最新計算機概論 第4章　數位邏輯設計

4-1 邏輯電路 邏輯電路是由可以完成某些功能的邏輯閘所組成，至於邏輯電路的分析與設計則是透過布林代數。 4-1　邏輯電路 邏輯電路是由可以完成某些功能的邏輯閘所組成，至於邏輯電路的分析與設計則是透過布林代數。 例如下表是兩個二元變數X、Y進行相加的結果，SUM代表和，CARRY代表進位。

AND運算子 OR運算子 NOT運算子

SUM = ((NOT X) AND Y) OR (X AND (NOT Y)) = (X’ * Y) + (X * Y’) CARRY = X AND Y = X * Y

4-2 布林代數 值為0或1的二元變數 (binary variable) 值為0或1的常數 (constant) 4-2　布林代數 值為0或1的二元變數 (binary variable) 值為0或1的常數 (constant) AND、OR、NOT運算子 (operator) (、)、[、]、{、} 等括號 = 等號

XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z)，且X = 1、Y = 1、Z = 0，則運算過程如下： 舉例來說，假設布林函數F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z)，且X = 1、Y = 1、Z = 0，則運算過程如下： F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z) = X * Y * Z’ + (X’ * Z’) * (Y + Z) = 1 * 1 * 0’ + (1’ * 0’) * (1 + 0) = 1 * 1 * 1 + (0 * 1) * (1 + 0) = 1 + 0 * 1 = 1 + 0 = 1

4-2-1　真值表 F(X, Y, Z) = XYZ’ + (X’Z’)(Y + Z) 的真值表如下：

4-2-2　文氏圖

以文氏圖表示F(X, Y, Z) = X’Z’ + XY

4-2-3　布林代數恆等式

4-3　邏輯閘 4-3-1　AND閘

4-3-2　OR閘

4-3-3　NOT閘

4-3-4　XOR閘

4-3-5　NAND閘

使用NAND閘來模擬AND閘 使用NAND閘來模擬OR閘 使用NAND閘來模擬NOT閘

NAND閘亦可以表示成如下的邏輯符號

4-3-6　NOR閘

使用NOR閘來模擬AND閘 使用NOR閘來模擬OR閘 使用NOR閘來模擬NOT閘

NOR閘亦可以表示成如下的邏輯符號

4-3-7　XNOR閘

4-3-8　多重輸入邏輯閘

4-4 邏輯簡化 4-4-1 標準形式 積項 (product terms) 和項 (sum terms) 最小項 (miniterms) 4-4　邏輯簡化 4-4-1　標準形式 積項 (product terms) 和項 (sum terms) 最小項 (miniterms) 最大項 (maxiterms) 積項之和 (SOP) 和項之積 (POS) 最小項之和 (sum of miniterms) 最大項之積 (product of maxterms)

包含2個及3個二元變數之布林函數的最小項定義：

包含2個及3個二元變數之布林函數的最大項定義：

4-4-2　卡諾圖 包含2個二元變數的卡諾圖

將F(X, Y) = XY + XY’ 簡化為積項之和： F(X, Y) = m3 + m2 = Σm(2, 3)。 XY’ + XY = (X)(Y’ + Y) = X。

包含3個二元變數的卡諾圖

X’YZ + X’YZ’+ XY’Z + XYZ = (X’Y)(Z + Z’) + XZ(Y’ + Y) = X’Y + XZ。 將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z簡化為積項之和： F(X, Y, Z) = m2 + m3 + m5 + m7 = Σm(2, 3, 5, 7)。 X’YZ + X’YZ’+ XY’Z + XYZ = (X’Y)(Z + Z’) + XZ(Y’ + Y) = X’Y + XZ。

包含4個二元變數的卡諾圖

將F(W, X, Y, Z) = Σm(0, 2, 4, 6, 8, 10, 13, 15) 簡化為積項之和： W’Z’ + WXZ + X’Z’。

以卡諾圖將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z簡化為和項之積： F(X, Y, Z) = Σm(2, 3, 5, 7)。 X’Y’ + XZ‘。 由於這個布林函數的補數為X’Y’ + XZ’，故F(X, Y, Z) = (X’Y’ + XZ’)’ = (X + Y)(X’ + Z)。

將F(W, X, Y, Z) = Σm(0, 1, 5, 10, 14) + d(4, 7, 11, 15) 簡化為積項之和： W’Y’ + WY。

4-5　組合電路

4-5-1 分析組合電路 將各個邏輯閘的輸出一一表示成變數。 4-5-1　分析組合電路 將各個邏輯閘的輸出一一表示成變數。 由前往後推算各個變數的布林函數，直到求出最後一個變數的布林函數，即為整個邏輯電路的布林函數。

根據前一個範例的組合電路，推算真值表： 將各個邏輯閘的輸出一一表示成變數F1、F2、F3、F。

4-5-2 設計組合電路 根據題意決定輸入、輸出變數的個數。 推算出真值表。 以卡諾圖從真值表求出簡化的布林函數。 4-5-2　設計組合電路 根據題意決定輸入、輸出變數的個數。 推算出真值表。 以卡諾圖從真值表求出簡化的布林函數。 將布林函數繪製成邏輯電路。 邏輯電路又分成AND-OR、NAND-NAND、OR-AND、NOR-NOR等四種較受歡迎的形式 。

將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z繪製成AND-OR電路： F(X, Y, Z) = X’Y + XZ。

將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z繪製成OR-AND電路： F’(X, Y, Z) = X’Y’ + XZ’，故F(X, Y, Z) = (X’Y’ + XZ’)’ = (X’Y’)’(XZ’)’ = (X + Y)(X’ + Z)。

將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z繪製成NAND-NAND電路：

將F(X, Y, Z) = X’YZ + X’YZ’ + XYZ + XY’Z繪製成NOR-NOR電路：

4-6　常見的組合電路 4-6-1　半加法器

SUM = X’Y + XY’，CARRY = XY，其邏輯電路如下： 或SUM = X’Y + XY’ = X⊕Y，CARRY = XY，其邏輯電路如下：

4-6-2　全加法器

SUM = Cin’X’Y + Cin’XY’ + CinX’Y’ + CinXY，CARRY-OUT = Cin’XY + CinX’Y + CinXY’ + CinXY = XY + CinY + CinX，其邏輯電路如下：

或SUM = Cin’X’Y + Cin’XY’ + CinX’Y’ + CinXY = (Cin⊕X)Y’ + (Cin⊕X)’Y = Cin⊕X⊕Y，CARRY-OUT = Cin’XY + CinX’Y + CinXY’ + CinXY = (Cin⊕X)Y + CinX，其邏輯電路如下：

4-6-4　乘法器 2 x 2乘法器

4 x 3乘法器

4-6-5　解碼器

4-6-6　編碼器

4-6-7　多工器