Ταυτοποίηση Μη-Γραμμικών Συστημάτων Τοποθέτηση του Προβλήματος: Συμβατική Ταυτοποίηση (Conventional Identification): έχουμε πρόσβαση τόσο σε δεδομένα της εισόδου όσο και σε δεδομένα της εξόδου, Συμβατική Ταυτοποίηση (Conventional Identification): έχουμε πρόσβαση τόσο σε δεδομένα της εισόδου όσο και σε δεδομένα της εξόδου, Τυφλή Ταυτοποίηση (Blind Identification), έχουμε πρόσβαση μόνο σε δεδομένα εξόδου. Η πληροφορία που έχουμε για την είσοδο που γεννά Τυφλή Ταυτοποίηση (Blind Identification), έχουμε πρόσβαση μόνο σε δεδομένα εξόδου. Η πληροφορία που έχουμε για την είσοδο που γεννά τα δεδομένα εξόδου περιορίζεται σε μερικές γενικές υποθέσεις πχ : «Υψηλότερης τάξης λευκός θόρυβος». τα δεδομένα εξόδου περιορίζεται σε μερικές γενικές υποθέσεις πχ : «Υψηλότερης τάξης λευκός θόρυβος». Υπάρχουν αρκετές εφαρμογές όπου τα δεδομένα δεν μπορούν να περιγραφούν από γραμμικά συστήματα. Παραδείγματα αποτελούν τα δεδομένα στην έξοδο ενός ενισχυτή ισχύος που λειτουργεί στον κόρο, η παραμόρφωση που παρατηρείται σε συστήματα μαγνητικής καταγραφής, οι μη- γραμμικότητες που εισάγουν στο ηχητικό σήμα τα μεγάφωνα κ.λ.π. Μια πολύ γενική τάξη μοντέλων με την ικανότητα να περιγράφει τέτοιες μη-γραμμικές συμπεριφορές είναι τα συστήματα Volterra Σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε τους πυρήνες Volterra: από τα δεδομένα εξόδου και (ή όχι) εισόδου Συμβατική Ταυτοποίηση (Conventional Identification): έχουμε πρόσβαση τόσο σε δεδομένα της εισόδου όσο και σε δεδομένα της εξόδου, Συμβατική Ταυτοποίηση (Conventional Identification): έχουμε πρόσβαση τόσο σε δεδομένα της εισόδου όσο και σε δεδομένα της εξόδου, Τυφλή Ταυτοποίηση (Blind Identification), έχουμε πρόσβαση μόνο σε δεδομένα εξόδου. Η πληροφορία που έχουμε για την είσοδο που γεννά Τυφλή Ταυτοποίηση (Blind Identification), έχουμε πρόσβαση μόνο σε δεδομένα εξόδου. Η πληροφορία που έχουμε για την είσοδο που γεννά τα δεδομένα εξόδου περιορίζεται σε μερικές γενικές υποθέσεις πχ : «Υψηλότερης τάξης λευκός θόρυβος». τα δεδομένα εξόδου περιορίζεται σε μερικές γενικές υποθέσεις πχ : «Υψηλότερης τάξης λευκός θόρυβος». Υπάρχουν αρκετές εφαρμογές όπου τα δεδομένα δεν μπορούν να περιγραφούν από γραμμικά συστήματα. Παραδείγματα αποτελούν τα δεδομένα στην έξοδο ενός ενισχυτή ισχύος που λειτουργεί στον κόρο, η παραμόρφωση που παρατηρείται σε συστήματα μαγνητικής καταγραφής, οι μη- γραμμικότητες που εισάγουν στο ηχητικό σήμα τα μεγάφωνα κ.λ.π. Μια πολύ γενική τάξη μοντέλων με την ικανότητα να περιγράφει τέτοιες μη-γραμμικές συμπεριφορές είναι τα συστήματα Volterra Σκοπός μας είναι να προσδιορίσουμε τους πυρήνες Volterra: από τα δεδομένα εξόδου και (ή όχι) εισόδου Η προταθείσα λύση: Απόκριση του κυκλώματος παρουσία σφάλματος Το διάγραμμα χρονισμού για τη λειτουργία του κυκλώματοςΗ τοπολογία του φυσικού σχεδίου του κυκλώματος Το πειραματικό κύκλωμα σχεδιάστηκε και κατασκευάστηκε σε τεχνολογία CMOS 0.18 μm της STMicroelectronics. Νικόλαος Καλουπτσίδης Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστημίου Αθηνών Νικόλαος Καλουπτσίδης Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστημίου Αθηνών Παναγιώτης Κουκουλάς Υπηρεσία Πολιτικής Αεροπορίας Υπουργείο Μεταφορών & Επικοινωνιών Παναγιώτης Κουκουλάς Υπηρεσία Πολιτικής Αεροπορίας Υπουργείο Μεταφορών & Επικοινωνιών Με τη μερική υποστήριξη του Προγράμματος MEDEA+ T101 Βασίλης Τσούλκας Γενική Γραμματεία Έρευνας και Τεχνολογίας Υπουργείο Ανάπτυξης Βασίλης Τσούλκας Γενική Γραμματεία Έρευνας και Τεχνολογίας Υπουργείο Ανάπτυξης Α. Συμβατική ταυτοποίηση 1 Είσοδος Gaussian