ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ Ισοζύγιο πληθυσμού σωματιδίων - Κρυσταλλωτήρες - Διφασικά συστήματα (υγρών-υγρών ή υγρών-αερίων) - Ρευστοστερεές κλίνες - Βιοαντιδραστήρες

Διάνυσμα κατάστασης σωματιδίου x 1, …, x n : ιδιότητες σωματιδίου Διάνυσμα θέσης σωματιδίου r 1, r 2, r 3 : συντεταγμένες θέσης σωματιδίου στον χώρο

Συνάρτηση πυκνότητας αριθμού f(x,r,t)dV x dV r : αριθμός σωματιδίων με δείκτη κατάστασης x ως x+dV x σε όγκο dV r στην θέση r dV x = dx 1 dx 2 …dx n dV r = dr 1 dr 2 dr 3 f x1x1 dx 1 f(x,r,t)dx 1 r dr 1 dr 2 dr 3

Αριθμός σωματιδίων οποιασδήποτε κατάστασης ανά μονάδα όγκου Συνολικός αριθμός σωματιδίων Μάζα σωματιδίων ανά μονάδα όγκου

Ρυθμός μεταβολής κατάστασης σωματιδίου Ρυθμός μεταβολής θέσης σωματιδίου s: διάνυσμα περιβαλλοντικών παραγόντων Εξίσωση ισοζυγίου πληθυσμού h(x,r,s,t): καθαρός ρυθμός παραγωγής σωματιδίων κατάστασης x στην θέση r h(x,r,s,t) = h + (x,r,s,t) - h - (x,r,s,t)

Παράδειγμα στην μία διάσταση ΜΕΤΑΒΟΛΗ = ΕΙΣΟΔΟΣ - ΕΞΟΔΟΣ + ΠΑΡΑΓΩΓΗ - ΚΑΤΑΝΑΛΩΣΗ

Διεργασία διάσπασης σωματιδίων b(x,r,s,t): ρυθμός διάσπασης σωματιδίων κατάστασης x στην θέση r Ρυθμός καταστροφής σωματιδίων κατάστασης x στην θέση r h - (x,r,s,t) = b(x,r,s,t) f(x,r,t) Ρυθμός παραγωγής σωματιδίων κατάστασης x στην θέση r από διάσπαση μεγαλυτέρων (x,r,s,t): μέσος αριθμός σωματιδίων που παράγονται από διάσπαση σωματιδίου κατάστασης x στην θέση r πιθανότητα το σωματίδιο που παράγεται από την διάσπαση σωματιδίου κατάστασης x' στην θέση r' να έχει κατάσταση x και να βρίσκεται στην θέση r

Παράδειγμα διεργασίας διάσπασης σωματιδίων κατανεμημένων ως προς τον όγκο τους x Συνάρτηση πυκνότητας αριθμού: p(x,y) = 0για x > y Ισοζύγιο πληθυσμού x f(x,t)f(x,t) Κατανομή όγκων

Διεργασία συσσωμάτωσης σωματιδίων a(x,r,x',r',s,t): ρυθμός συσσωμάτωσης σωματιδίου κατάστασης x στην θέση r με σωματίδιο κατάστασης x' στην θέση r' Ρυθμός σχηματισμού σωματιδίων κατάστασης x στην θέση r από συσσωμάτωση μικρότερων σωματιδίων a(x,r, x',r',s,t) = a(x',r',x,r,s,t) Ρυθμός καταστροφής σωματιδίων κατάστασης x στην θέση r από συσσωμάτωσή τους με άλλα σωματίδια

Παράδειγμα διεργασίας συσσωμάτωσης σωματιδίων κατανεμημένων ως προς τον όγκο τους x Ισοζύγιο για σωματίδια όγκου x Ισοζύγιο περιβαλλοντικών συστατικών v : ταχύτητα ροής J s : πίνακας ρυθμών διάχυσης j s : ρυθμός κατανάλωσης (ή παραγωγής) του s από τα σωματίδια σ : ρυθμός παραγωγής (ή κατανάλωσης) s ανά μονάδα όγκου

Ισοζύγιο πληθυσμού κυττάρων σε χημοστάτη Για την συνάρτηση p(x,x',s) ισχύουν: p(x,x',s) = p(x'-x,x',s)

Πολλαπλασιάζοντας το ισοζύγιο πληθυσμού με dV x και ολοκληρώνοντας: Ισοζύγιο συνολικού αριθμού κυττάρων Πολλαπλασιάζοντας το ισοζύγιο πληθυσμού με xdV x και ολοκληρώνοντας: Ισοζύγιο ενδοκυτταρικών συστατικών στην καλλιέργεια

Ισοζύγιο πληθυσμού κατανεμημένου ως προς την μάζα των κυττάρων [Eakman et al. (1966)] r(m,s) =  s)S Von Bertalanffy (1942) σφαιρικά κύτταρα: κυλινδρικά κύτταρα:

Eakman et al. (1966) Subramanian et al. (1970) p(m,m') = p(m'-m,m') Κατανομή μαζών θυγατρικών κυττάρων Ρυθμός διαίρεσης

p(m,m')b(m,s)b(m,s)

Για κυλινδρικά κύτταρα:

Μόνιμη κατάσταση

Μόνιμη κατάσταση - κυλινδρικά κύτταρα Eakman et al. (1966)

Μόνιμη κατάσταση - σφαιρικά κύτταρα Eakman et al. (1966)

Μόνιμη κατάσταση - κυλινδρικά κύτταρα Subramanian et al. (1970)

Μεταβατική κατάσταση χημοστάτη

Subramanian et al. (1970) Μεταβατική κατάσταση χημοστάτη

Αντιδραστήρας διαλείποντος έργου Subramanian et al. (1970)

Ισοζύγιο πληθυσμού κατανεμημένου ως προς την ηλικία των κυττάρων (Von Foerster, 1959) Αναλυτική λύση για b(a) ανεξάρτητο του s