Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Δασική Διαχειριστική Ι Διδάσκων Δημήτριος Καραμανώλης, Επίκουρος Καθηγητής Μάθημα 3 ο

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΛΥΣΗ Βέλτιστη εναλλακτική λύση είναι αυτή η οποία παρέχει τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή μερικών, αριθμητικά μετρούμενων, κριτηρίων απόδοσης.Βέλτιστη εναλλακτική λύση είναι αυτή η οποία παρέχει τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή μερικών, αριθμητικά μετρούμενων, κριτηρίων απόδοσης.

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Γραμμικός προγραμματισμός Ο Γ.Π. είναι μια τεχνική που ασχολείται με το πρόβλημα της κατανομής των περιορισμένων πόρων ενός συστήματος σε ανταγωνιζόμενες δραστηριότητες κατά τον καλύτερο δυνατό τρόπο. Από μαθηματικής σκοπιάς, ο γ.π. περιγράφει ένα μοντέλο που αφορά τη μεγιστοποίηση ή ελαχιστοποίηση μιας γραμμικής συνάρτησης κάτω από κάποιους γραμμικούς περιορισμούς. MεγZ = 5χ 1 + 2χ 2 + 4χ 3 Περιορισμοί: 4χ 1 + 5χ 2 + 7χ 3  10 χ 1 + 9χ 2 + 8χ 3  60

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Το Γενικό Πρότυπο του Γραμμικού Προγραμματισμού ένα σύνολο δραστηριοτήτων (n το πλήθος). Σε κάθε μία απο τις δραστηριότητες αυτές αντιστοιχούμε μια μεταβλητή xj ( j = 1,2,3,…, n ) η τιμή της οποίας προσδιορίζεται απο την επίλυση του συγκεκριμένου προβλήματος ένα σύνολο πόρων ή μέσων ( m το πλήθος ) σε περιορισμένες ποσότητες για την εκτέλεση των παραπάνω δραστηριοτήτων ένα σύνολο τεχνολογικών περιορισμών οι οποίοι εκφράζουν τους νόμους λειτουργίας των δραστηριοτήτων ένα σύνολο θεσμολογικών περιορισμών οι οποίοι εκφράζουν διοικητικής και οργανωτικής φύσεως αποφάσεις ένα μέτρο z της αποδοτικότητας του συστήματος

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης Συμβολίζουμε με a ij την ποσότητα του πόρου i που καταναλώνεται για την παραγωγή μιας μονάδας της δραστηριότητας j ( i = 1, 2, 3, …, m ) και j = 1, 2, …, n ) και με c j την αύξηση που θα προκύψει στο μέτρο αποδοτικότητας z του συστήματος απο την αύξηση κατα μία μονάδα της τιμής της μεταβλητής x j ( j = 1, 2, 3, …, n ). Τότε: είναι η συνολική ποσότητα πόρου i που θα χρησιμοποιηθεί είναι το μέτρο αποδοτικότητας του συστήματος

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης

Τυπική μορφή του προβλήματος Γ.Π

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης

Ισοδύναμα σε μορφή πινάκων

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΠΕΡΙΘΩΡΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης

Διαγραμματική λύση

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ ΒΓ: 2χ 1 + χ 2 ≤… ΓΔ: χ 1 +2χ 2 ≤..

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης

ΔΥΪΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ Κανονική μορφή του προβλήματος Γ.Π

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης

ΓΕΝΙΚΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΟΥ ΔΥΪΚΟΥ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΟΣ 1. Η αντικειμενική συνάρτηση ελαχιστοποιείται όταν το αρχικό πρόβλημα μεγιστοποιείται και αντίθετα. 2. Έχει τόσες (δυϊκές) μεταβλητές, όσοι ήταν οι περιορισμοί στο αρχικό πρόβλημα. 3. Όλες οι δυϊκές μεταβλητές είναι συνήθως αρνητικές. 4. Οι συντελεστές των μεταβλητών σε κάθε στήλη του συνόλου των περιορισμών του αρχικού προβλήματος, γίνονται συντελεστές στις αντίστοιχες σειρές του δυϊκού προβλήματος. Δηλαδή η πρώτη στήλη γίνεται πρώτη σειρά, η δεύτερη στήλη γίνεται δεύτερη σειρά κ.λπ. 5. Οι συντελεστές της αντικειμενικής συνάρτησης του αρχικού προβλήματος,γίνονται συντελεστές στη δεξιά πλευρά των περιορισμών του δυϊκού προβλήματος και αντίστροφα Και 6.Η κατεύθυνση των ανισοτήτων αντστρέφεται.

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης ΑΡΧΙΚΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΜεγΖ = α 1 χ 1 + α 2 χ α n χ n και οι περιορισμοί β 1,1 χ 1 + β 1,2 χ β 1,n χ n  c 1 β 2,1 χ 1 + β 2,2 χ β 2,n χ n  c β m,1 χ 1 + β m,2 χ β m,n χ n  c m

Εργαστήριο Δασικής Διαχειριστικής & Τηλεπισκόπησης To αντίστοιχο δυϊκό πρόβλημα σχετίζεται με την εύρεση των μη αρνητικών δυϊκών μεταβλητών y1, y ym, οι οποίες ονομάζονται σκιώδεις τιμές. ΕλαχΖ΄ = c 1 y 1 + c 2 y c m ym με τους εξής περιορισμούς: β 1,1 y 1 + β 2,1 y β m,1 y m  α 1 β 1,2 y 1 + β 2,2 y β m,2 y m  α β 1,n y 1 + β 2,n y β m,n y m  α n