Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/1 συστήματος : Αφίξεις κατανεμημένες κατά Poisson Εκθετικά κατανεμημένοι χρόνοι εξυπηρέτησης Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι αμοιβαία ανεξάρτητοι και ανεξάρτητοι των χρόνων αφίξεων Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/m συστήματος : Όπως και στο Μ/Μ/1, μόνο που τώρα έχουμε m εξυπηρετητές Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/ συστήματος : εξυπηρετητές Χαρακτηριστικά ενός Μ/Μ/m/m συστήματος : Όπως και στο Μ/Μ/m, αλλά οι πελάτες που φτάνουν στο σύστημα όταν όλοι οι εξυπηρετητές είναι απασχολημένοι, χάνονται

Αλυσίδες Markov Γεννήσεων – Θανάτων Μια αλυσίδα Markov γεννήσεων – θανάτων είναι μια αλυσίδα Markov με ακέραιους ως καταστάσεις και με μεταβάσεις μόνο μεταξύ γειτονικών καταστάσεων (π.χ. Μ/Μ/1, Μ/Μ/m, M/M/m/m, M/M/ ).

Σύστημα Μ/G/1 Οι αφίξεις είναι Poisson με ρυθμό λ Οι χρόνοι εξυπηρέτησης ακολουθούν αυθαίρετη κατανομή, με γνωστά Ε(Χ)=1/μ και Ε(Χ2) Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι αμοιβαία ανεξάρτητοι και ανεξάρτητοι των αφίξεων Τύπος P-Κ όπου ρ=λΕ(Χ)=λ/μ (ο παράγοντας χρησιμοποίησης του εξυπηρετητή – utilization factor) Από το θεώρημα του Little έχουμε : ΝQ=λW, Τ=Ε(Χ)+W, N=λT Η απόδειξη του τύπου P-K γίνεται με τη χρήση γραφικών παραστάσεων

Παράδειγμα 1 (Μ/Μ/1) Παράδειγμα 2 (Μ/D/1) Οι χρόνοι εξυπηρέτησης είναι ντετερμινιστικοί και ίσοι με E(X)=1/μ Σημείωση: Ένα M/D/1 σύστημα έχει τα μικρότερα Ν,Τ,ΝQ,W από όλα τα M/G/1 συστήματα με το ίδιο Ε(Χ)=1/μ

χρόνος αναμονής Νi πελατών πριν εξυπηρετηθούν Απόδειξη του τύπου P-K άφιξη του i αναχώρηση του i χρόνος χρόνος αναμονής Νi πελατών πριν εξυπηρετηθούν Ri Χi Wi Wi = Ο χρόνος αναμονής στην ουρά για τον i-στό πελάτη Ri = Ο υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέτησης (residual servicetime) που “βλέπει” ο i-στός πελάτης. Αν ο πελάτης i αφιχθεί την ώρα που εξυπηρετείται ο πελάτης j, τότε με Ri συμβολίζουμε το χρόνο που απομένει για να τελειώσει η εξυπηρέτηση του πελάτη j. Αν κανένας πελάτης δεν εξυπηρετείται (δηλ. το σύστημα είναι άδειο), τότε Ri=0 Xi = Ο χρόνος εξυπηρέτησης του i-στού πελάτη Νi = Ο αριθμός των πελατών που περίμεναν στην ουρά τη στιγμή της άφιξης του i-στού πελάτη.

χρόνος αναμονής Νi πελατών πριν εξυπηρετηθούν Ri Χi Wi

r(τ)= υπολειπόμενος χρόνος του εξυπηρετούμενου πελάτη Θα δείξουμε ότι : r(τ)= υπολειπόμενος χρόνος του εξυπηρετούμενου πελάτη περιόδος απασχόλησης ανενεργής περίοδος περιόδος απασχόλησης Μ(t) = αριθμός ολοκληρωμένων εξυπηρετήσεων μέχρι τη στιγμή t Μέση τιμή του r(τ) μέχρι τη στιγμή t Σημείωση: Για να είναι ευσταθές το σύστημα πρέπει

p = Η πιθανότητα λήψης ενός πλαισίου με λάθη Παράδειγμα : Ανάλυση της καθυστέρησης ενός πρωτοκόλλου οπισθοχώρησης κατά n (go back n) ARQ Υποθέτουμε ότι επαναμεταδόσεις συμβαίνουν μόνο λόγω λαθών στο forward κανάλι p = Η πιθανότητα λήψης ενός πλαισίου με λάθη Χ=Πραγματικός χρόνος εξυπηρέτησης ενός πακέτου (χρόνος μεταξύ πρώτης και τελευταίας μετάδοσης) αποδοτικός χρόνος εξυπηρέτησης του πακέτου 2 αποδοτικός χρόνος εξυπηρέτησης του πακέτου 1 Χ3 Χ4 λάθος λάθος σωστό λάθος τελική μετάδοση του πακέτου 1 σωστό τελική μετάδοση του πακέτου 2 Τα πακέτα φτάνουν στον πομπό σύμφωνα με μια διαδικασία Poisson ρυθμού λ

