ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΕΙΡΙΑΚΩΝ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΩΝ – ΑΛΥΣΙΔΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΙΜΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: ΒΑΒΟΥΡΑΣ ΣΤΕΡΓΙΟΣ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΤΖΙΩΝΑΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΣ 2010

Η σειριακή εφοδιαστική-αλυσίδα που παρουσιάζεται σε αυτήν την διατριβή περιλαμβάνει δύο ή τρεις κόμβους (συμπεριλαμβανομένου του κατασκευαστή). Τα βήματα που θα ακολουθήσουμε είναι τα εξής: 1)Σχεδιάζουμε ένα κατάλληλο σύστημα ελέγχου για το μοντέλο της εφοδιαστικής-αλυσίδας, χρησιμοποιώντας αναλογικούς και ολοκληρωτικούς ελεγκτές 2)Μεταφέρουμε το μοντέλο στον αντίστοιχο χώρο κατάστασης (πίνακες Α, B, C και D) και αυτό μας επιτρέπει να παράγουμε τον πίνακα συνδιακύμανσης 3)Ο πίνακας συνδιακύμανσης μας βοηθά να ανακαλύψουμε την εξίσωση και τους περιορισμούς για το bullwhip effect («φαινόμενο ενίσχυσης της ζήτησης»)

4)Ερευνάμε την ελεγξιμότητα και την παρατηρησιμότητα του μοντέλου της εφοδιαστικής αλυσίδας 5)Αναζητούμε τη βέλτιστη τεχνική, που ελαχιστοποιεί τις διακυμάνσεις του αποθέματος (και το μέσο όρο του αποθέματος), για το μοντέλο εφοδιαστικής αλυσίδας τριών κόμβων (με έναν αναλογικό ελεγκτή σε κάθε ενδιάμεσο κόμβο), κάτω από κατάλληλες συνθήκες συνεργασίας μεταξύ των δύο ενδιάμεσων-γειτονικών κόμβων 6)Αποδεικνύουμε ότι αυτή η τεχνική βελτιστοποίησης δεν οδηγεί ποτέ σε ενίσχυση της ζήτησης στην εφοδιαστική αλυσίδα

ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΗΣ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ Η ελεγξιμότητα και η παρατηρησιμότητα μας βοηθούν να ερευνήσουμε καλύτερα τη δυναμική συμπεριφορά των συστημάτων ελέγχου και μας παρέχουν ένα πρόσθετο εργαλείο ώστε να μελετήσουμε τη γενική συμπεριφορά του συστήματος.

Ένα σύστημα ονομάζεται ελέγξιμο αν και μόνο αν, για κάθε αρχική κατάσταση υπάρχει είσοδος τέτοια ώστε, σε χρόνο N, να μεταφέρει την αρχική κατάσταση σε κάθε τελική κατάσταση ΕΛΕΓΞΙΜΟΤΗΤΑ Δηλαδή η ελεγξιμότητα περιγράφει τη δυνατότητα μιας εξωτερικής εισαγωγής να οδηγήσει την εσωτερική κατάσταση ενός συστήματος από οποιαδήποτε αρχική κατάσταση προς οποιαδήποτε τελική κατάσταση σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα

Για να διαπιστώσουμε αν ένα σύστημα είναι ελέγξιμο, είναι απαραίτητο να δημιουργήσουμε τον πίνακα ελεγξιμότητας που είναι της μορφής: Στη συνέχεια υπολογίζουμε το Rank (βαθμίδα) του και το συγκρίνουμε με το Rank του πίνακα Α. Αν Rank(S)= Rank(A) τότε το σύστημα είναι ελέγξιμο

Το σύστημα ονομάζεται παρατηρήσιμο αν και μόνο αν, γνώση της εξόδου και της εισόδου για επιτρέπει τον προσδιορισμό κάθε αρχικής κατάστασης ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΙΜΟΤΗΤΑ Δηλαδή χρησιμοποιώντας την έννοια της παρατηρησιμότητας μπορούμε να προσδιορίσουμε τις εσωτερικές αρχικές καταστάσεις ενός συστήματος και κατά συνέπεια την συμπεριφορά ολόκληρου του συστήματος, αν μας είναι γνωστές οι εξωτερικές είσοδοι και οι έξοδοι του συστήματος

Αν το σύστημά μας δεν είναι παρατηρήσιμο, σημαίνει ότι οι τιμές κάποιων καταστάσεων του συστήματος δεν μπορούν να προσδιοριστούν διαμέσου των εισόδων και των εξόδων του συστήματος, και άρα είναι άγνωστες στον ελεγκτή. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα να είναι ανίκανος να εκπληρώσει τις προδιαγραφές ελέγχου που αφορούν αυτές τις εξωτερικές εισόδους και εξόδους του συστήματος.