μηδενικής μέσης τιμής 1 Είσοδος Gaussian μηδενικής μέσης τιμής Βήμα 0: Έχοντας στη διάθεση μας τις ακολουθίες εισόδου και εξόδου u(n) και y(n), υπολογίζουμε αρχικά τα και Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 0 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 0 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα Βήμα 1: Υποθέτουμε ότι η τάξη είναι 1. Υπολογίζουμε τις αθροιστικές (cumulants) και Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 1 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 1 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, ενώ ο πυρήνας h 0 εξακολουθεί και δύνεται από την προηγούμενη εκτίμηση ενώ ο πυρήνας h 0 εξακολουθεί και δύνεται από την προηγούμενη εκτίμηση Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη 1 και ο αλγόριθμος σταματά. Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη 1 και ο αλγόριθμος σταματά. Βήμα 2: Υποθέτουμε ότι η τάξη είναι 2. Υπολογίζουμε την ετεροαθροιστική (crosscumulant) Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 2 ενημερώνουμε την εκτίμηση του h 0 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 2 ενημερώνουμε την εκτίμηση του h 0 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, ενώ ο πυρήνας h 1 εξακολουθεί και δύνεται από την προηγούμενη εκτίμηση ενώ ο πυρήνας h 1 εξακολουθεί και δύνεται από την προηγούμενη εκτίμηση Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη 2 και ο αλγόριθμος σταματά. Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη 2 και ο αλγόριθμος σταματά. Βήμα p: Υποθέτουμε ότι η τάξη είναι p. Υπολογίζουμε την ετεροαθροιστική (crosscumulant) Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h p ενημερώνουμε την εκτίμηση των πυρήνων h p-2, h p-4, … Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h p ενημερώνουμε την εκτίμηση των πυρήνων h p-2, h p-4, … και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, Οι πυρήνες h p-2m+1 εξακολουθούν και δύνονται από τις προηγούμενες εκτιμήσεις Οι πυρήνες h p-2m+1 εξακολουθούν και δύνονται από τις προηγούμενες εκτιμήσεις Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη p και ο αλγόριθμος σταματά. Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη p και ο αλγόριθμος σταματά. Στην αντίθετη περίπτωση ο αλγόριθμος συνεχίζει στο επόμενο βήμα. Στην αντίθετη περίπτωση ο αλγόριθμος συνεχίζει στο επόμενο βήμα. Α. Συμβατική ταυτοποίηση 1 Είσοδος Gaussian μηδενικής μέσης τιμής 1 Είσοδος Gaussian μηδενικής μέσης τιμής Βήμα 0: Έχοντας στη διάθεση μας τις ακολουθίες εισόδου και εξόδου u(n) και y(n), υπολογίζουμε αρχικά τα και Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 0 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 0 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα Βήμα 1: Υποθέτουμε ότι η τάξη είναι 1. Υπολογίζουμε τις αθροιστικές (cumulants) και Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 1 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 1 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, ενώ ο πυρήνας h 0 εξακολουθεί και δύνεται από την προηγούμενη εκτίμηση ενώ ο πυρήνας h 0 εξακολουθεί και δύνεται από την προηγούμενη εκτίμηση Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη 1 και ο αλγόριθμος σταματά. Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη 1 και ο αλγόριθμος σταματά. Βήμα 2: Υποθέτουμε ότι η τάξη είναι 2. Υπολογίζουμε την ετεροαθροιστική (crosscumulant) Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 2 ενημερώνουμε την εκτίμηση του h 0 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h 2 ενημερώνουμε την εκτίμηση του h 0 και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, ενώ ο πυρήνας h 1 εξακολουθεί και δύνεται από την προηγούμενη εκτίμηση ενώ ο πυρήνας h 1 εξακολουθεί και δύνεται από την προηγούμενη εκτίμηση Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη 2 και ο αλγόριθμος σταματά. Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη 2 και ο αλγόριθμος σταματά. Βήμα p: Υποθέτουμε ότι η τάξη είναι p. Υπολογίζουμε την ετεροαθροιστική (crosscumulant) Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h p ενημερώνουμε την εκτίμηση των πυρήνων h p-2, h p-4, … Προσδιορίζουμε την πρώτη εκτίμηση του πυρήνα h p ενημερώνουμε την εκτίμηση των πυρήνων h p-2, h p-4, … και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, και το μέσο τετραγωνικό σφάλμα, Οι πυρήνες h p-2m+1 εξακολουθούν και δύνονται από τις προηγούμενες εκτιμήσεις Οι πυρήνες h p-2m+1 εξακολουθούν και δύνονται από τις προηγούμενες εκτιμήσεις Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη p και ο αλγόριθμος σταματά. Εάν τότε το σύστημα έχει τάξη p και ο αλγόριθμος σταματά. Στην αντίθετη περίπτωση ο αλγόριθμος συνεχίζει στο επόμενο βήμα. Στην αντίθετη περίπτωση ο αλγόριθμος συνεχίζει στο επόμενο βήμα.

Με τη μερική υποστήριξη του Προγράμματος MEDEA+ T101 Α. Συμβατική ταυτοποίηση 2 Είσοδος στατικό γενικό τυχαίο σήμα (Συστήματα Volterra μέχρι τρίτης τάξης) 2 Είσοδος στατικό γενικό τυχαίο σήμα (Συστήματα Volterra μέχρι τρίτης τάξης) Προτείνονται δύο προσεγγίσεις στο πεδίο των συχνοτήτων. Η πρώτη προσέγγιση οδηγεί σε ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm δεύτερου τύπου. Εξάγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη μοναδικής λύσης. Ο υπολογισμός των κλειστών τύπων που προκύπτουν είναι αρκετά δύσκολος. Εξετάζονται ειδικά σήματα εισόδου για τα οποία ο υπολογισμός αυτός παίρνει πιο ελκυστική μορφή. Για δύο ειδικές κατηγορίες εισόδων εξάγονται κλειστοί τύποι προσδιορισμού των πυρήνων Volterra τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων. Οι δύο αυτές κατηγορίες σημάτων είναι οι IID ακολουθίες καθώς και οι ακολουθίες που προκύπτουν στην έξοδο γραμμικών φίλτρων τα οποία διεγείρονται από υψηλότερης τάξης λευκό θόρυβο. Δίνονται επίσης οι σχέσεις που προσδιορίζουν τόσο τους πυρήνες όσο και το ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα του άριστου, 2 ης και 3 ης τάξης, μη αιτιατού καθώς και αιτιατού συστήματος Volterra, που προσεγγίζει καλύτερα το άγνωστο σύστημα. Η πρώτη προσέγγιση οδηγεί σε ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm δεύτερου τύπου. Εξάγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη μοναδικής λύσης. Ο υπολογισμός των κλειστών τύπων που προκύπτουν είναι αρκετά δύσκολος. Εξετάζονται ειδικά σήματα εισόδου για τα οποία ο υπολογισμός αυτός παίρνει πιο ελκυστική μορφή. Για δύο ειδικές κατηγορίες εισόδων εξάγονται κλειστοί τύποι προσδιορισμού των πυρήνων Volterra τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων. Οι δύο αυτές κατηγορίες σημάτων είναι οι IID ακολουθίες καθώς και οι ακολουθίες που προκύπτουν στην έξοδο γραμμικών φίλτρων τα οποία διεγείρονται από υψηλότερης τάξης λευκό θόρυβο. Δίνονται επίσης οι σχέσεις που προσδιορίζουν τόσο τους πυρήνες όσο και το ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα του άριστου, 2 ης και 3 ης τάξης, μη αιτιατού καθώς και αιτιατού συστήματος Volterra, που προσεγγίζει καλύτερα το άγνωστο σύστημα. Στη δεύτερη προσέγγιση οι πυρήνες περιγράφονται από οικογένειες μονοδιάστατων ακολουθιών. Το πλεονέκτημα που προσφέρει μια τέτοια οπτική είναι