Σύστημα M/G/1 με διακοπές (M/G/1 with vacations) Οι χρόνοι αφίξεων και εξυπηρετήσεων είναι ανεξάρτητοι. Μόλις μια περίοδος τελειώσει κατά τη διάρκεια της οποίας το σύστημα ήταν απασχολημένο, τότε για κάποιο τυχαίο διάστημα V το σύστημα διακόπτει τη λειτουργία του («πάει διακοπές») Αφίξεις πακέτων χρόνος περίοδος απασχόλησης διακοπή Οι χρόνοι διακοπής είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους και πανομοιότυπα κατανεμημένοι, με τα E(V) και Ε(V2) εκ των προτέρων γνωστά. Επίσης είναι ανεξάρτητοι των χρόνων αφίξεων και των χρόνων εξυπηρετήσεων

Wi = Ο χρόνος αναμονής στην ουρά για τον i-στό πελάτη Ri Χi υπολειπόμενος χρόνος για εξυπηρέτηση ή διακοπή Wi Wi = Ο χρόνος αναμονής στην ουρά για τον i-στό πελάτη Ri = Ο υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέτησης ή διακοπής που “βλέπει” ο i-στός πελάτης. Αν ο πελάτης i αφιχθεί την ώρα που εξυπηρετείται ο πελάτης j, τότε με Ri συμβολίζουμε το χρόνο που απομένει για να τελειώσει η εξυπηρέτηση του πελάτη j. Αν κανένας πελάτης δεν εξυπηρετείται (δηλ. το σύστημα είναι άδειο όταν φτάνει ο i-στος πελάτης), τότε το Ri είναι υπολειπόμενος χρόνος μέχρι να τελειώσει το τρέχον vacation. Xi = Ο χρόνος εξυπηρέτησης του i-στού πελάτη Νi = Ο αριθμός των πελατών που περίμεναν στην ουρά τη στιγμή της άφιξης του i-στού πελάτη (θεωρούμε τύπο εξυπηρέτησης First come First serve, αν και δεν είναι απαραίτητο).

χρόνος Ri Χi Wi Ο τύπος ισχύει ακόμα, αλλά άφιξη του i-στου πελάτη υπολειπόμενος χρόνος για εξυπηρέτηση ή διακοπή Wi Ο τύπος ισχύει ακόμα, αλλά

Ο μέσος όρος του r(τ) μέχρι τη στιγμή t είναι Απόδειξη του τύπου r(τ) = υπολειπόμενος χρόνος για πακέτα που εξυπηρετούνται ή για διακοπή σε εξέλιξη Έστω ότι Μ(t) = ο αριθμός των ολοκληρωμένων εξυπηρετήσεων μέχρι τη στιγμή t L(t) = ο αριθμός των ολοκληρωμένων διακοπών(vacations) μέχρι τη στιγμή t Ο μέσος όρος του r(τ) μέχρι τη στιγμή t είναι =λ =Ε(V2) =Ε(Χ2) καθυστέρηση M/G/1 συστήματος επιπρόσθετη καθυστέρηση οφειλόμενη στις διακοπές

σύστημα Μ/D/1 χωρίς σχισμές Όλα τα πακέτα έχουν σταθερό χρόνο εξυπηρέτησης ίσο με μια (1) μονάδα χρόνου Η εξυπηρέτηση ενός πακέτου μπορεί να ξεκινήσει μόνο στην αρχή μιας σχισμής σύστημα Μ/D/1 χωρίς σχισμές

Παράδειγμα 3.16 Έστω m το πλήθος ροές δεδομένων, ίσου μήκους πακέτων Αφίξεις Poisson με ρυθμό λ/m η κάθε μια FDM: χρόνος εξυπηρέτησης = m M/D/1 με FDM με σχισμές : Οι μεταδόσεις πακέτων ξεκινούν τις χρονικές στιγμές m, 2m, 3m,. . . Σύστημα M/D/1 με διακοπές (Frequency Division Multiplexing = Πολυπλεξία με διαίρεση συχνότητας)

