Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 0: Περιεχόμενα Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 0: Περιεχόμενα Data Engineering Lab

Σχετικά με το μάθημα Ώρες γραφείου: ποτέ Ώρες επικοινωνίας: πάντα email: manolopo@csd.auth.gr Δικτυακός Τόπος Μαθήματος: http://delab.csd.auth.gr/~manolopo/graph Ώρες Μαθήματος: Τρίτη 14:00-16:00 (Αίθουσα Α) Πέμπτη 12:00-14:00 (Αίθουσα Α) Τρόπος Εξέτασης: Περίοδος Ιουνίου-Σεπτεμβρίου ή Απαλλακτικά Θέματα Data Engineering Lab

Η απαρχή της Θεωρίας Γράφων Το Königsberg της Πρωσσίας ιδρύθηκε το 1255 από Τεύτονες ιππότες και ήταν η πρωτεύουσα της Ανατολικής Πρωσίας μέχρι το 1945. Σήμερα είναι το Ρωσικό Kaliningrad (μεταξύ Λιθουανίας και Πολωνίας στη Βαλτική) Ήταν μεγάλο κέντρο για αιώνες και πατρίδα των Goldbach, Hilbert, Kant και Wagner. Data Engineering Lab

Leonhard Euler (1707-1783) Γεννήθηκε στη Βασιλεία και θα γίνοταν πάστορας, όπως ο πατέρας του. Σπούδασε Εβραϊκά και Θεολογία αλλά πήρε και μαθήματα από τον Bernoulli. Το 1727 έπιασε δουλειά στο Ιατρικό τμήμα του Πανεπιστημ. της Α.Πετρούπολης αλλά μετά το θάνατο της Αικατερίνης Ι ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά. Data Engineering Lab

Leonhard Euler (1707-1783) Παντρεύτηκε το 1733, είχε 13 παιδιά, ενηλικιώθηκαν τα 5. Το 1741 μετακόμισε στο Βερολίνο και έμεινε 25 χρόνια. Δημοσίευσε >500 βιβλία και εργασίες εν ζωή και 400 μετά θάνατο. Εφηύρε τους συμβολισμούς i, π, e, sin, cos, f(x) και άλλους! Έχασε την όραση του αλλά έγινε παραγωγικότερος. Είπε: “now I have fewer distractions” Data Engineering Lab

Οι 7 γέφυρες του Königsberg Data Engineering Lab

Ο γράφος κορυφή ακμή Data Engineering Lab

Μη κατευθυνόμενος γράφος 2 3 1 4 Data Engineering Lab

Περίπατος και Μονοπάτι V2 V3 V1 V6 V4 V5 Περίπατος: ακολουθία συνδεδέμενων κορυφών Μονοπάτι: περίπατος χωρίς επανάληψη κορυφών Data Engineering Lab

Λύση Euler Συνθήκη για να υπάρχει μονοπάτι που περνά από όλες τις κορυφές: όλες οι κορυφές να έχουν άρτιο βαθμό Μονοκοντυλιά traversability Data Engineering Lab

Εύρεση κύκλων σε πολύεδρα Thomas P. Kirkman William R. Hamilton Hamiltonian κύκλοι σε πλατωνικούς γράφους Data Engineering Lab

Δένδρα σε ηλεκτρικά κυκλώματα Gustav Kirchhoff Data Engineering Lab

Απαρίθμηση σε χημικά ισομερή Arthur Cayley James J. Sylvester George Polya Data Engineering Lab

Χρωματισμός χαρτών Francis Guthrie Auguste DeMorgan Data Engineering Lab

Παράδειγμα 4-Χρωματισμού Handout: can YOU do a 4-colouring?

Η Εικασία των 4 χρωμάτων Το 1976, οι Kenneth Appel και Wolfgang Haken ανακοίνωσαν την απόδειξη (με τη βοήθεια υπολογιστή) της Εικασία των 4 χρωμάτων, ένα άλυτο πρόβλημα επί αιώνες. Data Engineering Lab

Εφαρμογές γράφων Εφαρμογή Κορυφές Ακμές Ροή Communications Circuits Telephones exchanges, computers, satellites Cables, fiber optics, microwave relays Voice, video, packets Circuits Gates, registers, processors Wires Current Mechanical Joints Rods, beams, springs Heat, energy Hydraulic Reservoirs, pumping stations, lakes Pipelines Fluid, oil Financial Stocks, currency Transactions Money Transportation Airports, rail yards, street intersections Highways, railbeds, airway routes Freight, vehicles, passengers Data Engineering Lab

Κατευθυνόμενος γράφος 2 3 1 4 Data Engineering Lab

Συνδεσμικότητα Μπορώ να πετάξω από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία; Υπάρχει μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β στο δίκτυο της; Data Engineering Lab

Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον; Λειτουργία δικτύων A B C D A B C D Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον; Βλάβη Data Engineering Lab

Ζυγισμένος γράφος (weighted) 2 4 3 1 8 6 9 2 4 3 1 1.2 2.1 0.2 0.5 Data Engineering Lab

Συντομότερη διαδρομή Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία; Ποιο μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β έχει το μικρότερο βάρος; Data Engineering Lab

GPS – Πλοήγηση Εύρεση Ελαχίστων Διαδρομών … Data Engineering Lab

Routing in Internet (TCP/IP) V1 1 4 3 6 2 5 V2 V3 V7 V6 V5 V4 D3=2 D2=1 D7=3 D6=6 D5=7 Data Engineering Lab

Γρίφος (3 utilities) ΔΕΗ ΟΤΕ ΕΥΑΘ Σύνδεσε τα 3 σπίτια με τις 3 παροχές χωρίς να διασταυρωθούν οι συνδέσεις Data Engineering Lab

Προσπαθήστε… Σπίτι 2 με ΟΤΕ; Data Engineering Lab

Επιπεδικότητα Μπορεί ένας γράφος να σχεδιασθεί ώστε να μην υπάρχουν τεμνόμενες ακμές; Data Engineering Lab

Ωκεανία Ποιο δίκτυο διαδρομών είναι το ασφαλέστερο; (κίνδυνος από μεγάλες διαδρομές στη θάλασσα) Data Engineering Lab

Ελάχιστα Ζευγνύοντα Δένδρα 1 2 3 4 5 A B C D E F G 10 6 7 12 9 Data Engineering Lab

Λύση 1 2 A B C D E F Data Engineering Lab

Σκάκι (πρόβλημα κυριαρχίας) Πως να τοποθετήσω τις 8 βασίλισσες χωρίς να απειλούνται; Data Engineering Lab

Περίπατος του Ιππότη/Αλόγου (Hamiltonian περίπατος) Data Engineering Lab

Χάρτες (χρωματισμός) Πως να χρωματίσω κάθε χώρα (νομό), ώστε γειτονικοί νομοί να μην έχουν ίδιο χρώμα; Πόσα χρώματα χρειάζονται στο ελάχιστο; Η απόδειξη του 4 Data Engineering Lab

Ανάλυση συνδέσμων Ποιοι κόμβοι είναι κεντρικοί; Data Engineering Lab

Δίκτυο metro (Λονδίνο) Data Engineering Lab

Χάρτης επιστήμης (science map) Data Engineering Lab

Δίκτυα συν-συγγραφέων Data Engineering Lab

Δίκτυα αναφορών (citations) Data Engineering Lab

Κοινωνικά δίκτυα small-world 6 hops Data Engineering Lab

Το Φαινόμενο του Μικρού Κόσμου Ο Stanley Milgram έστειλε ένα σύνολο επιστολών από τις Μεσοδυτικές πολιτείες των ΗΠΑ προς τη Βοστώνη. Κάθε φορά, οι επιστολές μπορούσαν να αποσταλούν μόνο προς γνωστούς αποστολείς. Ο Milgram κράτησε τα ίχνη των επιστολών και βρήκε ότι η μέση τιμή του μήκους των ιχνών ήταν περίπου 6, διατυπώνοντας έτσι την αρχή του «6 degrees of separation." http://mathforum.org/mam/04/poster.html Data Engineering Lab

Το Παιχνίδι του Kevin Bacon Το παιχνίδι συνίσταται στην εύρεση μονοπατιού προς τον Bacon από τυχόν άτομο του Hollywood με <=6 βήματα. Bacon Number # of People 1 1766 2 141840 3 385670 4 93598 5 7304 6 920 7 115 8 61 Connery Number # of people 1 2216 2 204269 3 330591 4 32857 5 2948 6 409 7 46 8 Rod Steiger is the center of the Hollywood universe as of April 29, 2003 (Average Steiger number—2.652. Sean is #13 Average Bacon number: 2.947 Average Connery Number: 2.706 Ο Bacon είναι ο 1222ος πλέον συνδεδεμένος ηθοποιός του Hollywood. Data Engineering Lab

Δίκτυο χρέους Data Engineering Lab

Δίκτυο επιστημονικής συνεργασίας Data Engineering Lab

Δίκτυο γενετικής αλληλεπίδρασης Data Engineering Lab

Σχέσεις μεταξύ επιχειρήσεων βιοτεχνολογίας των ΗΠΑ Data Engineering Lab

Δίκτυο αλληλεπίδρασης πρωτεϊνών Data Engineering Lab

Όλο και μεγαλύτεροι γράφοι νέες κατευθύνσεις στη Θεωρία Γράφων