η αποφυγή των ολοκληρωτικών εξισώσεων και η απευθείας γραμμική εξάρτηση των άγνωστων παραμέτρων. Στη γενική περίπτωση λαμβάνει μέρος ένας άπειρος αριθμός από άγνωστες παραμέτρους. Αν κάνουμε την υπόθεση ότι το σύστημα Volterra που προσπαθούμε να ταυτοποιήσουμε έχει ζωνική (banded) μορφή, τότε ο αριθμός των άγνωστων παραμέτρων γίνεται πεπερασμένος. Β. Τυφλή ταυτοποίηση Συστήματα Volterra - Hammerstein Χρησιμοποιώντας την πολυκαναλική φόρμα, το σύστημα μετατρέπεται από μονοκαναλικό μη-γραμμικό σε πολυκαναλικό γραμμικό και έτσι οι αθροιστικές (cumulants) της εξόδου υπολογίζονται χρησιμοποιώντας γινόμενα Kronecker. Αναπτύσσεται μια αλγοριθμική διαδικασία για τον υπολογισμό των άγνωστων παραμέτρων η οποία βασίζεται σε πληροφορία αθροιστικών της εξόδου μέχρι τάξης 2p για την τυφλή ταυτοποίηση μιας Volterra - Hammerstein σειράς τάξης p. Α. Συμβατική ταυτοποίηση 2 Είσοδος στατικό γενικό τυχαίο σήμα (Συστήματα Volterra μέχρι τρίτης τάξης) 2 Είσοδος στατικό γενικό τυχαίο σήμα (Συστήματα Volterra μέχρι τρίτης τάξης) Προτείνονται δύο προσεγγίσεις στο πεδίο των συχνοτήτων. Η πρώτη προσέγγιση οδηγεί σε ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm δεύτερου τύπου. Εξάγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη μοναδικής λύσης. Ο υπολογισμός των κλειστών τύπων που προκύπτουν είναι αρκετά δύσκολος. Εξετάζονται ειδικά σήματα εισόδου για τα οποία ο υπολογισμός αυτός παίρνει πιο ελκυστική μορφή. Για δύο ειδικές κατηγορίες εισόδων εξάγονται κλειστοί τύποι προσδιορισμού των πυρήνων Volterra τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων. Οι δύο αυτές κατηγορίες σημάτων είναι οι IID ακολουθίες καθώς και οι ακολουθίες που προκύπτουν στην έξοδο γραμμικών φίλτρων τα οποία διεγείρονται από υψηλότερης τάξης λευκό θόρυβο. Δίνονται επίσης οι σχέσεις που προσδιορίζουν τόσο τους πυρήνες όσο και το ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα του άριστου, 2 ης και 3 ης τάξης, μη αιτιατού καθώς και αιτιατού συστήματος Volterra, που προσεγγίζει καλύτερα το άγνωστο σύστημα. Η πρώτη προσέγγιση οδηγεί σε ολοκληρωτικές εξισώσεις Fredholm δεύτερου τύπου. Εξάγονται οι ικανές και αναγκαίες συνθήκες για την ύπαρξη μοναδικής λύσης. Ο υπολογισμός των κλειστών τύπων που προκύπτουν είναι αρκετά δύσκολος. Εξετάζονται ειδικά σήματα εισόδου για τα οποία ο υπολογισμός αυτός παίρνει πιο ελκυστική μορφή. Για δύο ειδικές κατηγορίες εισόδων εξάγονται κλειστοί τύποι προσδιορισμού των πυρήνων Volterra τόσο στο πεδίο του χρόνου όσο και στο πεδίο των συχνοτήτων. Οι δύο αυτές κατηγορίες σημάτων είναι οι IID ακολουθίες καθώς και οι ακολουθίες που προκύπτουν στην έξοδο γραμμικών φίλτρων τα οποία διεγείρονται από υψηλότερης τάξης λευκό θόρυβο. Δίνονται επίσης οι σχέσεις που προσδιορίζουν τόσο τους πυρήνες όσο και το ελάχιστο μέσο τετραγωνικό σφάλμα του άριστου, 2 ης και 3 ης τάξης, μη αιτιατού καθώς και αιτιατού συστήματος Volterra, που προσεγγίζει καλύτερα το άγνωστο σύστημα. Στη δεύτερη προσέγγιση οι πυρήνες περιγράφονται από οικογένειες μονοδιάστατων ακολουθιών. Το πλεονέκτημα που προσφέρει μια τέτοια οπτική είναι η αποφυγή των ολοκληρωτικών εξισώσεων και η απευθείας γραμμική εξάρτηση των άγνωστων παραμέτρων. Στη γενική περίπτωση λαμβάνει μέρος ένας άπειρος αριθμός από άγνωστες παραμέτρους. Αν κάνουμε την υπόθεση ότι το σύστημα Volterra που προσπαθούμε να ταυτοποιήσουμε έχει ζωνική (banded) μορφή, τότε ο αριθμός των άγνωστων παραμέτρων γίνεται πεπερασμένος. Β. Τυφλή ταυτοποίηση Συστήματα Volterra - Hammerstein Χρησιμοποιώντας την πολυκαναλική φόρμα, το σύστημα μετατρέπεται