πλαίσιο κ μια φορά ανά σχισμή TDM (Πολυπλεξία με διαίρεση χρόνου) με m=4 ροές δεδομένων ροή1 ροή2 ροή3 ροή4 πλαίσιο κ μια φορά ανά σχισμή πλαίσιο (κ+1)

Συστήματα Κρατήσεων (Reservation systems) Σύστημα κρατήσεων με μια μόνο κατηγορία χρηστών Τα διαστήματα δεδομένων και κρατήσεων εναλλάσσονται Όλα τα πακέτα, που φτάνουν κατά τη διάρκεια ενός διαστήματος δεδομένων και προηγούνται ενός διαστήματος κράτησης, περιμένουν μέχρι το επόμενο διάστημα κράτησης να κάνει μια κράτηση [ελεγχόμενη (gated) εκδοχή] Τα διαστήματα κρατήσεων είναι μεταξύ τους ανεξάρτητα και ανεξάρτητα των χρόνων άφιξης και εξυπηρέτησης άφιξη του i λW Το R είναι το ίδιο με το R ενός M/G/1 συστήματος με διακοπές

Ο υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέτησης είναι ο ίδιος με την περίπτωση του συστήματος με διακοπές. Έτσι έχουμε διακοπές Μ/G/1 Αν όλα τα διαστήματα κρατήσεων είναι σταθερής διάρκειας V, τότε

Συστήματα Κρατήσεων Πολλαπλών Χρηστών Ας θεωρήσουμε ένα σύστημα με m εισερχόμενες ροές δεδομένων, κάθε μία κατανεμημένη κατά Poisson με ρυθμό λ/m. Οι χρόνοι εξυπηρέτησης Xn είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους και ανεξάρτητοι των χρόνων αφίξεων. Ε(Χ)=1/μ και E(X2) εκ των προτέρων γνωστό Ο εξυπηρετητής εξυπηρετεί όλα τα πακέτα από τη ροή 0, μετά όλα τα πακέτα από τη ροή 1, ...., μετά όλα τα πακέτα από τη ροή m-1, ακολούθως όλα τα πακέτα από τη ροή 0, ... κλπ Υπάρχει ένα διάστημα κράτησης διάρκειας Vi πριν από την μετάδοση των πακέτων της ροής i. αφίξεις από τη ροή 0 πακέτα ροής 1 πακέτα ροής 2 χρόνος

Ελεγχόμενη εξυπηρέτηση (gated service): Όλες οι αφίξεις της ροής i, κατά τη διάρκεια του διαστήματος κράτησης ή εξυπηρέτησης που της αντιστοιχεί, μπαίνουν σε ουρά μέχρι το επόμενο διάστημα εξυπηρέτησης για τη ροή i. Μερικώς ελεγχόμενη εξυπηρέτηση (partially gated service): Όλες οι αφίξεις της ροής i, που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια της περιόδου κράτησης για την i, μεταδίδονται. Αντίθετα οι αφίξεις, που συμβαίνουν κατά τη διάρκεια του διαστήματος εξυπηρέτησης για την i, μπαίνουν σε ουρά μέχρι το επόμενο διάστημα που ανήκει στη ροή i. Πλήρης εξυπηρέτηση (exhaustive service): Όλες οι αφίξεις της ροής i, που συμβαίνουν ενώ ο εξυπηρετητής εξυπηρετεί την i, μεταδίδονται σε αυτό το διάστημα εξυπηρέτησης. διάστημα μετάδοσης του χρήστη 1 διάστημα αφίξεων για το χρήστη 1, σε ένα σύστημα πλήρους εξυπηρέτησης Τα πακέτα που φτάνουν στα διαστήματα αφίξεων του σχήματος, μεταδίδονται στο διάστημα εκπομπής του σχήματος διάστημα αφίξεων για το χρήστη 1, σε ένα μερικώς ελεγχόμενο σύστημα διάστημα αφίξεων για το χρήστη 1, σε ένα ελεγχόμενο σύστημα

Έστω ότι έχουμε πλήρη (exhaustive) εξυπηρέτηση : χρόνος πακέτα ροής 1 πακέτα ροής 2 όπου Υi είναι η διάρκεια όλων των ολόκληρων διαστημάτων κράτησης κατά τη διάρκεια των οποίων το πακέτo i πρέπει να περιμένει πριν μεταδοθεί. Από το θεώρημα του Little (ακόμα κι όταν η εξυπηρέτηση δεν είναι του τύπου First Come First Serve), έχουμε : επομένως :

