ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems

ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (1) –Πελάτης (όχημα, πελάτης καταστήματος, τηλεφωνική κλήση, πακέτο δεδομένων Internet) –Τυχαία είσοδος πελατών – «γεννήσεις», μέσος ρυθμός λ πελάτες/sec –Χρόνος μεταξύ δύο διαδοχικών αφίξεων a - τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος Ε(a)=1/λ –Μέσος ρυθμός εξυπηρέτησης πελατών μ πελάτες/sec –Χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη s – τυχαία μεταβλητή, μέσος όρος E(s) = 1/μ sec/πελάτη

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κοινά χαρακτηριστικά (2) –Ουρά αναμονής για εξομάλυνση στατιστικών μεταβολών – queue, buffer (απομόνωση εισόδου – εξυπηρέτησης) –Χωρητικότητα συστήματος αποθήκευσης (queue size) συμπεριλαμβανομένων των πελατών υπό εξυπηρέτηση –Αριθμός εξυπηρετητών –Πρωτόκολλο εξυπηρέτησης –Δρομολόγηση από ουρά σε ουρά (σε περιπτώσεις δικτύων ουρών αναμονής)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδείγματα παραμέτρων συστημάτων αναμονής –Δίκτυο μεταγωγής κυκλωμάτων (circuit switching): ρυθμός αφίξεων κλήσεων, διάρκεια κλήσεων, ποσοστό απόρριψης κλήσεων –Δίκτυο μεταγωγής πακέτων (packet switching): ρυθμός αφίξεων πακέτων, μέγεθος πακέτων, ποσοστό απόρριψης πακέτων –Στοιχεία καθυστέρησης σε ένα σύστημα: χρόνος επεξεργασίας, χρόνος αναμονής, χρόνος διάδοσης, χρόνος μετάδοσης –Αριθμός πελατών

ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (1) –Ένταση φορτίου (traffic intensity) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή ρ = E{Χρόνος εξυπηρέτησης}/Ε{Χρόνος μεταξύ διαδοχικών αφίξεων} = (1/μ)/(1/λ) = λ/μ (Erlangs) Ένα Erlang αντιπροσωπεύει το φόρτο κυκλοφορίας που εξυπηρετείται από έναν εξυπηρετητή που ασχολείται το 100% του χρόνου (π.χ. 1 call-minute per minute). Ένας εξυπηρετητής ασχολείται για 30 λεπτά σε μια περίοδο μιας ώρας  μεταφέρει 0.5 Erlangs κυκλοφοριακή ένταση –Διεκπεραίωση πελατών – Ρυθμoαπόδοση (Throughput) γ πελάτες/sec Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή γ =< λ, γ < μ Για σύστημα χωρίς χώρο αναμονής γ=λ(1-Pbl), όπου Pbl είναι η πιθανότητα να χαθεί ένας πελάτης επειδή βρήκε το σύστημα πλήρες (σε τηλεφωνικά δίκτυα χαρακτηρίζει το βαθμό ποιότητας- Grade of Service - GoS) (σε δίκτυα δεδομένων έχουμε Quality of Service – QoS)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (2) –Μέσος ρυθμός απωλειών, ποσοστό απωλειών, πιθανότητα απώλειας πελάτη Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή Μέσος ρυθμός απωλειών: λ – γ Ποσοστό απωλειών: (λ-γ)/λ –Βαθμός χρησιμοποίησης εξυπηρετητή (server utilization) Σε περίπτωση 1 ουράς, 1 εξυπηρετητή u = γ/μ

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (3) –Αριθμός πελατών (κατάσταση) n(t), στοχαστική ανέλιξη – χρονοσειρά (stochastic process, time series) –Μέσος αριθμός πελατών Ε{n(t)} –Μέσος χρόνος καθυστέρησης (average time delay) = Μέσος χρόνος αναμονής (waiting time) + Μέσος χρόνος εξυπηρέτησης E(T) = E(W) + E(s)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παράμετροι συστημάτων αναμονής (4) –n(t): Κατάσταση συστήματος αναμονής –n q (t) : Αριθμός πελατών στην αναμονή –n s (t) : Αριθμός πελατών στην εξυπηρέτηση –n(t) = n q (t) + n s (t) –E{n(t)} = E{n q (t)} + E{n s (t)} –Χρόνος καθυστέρησης: Τ = W + s –Ε(Τ) = E(W) + E(s)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Τύπος Little Χρόνος καθυστέρησης Τ = W + s Ε(Τ) = Ε(n)/γ (Τύπος Little) Ε(Τ) = E{n(t)}/γ = E(W) + E(s) = = E{n q (t)}/γ + E{n s (t)}/γ (Τύπος Little)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Κατάταξη ουρών αναμονής A/S/N/K –A : Τύπος διαδικασίας εισόδου πελατών –S : Τύπος τυχαίας μεταβλητής χρόνου εξυπηρέτησης –Ν: Αριθμός εξυπηρετητών –Κ : Χωρητικότητα συστήματος αναμονής

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδείγματα τυπολογίας ουρών αναμονής (1): Μ/Μ/1/4: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 1 εξυπηρετητής, μέγιστη χωρητικότητα (κατάσταση) 4 πελάτες Μ/Μ/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 1 εξυπηρετητής, αλλά με άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια) Μ/Μ/4: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, άπειρη χωρητικότητα συστήματος Μ/Μ/4/4: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 4 πελάτες: Σύστημα χωρίς αναμονή, μοντέλο τηλεφωνικού κέντρου με 4 γραμμές Μ/Μ/4/8: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης (Markov), 4 εξυπηρετητές, χωρητικότητα συστήματος 8 πελάτες: Μοντέλο κέντρου κλήσεων (call center) με 4 χειριστές – τηλεφωνητές, μέχρι 4 κλήσεις στην αναμονή.

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Παραδείγματα τυπολογίας ουρών αναμονής (2): M/G/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης γενικής κατανομής (general) 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια). GI/G/1: Αφίξεις με ανεξάρτητη κατανομή (General, Independent), χρόνοι εξυπηρέτησης γενικής κατανομής (general) 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια). M/D/1: Αφίξεις Poisson (Markov, memory less), χρόνοι εξυπηρέτησης σταθεροί (deterministic) 1 εξυπηρετητής, άπειρη χωρητικότητα συστήματος (μηδενικές απώλειες ή αστάθεια). D/D/1: Σύστημα σταθερής ροής χωρίς στατιστικές διακυμάνσεις

ΣΥΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Η κατανομή Poisson n αφίξεις σε διάστημα Τ με πιθανότητα P n (T) = e –λT (λΤ) n / n ! E T (n) = λT Var T (n) = λΤ Μέσος ρυθμός αφίξεων : λ πελάτες/sec Η κατανομή Poisson σαν όριο της Διωνυμικής Κατανομής

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Ιδιότητες διαδικασίας Poisson: Οι χρόνοι μεταξύ διαδοχικών αφίξεων μιας διαδικασίας Poisson με ρυθμό λ, είναι τ.μ εκθετικά κατανεμημένες με μέση τιμή 1/λ Υπέρθεση ανεξάρτητων διαδικασιών Poisson Διάσπαση διαδικασίας Poisson με πείραμα Bernoulli