από μονοκαναλικό μη-γραμμικό σε πολυκαναλικό γραμμικό και έτσι οι αθροιστικές (cumulants) της εξόδου υπολογίζονται χρησιμοποιώντας γινόμενα Kronecker. Αναπτύσσεται μια αλγοριθμική διαδικασία για τον υπολογισμό των άγνωστων παραμέτρων η οποία βασίζεται σε πληροφορία αθροιστικών της εξόδου μέχρι τάξης 2p για την τυφλή ταυτοποίηση μιας Volterra - Hammerstein σειράς τάξης p. Περισσότερες πληροφορίες υπάρχουν στις εργασίες: 1)P. Koukoulas and N. Kalouptsidis, “Nonlinear System Identification Using Gaussian Inputs”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 43, No. 8, pp , August ) G. O. Glentis, P. Koukoulas and N. Kalouptsidis, “Efficient Algorithms for Volterra System Identification”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 47, No. 11, pp , November ) P. Koukoulas and N. Kalouptsidis, “Second-Order Volterra System Identification”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 48, No. 12, pp , December ) V. Tsoulkas, P. Κoukoulas and N. Kalouptsidis, “Identification of Input Output Bilinear Systems Using Cumulants”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 49, No. 11, pp , November ) P. Koukoulas, V. Tsoulkas and N. Kalouptsidis, “A Cumulant Based Algorithm for the Identification of Input Output Quadratic Systems”, Automatica, Vol. 38, No. 3, pp , March ) G. Gatt and N. Kalouptsidis, “Identification of Discrete-Time State Affine State Space Models Using Cumulants,” Automatica, vol. 38, pp. 1663–1681, Octοber ) P. Koukoulas and N. Kalouptsidis, “Blind Identification of Second Order Hammerstein Series”, Signal Processing, Vol. 83, No. 1, pp , January ) N. Kalouptsidis, P. Koukoulas and V. J. Mathews, “Blind Identification of Bilinear Systems”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 51, No. 2, pp , February ) N. Kalouptsidis and P. Koukoulas, “Blind Identification of Volterra - Hammerstein Systems”, IEEE Transactions on Signal Processing, accepted for publication, Περισσότερες πληροφορίες υπάρχουν στις εργασίες: 1)P. Koukoulas and N. Kalouptsidis, “Nonlinear System Identification Using Gaussian Inputs”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 43, No. 8, pp , August ) G. O. Glentis, P. Koukoulas and N. Kalouptsidis, “Efficient Algorithms for Volterra System Identification”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 47, No. 11, pp , November ) P. Koukoulas and N. Kalouptsidis, “Second-Order Volterra System Identification”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 48, No. 12, pp , December ) V. Tsoulkas, P. Κoukoulas and N. Kalouptsidis, “Identification of Input Output Bilinear Systems Using Cumulants”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 49, No. 11, pp , November ) P. Koukoulas, V. Tsoulkas and N. Kalouptsidis, “A Cumulant Based Algorithm for the Identification of Input Output Quadratic Systems”, Automatica, Vol. 38, No. 3, pp , March ) G. Gatt and N. Kalouptsidis, “Identification of Discrete-Time State Affine State Space Models Using Cumulants,” Automatica, vol. 38, pp. 1663–1681, Octοber ) P. Koukoulas and N. Kalouptsidis, “Blind Identification of Second Order Hammerstein Series”, Signal Processing, Vol. 83, No. 1, pp , January ) N. Kalouptsidis, P. Koukoulas and V. J. Mathews, “Blind Identification of Bilinear Systems”, IEEE Transactions on Signal Processing, Vol. 51, No. 2, pp , February ) N. Kalouptsidis and P. Koukoulas, “Blind Identification of Volterra - Hammerstein Systems”, IEEE Transactions on Signal Processing, accepted for publication, 2004.