Για να διαπιστώσουμε αν ένα σύστημα είναι παρατηρήσιμο, είναι απαραίτητο να δημιουργήσουμε τον πίνακα παρατηρησιμότητας που είναι της μορφής: Στη συνέχεια υπολογίζουμε το Rank (βαθμίδα) του και το συγκρίνουμε με το Rank του πίνακα Α. Αν Rank(Ο)=Rank(A) τότε το σύστημα είναι παρατηρήσιμο

Εξετάσαμε διάφορες περιπτώσεις εφοδιαστικών αλυσίδων με βάση το πλήθος των κόμβων της εφοδιαστικής αλυσίδας που παρεμβάλλονται μεταξύ του πελάτη και του κατασκευαστή (λιανέμπορος, χονδρέμπορος, κλπ.) και με βάση το είδος του ελεγκτή που χρησιμοποιήσαμε στον κάθε κόμβο. Λόγω του γεγονότος ότι η συμπεριφορά της αλυσίδας ήταν παρόμοια σε όλες τις περιπτώσεις, παρουσιάζουμε αναλυτικά την εφοδιαστική αλυσίδα με δύο ενδιάμεσους κόμβους, οι οποίοι είναι ο λιανέμπορος και ο χονδρέμπορος, και δύο αναλογικούς ελεγκτές (P-P- controller), έναν στο λιανέμπορο και έναν στο χονδρέμπορο

Η αναπαράσταση του μοντέλου στο χώρο των καταστάσεων είναι:

Οι πίνακες Α, Β, C και D του χώρου των καταστάσεων της εφοδιαστικής αλυσίδας με δύο ενδιάμεσους κόμβους και δύο αναλογικούς ελεγκτές (P-P-controller) είναι:

Για να μελετήσουμε το σύστημα ως προς την ελεγξιμότητα κατασκευάζουμε, με τη βοήθεια του Matlab τον πίνακα ελεγξιμότητας, που είναι της μορφής: αφού πρώτα υπολογίσουμε τον, τον, τον και τον

Έτσι ο πίνακας ελεγξιμότητας είναι: βρίσκουμε το rank του S, rank(S)=3 και το συγκρίνουμε με το rank του Α, rank(A)=2. Άρα το rank του S διαφέρει από αυτό του Α. Όμως επειδή ο πίνακας ελεγξιμότητας κερδίζει rank σε σχέση με τον πίνακα Α, rank(S)> rank(A), το σύστημα μας είναι ελέγξιμο

Για να μελετήσουμε το σύστημα ως προς την παρατηρησιμότητα κατασκευάζουμε τον πίνακα παρατηρησιμότητας, που είναι της μορφής: αφού πρώτα υπολογίσουμε τον, τον, τον και τον

Να σημειωθεί ότι όπου C επιλέγουμε τον πίνακα ο οποίος αντιστοιχεί στη τελευταία γραμμή του πίνακα Α, δηλαδή στο σήμα που δηλώνει τα προϊόντα που παραδίδονται τελικά από τον κατασκευαστή

βρίσκουμε το rank του Ο, rank(Ο)=2 και το συγκρίνουμε με το rank του Α, rank(A)=2. rank(S)=rank(A), Άρα το σύστημά μας είναι παρατηρήσιμο

ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΤΗΣ ΕΦΟΔΙΑΣΤΙΚΗΣ ΑΛΥΣΙΔΑΣ ΥΠΟ ΚΑΤΑΛΛΗΛΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΣΥΝΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΕΤΑΞΥ ΓΕΙΤΟΝΙΚΩΝ ΚΟΜΒΩΝ Ύστερα από δημοσιοποίηση του αναλογικού συντελεστή (του λιανέμπορου) στο διανομέα επιδιώκουμε τη βέλτιστη επιλογή του αναλογικού συντελεστή του διανομέα, η οποία ελαχιστοποιεί τα κόστη του αποθέματός του (τη διασπορά και το μέσο όρο του διανομέα) και αποδεικνύουμε ότι αυτή η "εγωιστική" πολιτική από το διανομέα δεν μπορεί να προκαλέσει bullwhip effect