Για να υπολογίσουμε το Y σε ένα exhaustive σύστημα, θεωρούμε aIj=E{ Yi | το πακέτο i φτάνει στο διάστημα κράτησης ή δεδομένων του χρήστη Ι και ανήκει στο χρήστη (Ι+j) mod m} Το πακέτο i ανήκει σε κάθε χρήστη με ίση πιθανότητα 1/m E{Yi | το πακέτο i φτάνει στο διάστημα κράτησης ή δεδομένων του χρήστη Ι } = Ένα πακέτο θα φτάσει κατά τη διάρκεια του διαστήματος δεδομένων του χρήστη Ι με πιθανότητα ρ/m και κατά τη διάρκεια του διαστήματος κράτησης του ίδιου χρήστη με πιθανότητα

το οποίο είναι το άθροισμα όλων των δυνατών γινομένων Το άθροισμα ισούται με το οποίο είναι το άθροισμα όλων των δυνατών γινομένων Έστω

Για μερικώς ελεγχόμενα συστήματα (partially gated systems) : πακέτα ροής 1 πακέτα ροής 2 χρόνος Για μερικώς ελεγχόμενα συστήματα (partially gated systems) : Η πιθανότητα ένας χρήστης να φτάνει κατά τη διάρκεια του δικού του διαστήματος εκπομπής είναι ίση με ρ/m To Y αυξάνεται κατά και Για πλήρως ελεγχόμενα συστήματα (fully gated systems) : Η πιθανότητα ένας χρήστης να φτάνει κατά τη διάρκεια του δικού του διαστήματος εκπομπής είναι ίση με 1/m To Y αυξάνεται κατά και

Μη Προεκχωρητικά Συστήματα Προτεραιότητας (Non-preemptive Priority Systems) n κατηγορίες προτεραιότητας, k=1, 2, ....., n υψηλότερη χαμηλότερη Αφίξεις κατά Poisson με ρυθμό λκ, γενικοί (general) χρόνοι εξυπηρέτησης με Ε(Χκ)=1/μk και γνωστό το Οι διαδικασίες αφίξεων είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες και ανεξάρτητες των χρόνων εξυπηρέτησης Μη προεκχωρητική (non-preemptive) προτεραιότητα : Στον πελάτη που εξυπηρετείται, επιτρέπεται να ολοκληρωθεί η εξυπηρέτησή του Όταν ο εξυπηρετητής είναι ελεύθερος, τότε ο πελάτης με τη υψηλότερη προτεραιότητα ξεκινά να εξυπηρετείται = ο μέσος αριθμός πελατών στην ουρά για την προτεραιότητα k Wk = ο μέσος χρόνος στην ουρά για την προτεραιότητα k = utilization του συστήματος για την προτεραιότητα k R = μέσος υπολειπόμενος χρόνος εξυπηρέτησης

Για την κατηγορία υψηλότερης προτεραιότητας : Για τη 2η κατηγορία : Για την κατηγορία k :

O μέσος όρος του r(τ) μέχρι τη χρ. στιγμή t είναι Mk(t)= ο αριθμός των πελατών της κατηγορίας k που έχουν εξυπηρετηθεί μέχρι τη χρονική στιγμή t O μέσος όρος του r(τ) μέχρι τη χρ. στιγμή t είναι Για ευστάθεια πρέπει : ρ1+ρ2+....+ρn<1 και Ε(Χ2)<

Προεκχωρητικά Συστήματα Προτεραιότητας με Επανέναρξη (Preemptive-Resume Priority Systems) Ισχύει ό,τι και προηγουμένως, μόνο που τώρα ένας πελάτης που εξυπηρετείται διακόπτεται από έναν πελάτη υψηλότερης προτεραιότητας και συνεχίζει όταν όλοι οι υψηλότερης προτεραιότητας πελάτες έχουν εξυπηρετηθεί. Σημείωση: Οι πελάτες της κατηγορίας k δεν επιρρεάζονται από τους πελάτες των κατηγοριών k+1, k+2,…,n χρόνος αναμονής μιας M/G/1 ουράς αν είναι παρόντες πελάτες μόνο από την κατηγορία 1 ως k, χρόνος εξυπηρέτησης πελατών των προτεραιοτήτων από 1 ως k που είναι ήδη στο σύστημα Για την κατηγορία προτεραιότητας k xρόνος εξυπηρέτησης των πελατών των προτεραιοτήτων 1 ως k, οι οποίοι φτάνουν στο σύστημα κατά τη διάρκεια του διαστήματος εξυπηρέτησης ή αναμονής στην ουρά του k-στου πελάτη της κατηγορίας Είναι και τελικά