτίμηση κατάστασης ελαττωμένης τάξης Αλγόριθμος Σχεδιασμός παρατηρητή ελαττωμένης τάξης μέσω της Sylvester-παρατηρητή εξίσωσης. Είσοδοι: Έξοδος: Υποθέσεις. παρατηρήσιμο πλήρη τάξη Βήμα 1. να είναι ευσταθής πίνακας,

Βήμα 2. Βήμα 3. Βήμα 4. Βρες τον (n-r) ελαττωμένης-τάξης παρατηρητή Βήμα 5.

Παράδειγμα Βήμα 1 & 2 Βήμα 3 Βήμα 4

Συνδυασμός ανάδρασης κατάστασης και σχεδιασμού παρατηρητή

Αριθμητική επίλυση της περιορισμένης Sylvester-παρατηρητή εξίσωσης Πλήρη τάξη Αλγόριθμος Ένας αλγόριθμος για την επίλυση της περιορισμένης ελαττωμένης τάξης εξίσωση Sylvester Είσοδοι: Έξοδος: έτσι ώστε να ικανοποιούνται οι παραπάνω συνθήκες Υποθέσεις: παρατηρήσιμο, Βήμα 1. Βρες την QR παραγοντοποίηση του : άνω τριγωνικός ορθογώνιος

Βήμα 2. Θέσε Βήμα 3. άνω τριγωνικός Βήμα 4.

Βήμα 5. Βήμα 6. Θέσε Παράδειγμα Υλοποίηση του αλγορίθμου …. constrainedSylvEq Παράδειγμα

(i) (ii) (iii)

όλες οι ιδιοτιμές του να έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη. Η εξίσωση Sylvester-παρατηρητής και το πρόβλημα ανατοποθέτησης των ιδιοτιμών. γνωστό Ψάχνουμε ασυμπτωτικά ευσταθές όλες οι ιδιοτιμές του να έχουν αρνητικά πραγματικά μέρη. δηλαδή

επιθυμητό σύνολο ιδιοτιμών Μπορούμε να διαλέξουμε εμείς ποιες θα είναι η ιδιοτιμές του κλειστού συστήματος. Θα έχουμε επιθυμητό σύνολο ιδιοτιμών ψάχνουμε να έχει ιδιοτιμές Αν-ν ελέγξιμο θα έχει ιδιοτιμές

F=SylvEqInPolePlacement(A,B,T,G) Θέλουμε nonsingular λύση παίρνουμε ( μέθοδο απαλοιφής Gauss με μερική οδήγηση ) θα έχει ιδιοτιμές ελέγξιμο non-singular λύση παρατηρήσιμο διδιαγώνια μορφή, ενώ F=SylvEqInPolePlacement(A,B,T,G)

Παράδειγμα οι ιδιοτιμές του συστήματος πριν την ανάδραση

Συναρτήσεις που έφτιαξε ο συγγραφέας της διπλωματικής αυτής discreteHessSch : συνάρτηση επίλυσης της διακριτής εξίσωσης Sylvester schrschr : συνάρτηση επίλυσης της εξίσωσης Sylvester που βασίζεται στον αλγόριθμο Schur – Schur uptrig : συνάρτηση επίλυσης της εξίσωσης Sylvester σύμφωνα με τον τύπο όπου και είναι άνω τριγωνικοί πίνακες διάστασης και αντίστοιχα . genHessSch : συνάρτηση επίλυσης της γενικευμένης εξίσωσης Sylvester που βασίζεται στον αλγόριθμο Hessenberg – Schur .

myqzpart1 : Θεωρείται στην ουσία το πρώτο βήμα του αλγορίθμου QZ. Η συνάρτηση αυτή παίρνει ας πούμε το ζευγάρι πινάκων (Α,Β) και επιστρέφει το ζευγάρι πινάκων ας πούμε (ΗΑ,ΤΒ) όπου ΗΑ είναι ένας πίνακας σε Hessenberg μορφή και ΤΒ ένας πίνακας σε άνω τριγωνική μορφή. Η συνάρτηση αυτή μας δίνει και πίνακες Q, Z, έτσι ώστε να ισχύει ταυτοχρόνως ΗΑ=Q'*A*Z και TB=Q'*B*Z SchrblockSchr : συνάρτηση επίλυσης της εξίσωσης Sylvester που βασίζεται στον αλγόριθμο των Bartels-Stewart SylvEqInPolePlacement : συνάρτηση ανατοποθέτησης ιδιοτιμών μέσω της εξίσωσης Sylvester-παρατηρητή constrainedSylvEq : επιλύει την περιορισμένη εξίσωση Sylvester-παρατηρητή genSchSch : συνάρτηση επίλυσης της γενικευμένης εξίσωσης Sylvester που βασίζεται στον αλγόριθμο των Bartels – Stewart HessSch : συνάρτηση επίλυσης της εξίσωσης Sylvester που βασίζεται στον αλγόριθμο Hessenberg – Schur mygaussel : συνάρτηση επίλυση του συστήματος που βασίζεται στην μέθοδο απαλοιφής Gauss με μερική οδήγηση.

function F=SylvEqInPolePlacement(A,B,T,G) Π.χ Συνάρτηση ανατοποθέτησης ιδιοτιμών μέσω της εξίσωσης Sylvester –παρατηρητή function F=SylvEqInPolePlacement(A,B,T,G) % Αυτή η συνάρτηση βρίσκει από την εξίσωση Χ*Τ - Α*Χ = B*G την λύση Χ όπου % Τ είναι ένας πίνακας τέτοιος ώστε να έχει τις επιθυμητές ιδιοτιμές που % θέλουμε να έχει ο πίνακας A+B*F , ενώ ο G είναι ένας τυχαίος πίνακας % Ο πίνακας F θα δίνεται αν λύσουμε το σύστημα F*X=G % Εν τέλει η συνάρτηση αυτή μας δίνει αυτόν το πίνακα F. %------------ΚΑΤΩΤΟΙΚΙΔΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ Χ.--------------------- [n1,n2]=size(A); [n3,m1]=size(B); [n4,n5]=size(T); [m2,n6]=size(G); if (n1~=n2) || (n2~=n3) || (n3~=n4) || (n4~=n5) || (n5~=n6) || (m1~=m2) disp('wrong dimensions,A is nxn,B is nxm,T is nxn,G is mxn') else n=n1; m=m1; BG=B*G;

disp('rank (A,B)') Rab=rank(ctrb(A,B)) disp('rank(G,T)') Rtg=rank(obsv(G,T)) if (Rab~=n) disp('the problem has no solution') end if (Rtg~=n) disp(' X is singular ') X=HessSch(-A,T,BG); disp('the eigenvalues of T are :') disp(eig(T)) %------------------- % επιλυση του F*X=G %-----------------------

[g1,g2]=size(G); TrX=X'; TrG=G'; for i=1:g1 xx=mygaussel(TrX,TrG(:,i)); TrF(:,i)=xx; end F=TrF'; %-------------------- disp('F is:') disp(F) disp('the eigenvalues of A+BF are :') disp(eig(A+B*F))