結構學(一) 第五次作業 97/04/24
共軛樑法 求解結構之變位及傾角 支承轉換原則 固定支承 自由端 簡支承 內部支承 內部接頭
共軛樑法 求解原結構之彎矩圖 轉換為共軛樑,並以彎矩除以EI為彈性載重 求得共軛樑的支承反力 共軛樑任一點的彎矩值即為該點之變位 共軛樑任一點的剪力值即為該點之傾角
課本範例 請利用共軛樑法,計算下圖樑結構之b點之線向變位及轉角,計算時假設E=20,000kN/cm2。 60kN d c a b I1=60,000cm4 I2=45,000cm4 a b c d 60kN 6m 3m 3m
課本範例 首先求得原結構之彎矩圖 先求出支承反力 再求出固定端彎矩及c點彎矩 dx=60*3/6=30 bx=30 ax=30 Ma=30*6=180 kN-m Mc=-180+30*9=90 kN-m -180 90 30 -30
課本範例 將原樑變換為共軛樑 將彎矩除以EI,當成載重施加於共軛樑
課本範例 求b點的線向變位等同於計算共軛樑於b點之彎矩 取共軛樑ab跨自由體,即可求得Mb
課本範例 b點於原實際樑為內部鉸接頭,因此該點左右二側之轉角應有所不同,亦即b點對應於共軛樑處之左右斷面剪力值亦不同 計算b點左側之剪力
題目一 (a)如圖P9.10所示之梁,求A點傾角與中點變位。(b)如果中跨之變位不可超過1.2in,慣性矩I之最小值為何?E=29,000kips/in2。
題目一 先求出支承反力,並繪出彎矩圖 取左邊鉸支承A之ΣMA=0 取ΣFy=0 Ey=30*(6+9)/(6+18+6)=15 (5) Ay=30-Ey Ay=15 (5) 225kips-ft 90kips-ft
題目一 繪製共軛樑及彈性載重 求共軛樑的支承反力Ay , Ey
題目一 繪製共軛樑及彈性載重 切ABC跨自由體,計算C點彎矩
題目一 C點變位不得大於1.2in
題目二(單位載重法) 如圖P9.12所示之梁,求B點鉸接處兩側之傾角及B點變位,以及BCD跨中最大變位值,D點支承視為滾支承。 改成求c點變位
題目二 先求解支承反力,並繪出彎矩圖 取右半部自由體圖 Dy=30*9/18=15(5) ByR=30-15=15(5) 取左半部自由體圖 ByL=15(6) Ay=15(5) ΣMB=0MA=15*12=180(逆) -180 135 M-D
題目二 AB斷面之彎矩函數(A): BC斷面之彎矩函數(B): CD斷面之彎矩函數(D): -180 135 M-D
題目二 求B點之變位,於B點施加單位載重 可求得支承反力Ay=1,MA=-1,Dy=0 剪力圖及彎矩圖如下 AB斷面之彎矩函數: m-D -12 m-D
題目二 由於m在BCD斷面皆為零,只需計算AB斷面之積分
題目二 求B點之左側傾角,於B點左側施加順時針方向之單位彎矩 可求得支承反力Ay=0,MA=-1,Dy=0 剪力圖及彎矩圖如下 AB斷面之彎矩函數:
題目二 由於m在BCD斷面皆為零,只需計算AB斷面之積分
題目二 求B點之右側傾角,於B點右側施加順時針方向之單位彎矩 可求得支承反力Ay=-1/18,MA=-1,Dy=-1/18 剪力圖及彎矩圖如下 AB斷面之彎矩函數(A): BC斷面之彎矩函數(B): CD斷面之彎矩函數(D): 2/3 1 -1/18
題目二 計算各斷面(AB,BC,CD)之積分
題目二 求C點之變位,於C點施加單位載重 可求得支承反力Ay=0.5,MA=-6,Dy=0.5 剪力圖及彎矩圖如下 AB斷面之彎矩函數(A): BC斷面之彎矩函數(B): CD斷面之彎矩函數(D): -6 4.5 0.5 -0.5
題目二 計算各斷面(AB,BC,CD)之積分 與B點比較,以C點之變位較大
題目二 跨中最大變位值無法直接以單位載重法求解 以共軛樑法求解,找出共軛樑的彎矩極值剪力為零
題目二 共軛樑的支承反力 BCD跨剪力為零 求E點彎矩 Dy=(90*6*8+135*4.5*18)/18=847.5 By=847.5+90*6-135*9=172.5 BCD跨剪力為零 90*6-172.5=367.5 = 15x*x/2 x=7 B點右側7ft處(C點左側2ft),令該點為E 求E點彎矩 ▽E=(847.5*11-135*4.5*5-105*2*1-30*1*2*2/3)/EI =(9322.5-3037.5-210-40)/EI=6035/EI