Όπως είπαμε και νωρίτερα μελετάμε το μοντέλο εφοδιαστικής αλυσίδας με δύο ενδιάμεσους κόμβους, οι οποίοι είναι ο λιανέμπορος και ο χονδρέμπορος, και έχουμε δύο αναλογικούς ελεγκτές (P-P-controller), έναν στο λιανέμπορο και έναν στο χονδρέμπορο Το μοντέλο του χώρου κατάστασης, είναι της μορφής: Θεωρούμε ότι η ζήτηση από τον πελάτη είναι κανονικά κατανεμημένη ως:

Οι αναμενόμενες τιμές των μεταβλητών κατάστασης είναι: Αν λύσουμε ως προς

Για διασπορές επιλέγουμε τα διαγώνια στοιχεία του πίνακα συνδιακύμανσης

Έτσι, οι πέντε μεταβλητές του χώρου καταστάσεων κατανέμονται ως:

Αφού θεωρούμε ότι: Μία επιπλέον απαίτηση είναι ότι ο διανομέας πρέπει να έχει αρκετό απόθεμα ώστε να ικανοποιήσει την ροή της ζήτησης προς αυτόν, τουλάχιστον για τις περισσότερες παραγγελίες που του γίνονται. Αυτό γίνεται για να εξασφαλιστεί η ομαλή λειτουργία της εφοδιαστικής αλυσίδας

Επιβάλλουμε έναν πιθανολογικό περιορισμό για την εκπλήρωση των παραγγελιών, δηλαδή, απαιτούμε ότι για μια (μικρή) παράμετρο Χρησιμοποιώντας την κατανομή του που περιγράψαμε παραπάνω, ο περιορισμός για την «εκπλήρωση - παραγγελιών» παίρνει τη μορφή: Αν θεωρήσουμε ότι το δηλώνει τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της κανονικής κατανομής δηλαδή:

Έτσι, το πρόβλημα βελτιστοποίησης που αντιμετωπίζεται από τον διανομέα είναι να επιλέξει για τα αποθέματά του τις κατάλληλες παραμέτρους και, ώστε να ελαχιστοποιήσει τα κόστη του αποθέματος του, υπό τον όρο ότι καλύπτεται ο περιορισμός Έχουμε επιλέξει την παρακάτω διαδικασία: Για οποιοδήποτε που μας δίνεται, στο διάστημα αναζητούμε την βέλτιστη επιλογή για το, το οποίο ελαχιστοποιεί τη διασπορά του και ακολούθως ελαχιστοποιούμε τη μέση τιμή του με βάση πάντα τον περιορισμό

Χρειαζόμαστε να θέσουμε: όπου: και ως αποτέλεσμα αυτού η μέση τιμή που υπόκειται στον περιορισμό να είναι:

Ακολουθείται η παρακάτω διαδικασία: Παραγωγίζουμε τη διασπορά του ως προς και θέτουμε την έκφραση που προκύπτει ίση με το μηδέν. Λύνουμε την έκφραση αυτή και βρίσκουμε το ως συνάρτηση του. Καταλήγουμε σε τρεις πολύπλοκες λύσεις: όπου

Ο όρος που εμφανίζεται μέσα στην τετραγωνική ρίζα που ορίζει το είναι πάντα θετικός για οποιαδήποτε τιμή του Κατά συνέπεια, ολόκληρος ο όρος μέσα στη τετραγωνική ρίζα που ορίζει το είναι πάντοτε αρνητικός στο διάστημα Το μπορεί να γραφτεί με όρους του πραγματικού και του φανταστικού του μέρους ως εξής: Ένας μιγαδικός αριθμός μπορεί να γραφτεί σε πολική μορφή ως εξής:

όπου είναι το μέτρο του μιγαδικού και είναι το όρισμα του μιγαδικού Οπότε και

Έτσι λοιπόν Και λόγω περιοδικότητας Αντικαθιστώντας αυτές τις τιμές στις τρεις εκφράσεις που βρήκαμε νωρίτερα για το και με τις κατάλληλες τριγωνομετρικές πράξεις (σελ )

Καταλήγουμε στις παρακάτω λύσεις: Επειδή αναζητούμε λύση ελαχιστοποίησης επιλέγουμε την δεύτερη συνάρτηση Μία γραφική παράσταση της συνάρτησης αυτής (περιέχοντας και το όριο μεταξύ των περιοχών μείωσης και ενίσχυσης) φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:

