Θεωρία Γράφων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές Κεφάλαιο 6: Χρωματισμός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (1) Χρωματισμός κορυφών-ακμών-περιοχών Χρωματική τάξη (color class): σύνολο κορυφών με το ίδιο χρώμα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (2) Γράφος k-χρωματίσιμος (k-colorable): οι κορυφές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα Γράφος k-χρωματικός (k-chromatic): οι κορυφές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1 Χρωματικός αριθμός (chromatic number): χ(G)=k. Αν ένας γράφος G είναι p-χρωματίσιμος (όπου p>χ(G)), τότε ο γράφος G είναι και r-χρωματίσιμος (όπου p>r>χ(G)) Γράφος χρωματίσιμος κατά μοναδικό τρόπο (uniquely colorable) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (3) Κρίσιμος (critical): χ(Η)<χ(G), για κάθε Η υποσύνολο του G k-κρίσιμος (k-critical): o G είναι κρίσιμος και k-χρωματικός Τέλειος (perfect): αριθμός κλίκας ω(G)=χ(G) χρωματικό αριθμό Θεώρημα: Αν ο G είναι k-κρίσιμος, τότε d(G)>=k-1 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Εισαγωγή (4) Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς ακμές (k-edge colorable): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα Γράφος k-χρωματικός ως προς ακμές (k-edge chromatic): οι ακμές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα, αλλά όχι με k-1 Χρωματικός αριθμός ακμών ή κατάλογος (chromatic index): χ’(G)=k Γράφος k-χρωματίσιμος ως προς περιοχές (k-region colorable): οι περιοχές μπορούν να χρωματισθούν με k χρώματα ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (1) χ(Kn)=n χ(Νn)=1 χ(Km,n)=2, για m,n>=1 χ(G)=2, αν δεν υπάρχει κύκλος περιττού μήκους χ(Τ)=2, αν το δένδρο έχει n>2 κορυφές χ(C2n)=2 χ(C2n+1)=3 χ(W2n)=4 χ(W2n+1)=3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (2) Ερώτημα: ποιος είναι ο χρωματικός αριθμός ενός γράφου; Απάντηση: r<=χ(G)<=n, αν υπάρχει υπογράφος Kr Θεώρημα: Κάθε γράφος μη πλήρης με D(G) είναι (D+1)-χρωματίσιμος Θεώρημα (Brookes 1941): Κάθε γράφος μη πλήρης με D(G)>=3 είναι D-χρωματίσιμος Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 6-χρωματίσιμος Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 5-χρωματίσιμος Θεώρημα: Κάθε επίπεδος γράφος είναι 4-χρωματίσιμος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματισμός Κορυφών (3) Εικασία των 4 χρωμάτων (4 color conjecture): Guthrie 1850 (παρατήρηση) DeMorgan 1852 Hamilton 1852 Cayley 1878 (δεν βρήκε λύση) Kempe 1880 (βρήκε λάθος λύση) Heawood 1890 (βρήκε το λάθος της λύσης) Franklin 1920 (για n<=25) Reynolds 1926 (για n<=27) Franklin 1931 (για n<=31) Winn 1943 (για n<=35) Ore-Stemple 1968 (για n<=40) Appel-Haken-Koch 1977 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Χαρτών Θεώρημα: Ένας επίπεδος απλός γράφος G είναι k-χρωματίσιμος (ως προς τις κορυφές), αν και μόνον αν ο G* είναι k-χρωματίσιμος ως προς τις περιοχές Θεώρημα: Ένας χάρτης G είναι 2-χρωματίσιμος αν και μόνον αν είναι Eulerian Θεώρημα: Ένας κυβικός χάρτης είναι 3-χρωματίσιμος αν και μόνον αν κάθε περιοχή περικλείεται από άρτιο αριθμό ακμών ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (1) χ’(C2n)=2 χ’(C2n+1)=3 χ’(Wn)=n-1, αν n>=4 Θεώρημα (Vizing 1964): Για κάθε απλό γράφο G ισχύει D(G)<=χ’(G)<=D(G)+1 Θεώρημα: Για κάθε πλήρη διμερή γράφο ισχύει χ’(Km,n)=D(Km,n)=max(m,n) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Χρωματισμός Ακμών (2) Θεώρημα: Για κάθε πλήρη γράφο ισχύει χ’(Kn)=n (n περιττό) =n-1 (n άρτιο) ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (1) Ερώτηση: Κατά πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορούμε να χρωματίσουμε τις κορυφές ενός γράφου με k χρώματα; Απάντηση: Χρωματικό πολυώνυμο PG(k) (Birkhoff 1912) PNn(k)=kn PT(k)=k(k-1)n PKn(k)=k(k-1)…(k-n+1) PG(k)=0, αν k<χ(G) PG(k)>0, αν k>=χ(G) PG(k)>0, αν G απλός επίπεδος γράφος ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Χρωματικά Πολυώνυμα (2) Θεώρημα: Έστω γράφος G και δύο μη γειτονικές κορυφές u,w. Τότε ισχύει PG(k)=PG1(k)+ PG2(k), όπου G1=G+(u,w) και G2=G/(u,w) Θεώρημα: Το χρωματικό πολυώνυμο γράφου G με n κορυφές είναι πολυώνυμο ως προς k βαθμού n. Το πολυώνυμο έχει ακέραιους συντελεστές με εναλλασσόμενα πρόσημα, μεγαλύτερο όρο το kn και σταθερό όρο ίσο με 0 Κ5+3Κ4 +2Κ3 K(k-1)3 ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (1) Ο προσδιορισμός του χρωματικού αριθμού είναι δυσχείριστο πρόβλημα Σειριακός αλγόριθμος (άπληστος): Πολυπλοκότητα Ο(n*m) Τι γίνεται σε διμερή γράφο; Πρώτα η μεγαλύτερη (largest first): Ταξινόμηση κορυφών ως προς αύξοντα βαθμό. Μετά σειριακός ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Χρωματισμού (2) Τελευταία η μικρότερη (smallest last): Matula-Marble-Issacson 1972 Ταξινόμηση κορυφών ως προς φθίνοντα βαθμό. Μία-μία διαγράφονται οι κορυφές, ώστε να προκύψει μια νέα διάταξη των κορυφών. Μετά σειριακός Μέθοδος βαθμού-χρώματος (color-degree): Brelaz 1979 Βαθμός χρώματος κορυφής: αριθμός χρωμάτων που χρησιμοποιήθηκαν σε γειτονικές κορυφές ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων

Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων Ωρολόγιο Πρόγραμμα Ο Χi (1<=i<=m) διδάσκει το Υj (1<=j<=n) για Pij ώρες/εβδομάδα Κανείς Χi δεν διδάσκει περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα, αλλά και κανένα Υj δεν διδάσκεται περισσότερο από p ώρες/εβδομάδα Λύση: Διμερής γράφος Km,n ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΩΝ Εργαστήριο Τεχνολογίας & Επεξεργασίας Δεδομένων