Μία σημαντική παρατήρηση είναι ότι η βέλτιστη καμπύλη εκτείνεται εξολοκλήρου στην περιοχή μείωσης. Έτσι, κάτω από συνθήκες διαμοίρασης της πληροφορίας (αποκάλυψη της παραμέτρου στον διανομέα), μία «εγωιστική» πολιτική από τον διανομέα (που είναι αποτέλεσμα της προσπάθειας του να μειώσει τα κόστη του δικού του αποθέματος) δεν μπορεί να προκαλέσει το «φαινόμενο ενίσχυσης της ζήτησης» (bullwhip effect)

Τα αποτελέσματα της βέλτιστης πολιτικής για τρεις τιμές του συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα. Οι παράμετροι για την κανονική κατανομή επιλέχτηκαν να είναι και, ενώ στην παράμετρο δώσαμε μια πολύ μικρή τιμή, την

Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας για την κανονική κατανομή για το φαίνεται στο παρακάτω σχήμα

Στη συνέχεια κάνουμε κάποια παραδείγματα, για να δείξουμε πως επιδρά η βέλτιστη επιλογή του στη μέση τιμή και τη διασπορά του και του αν μεταβάλλουμε τις παραμέτρους, και Π.χ. αν στην παράμετρο δώσουμε μια μεγαλύτερη τιμή, την Τα αποτελέσματα συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα

Όπως περιμέναμε όταν αυξάνεται το μειώνεται η μέση τιμή του και η μέση τιμή του. Αυτό συμβαίνει διότι το δηλώνει ουσιαστικά την πιθανότητα μη εκπλήρωσης των παραγγελιών και όσο αυτό μεγαλώνει, τόσο ο διανομέας μπορεί να μην έχει αρκετό απόθεμα ώστε να ικανοποιήσει την ροή της ζήτησης. Η διασπορά του και η διασπορά του παραμένουν ίδιες

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Αφού παρουσιάσαμε το γενικό μοντέλο της εφοδιαστικής αλυσίδας και δώσαμε τους κατάλληλους συμβολισμούς για να εκφράσαμε την ζήτηση και το απόθεμα σε κάθε κόμβο, αλλά και την αντίστοιχη προσφορά (παράδοση προϊόντων), μεταφέραμε το μοντέλο στο χώρο των καταστάσεων και δημιουργήσαμε τον πίνακα συνδιακύμανσης. Ο πίνακας συνδιακύμανσης μας βοήθησε να ανακαλύψουμε την εξίσωση και τους περιορισμούς για το bullwhip effect («φαινόμενο ενίσχυσης της ζήτησης») αλλά και στην εφαρμογή της βέλτιστης τεχνικής. Αποδείξαμε ότι το σύστημά μας μπορεί και να ελεγχθεί και να παρατηρηθεί ανεξάρτητα από το πλήθος των κόμβων και το είδος των ελεγκτών που χρησιμοποιήσαμε

Στη συνέχεια αναζητήσαμε και τελικά βρήκαμε την βέλτιστη τεχνική, που να ελαχιστοποιεί τις διακυμάνσεις του αποθέματος (και το μέσο όρο του αποθέματος) κάτω από έναν πιθανολογικό περιορισμό που σχετίζεται με τη ροή της ζήτησης και δείξαμε ότι αυτή η τεχνική δεν οδηγεί ποτέ σε ενίσχυση της ζήτησης (bullwhip effect) στην εφοδιαστική μας αλυσίδα Τέλος κάναμε μερικά παραδείγματα για να δείξουμε πως επιδρά η βέλτιστη επιλογή του στη μέση τιμή και τη διασπορά του και του Μεταβάλλαμε κάθε φορά κάποιες παραμέτρους και παρακολουθήσαμε τις μεταβολές στις τιμές αλλά και στην γραφική παράσταση της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας

ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Θα μπορούσαμε να συνεχίσουμε την ανάλυση μας στο μοντέλο των τριών κόμβων αν άρουμε την υπόθεση ότι η παράμετρος γνωστοποιείται στον διανομέα. Σε αυτή την περίπτωση το φυσιολογικό ερώτημα που προκύπτει είναι κατά πόσον αυτή η παράμετρος μπορεί να εκτιμηθεί από τον διανομέα (κόμβος 2). Τα δεδομένα στα οποία πρέπει να βασιστεί η εκτίμηση περιορίζονται μόνο στην είσοδο / έξοδο και στις μεταβλητές κατάστασης τοπικά στον κόμβο 2